2026--2027学年北师大版九年级数学上册第1-2章阶段复习卷

第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•越秀区校级期中）要使▱ABCD变为矩形，可以添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 2．（2026•凉州区一模）将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 3．（2026春•津南区期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 4．（2026•茂南区模拟）若k＞2，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 5．（2026秋•桥东区月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝8，则AB＝（　　） A．2 B．3 C． D．4 6．（2026•思明区校级模拟）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 7．（2026•启东市模拟）解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 8．（2026春•校级期末）如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠MAN＝44°，则∠CDB的度数是（　　） A．70° B．68° C．66° D．64° 9．（2026•湖北模拟）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），则顶点D的坐标为（　　） A．（﹣b，a+b） B．（a﹣b，﹣a） C．（﹣a，a﹣b） D．（b﹣a，﹣a） 10．（2026•荔城区校级模拟）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（　　） A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10×2x+15x＝150﹣112 C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112 二．填空题（共6小题） 11．（2026•武威二模）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2026的值_________ ． 12．（2026•海州区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围为_________ ． 13．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝4，则AC的长为________________ ，菱形的面积为________________ ． 14．（2026•湖南一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝1，则BD的长为_____ ． 15．（2026秋•同步）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1．如当x2＝﹣1时，有x2＝i2，x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：方程4x2+4x+5＝0的两根为____________________ ．（根用含i的式子表示） 16．（2026•香坊区校级开学）如图，正方形ABCD中，点E、F为AB、BC上的两个动点，连接DE、DF、EF，DE平分∠AEF．给出如下几个结论：①AE+CF＝EF；②DF平分∠CFE；③∠EDF＝45°；④若F为BC中点，AE＝2，则EF＝6．其中正确结论的序号为________ ． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•同步）解下列方程： （1）x2﹣6x+1＝0； （2）3（x﹣4）2＝x（x﹣4）； （3）； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2； （5）x2+3x+1＝0； （6）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 18．（2026•泗阳县校级三模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的两点，若BE＝EF，BE⊥EF．求证：AE＝DF． 19．（2026秋•宿城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）若x＝﹣2是该方程的一个根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，求该一元二次方程的根． 20．（2026春•青铜峡市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积． 21．（2026春•灌云县期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式﹣a2﹣6a+4的最大值为_______ ； （2）求代数式a2+b2+4b﹣8a+11的最小值； （3）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，若AC+BD＝12，求四边形ABCD面积的最大值． 22．（2026春•宽城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝15cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边BC的长为________________ cm； （2）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当PQ＝BC时，直接写出t的值． 23．（2026秋•同步）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2023年该产品各部分成本所占比例约为2：a：1（a为整数），且2023年该产品的技术成本为400万元． （1）若2023年该产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； （2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2024年及2025年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m%（m＜50），制造成本在这两年里都比前一年减少2m%；同时为了扩大销售量，2025年的销售成本将在2023年的基础上提高10%，经过以上变革，预计2025年该产品总成本仅为2023年该产品总成本的，求m的值． 24．（2026秋•同步）定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的“倒方程”是______________ ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的“倒方程”的一个解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为_________ ． 25．（2026春•拱墅区校级期中）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，且CD＝CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）连结DE，若∠DAE＝45°，∠AED＝60°，AD＝6，求四边形ABCD的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，若P为线段AE上任意一点，作点B关于点P的对称点Q，连结AQ，当点Q落在△ADE的边上时，求AQ2的值． 第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•越秀区校级期中）要使▱ABCD变为矩形，可以添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 【解答】解：矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，则： A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； C中AB＝BC，可证四边形ABCD为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； D中AC＝BD，对角线相等，可证平行四边形ABCD为矩形，符合题意； 故选：D． 2．（2026•凉州区一模）将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【解答】解：由题意得，x2﹣8x+16＝0+16， ∴（x﹣4）2＝16， ∴a＝﹣4． 故选：B． 3．（2026春•津南区期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OBBD6＝3，AC＝2OA，AC⊥BD， 由勾股定理得到：AO4， ∴AC＝2OA＝8， ∴菱形的面积AC•BD8×6＝24． 故选：C． 4．（2026•茂南区模拟）若k＞2，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝k， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝4（1﹣k）， ∵k＞2， ∴1﹣k＜0， ∴Δ＝4（1﹣k）＜0， ∴该一元二次方程没有实数根． 故选：C． 5．（2026秋•桥东区月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝8，则AB＝（　　） A．2 B．3 C． D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴， ∵AE垂直平分线段BO， ∴AB＝AO＝4， 故选：D． 6．（2026•思明区校级模拟）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 7．（2026•启东市模拟）解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 【解答】解：由题知， 因为（x+2）2＝4， 则x+2＝±2， 所以x+2＝2或x+2＝﹣2， 即另一个方程是x+2＝﹣2． 故选：B． 8．（2026春•校级期末）如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠MAN＝44°，则∠CDB的度数是（　　） A．70° B．68° C．66° D．64° 【解答】解：由作图可知，AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC+∠MAN＝180°， ∵∠MAN＝44°， ∴∠ADC＝180°﹣∠MAN＝180°﹣44°＝136°，． 故选：B． 9．（2026•湖北模拟）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），则顶点D的坐标为（　　） A．（﹣b，a+b） B．（a﹣b，﹣a） C．（﹣a，a﹣b） D．（b﹣a，﹣a） 【解答】解：过D作DE⊥x轴于E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠AOB＝∠AED＝90°， ∴∠BAO+∠DAO＝∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠DAO， ∴△ABO≌△DAE（AAS）， ∴DE＝OA，AE＝OB， ∵点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b）， ∴OA＝a，OB＝b， ∴DE＝a，AE＝b， ∴OE＝b﹣a， ∴顶点D的坐标为（a﹣b，﹣a）， 故选：B． 10．（2026•荔城区校级模拟）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（　　） A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10×2x+15x＝150﹣112 C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112 【解答】解：设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（15﹣x）m，宽（10﹣2x）m的矩形， 依题意得：（10﹣2x）（15﹣x）＝112， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•武威二模）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2026的值　2027　 ． 【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， ∴m2﹣m+2026＝1+2026＝2027． 故答案为：2027． 12．（2026•海州区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围为k≥﹣2　 ． 【解答】解：由题意可知，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k）＝16+8k， ∴16+8k≥0， 解得k≥﹣2， 故答案为：k≥﹣2． 13．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝4，则AC的长为　4　 ，菱形的面积为　8　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OBBD4＝2，AC＝2AO， ∴∠AOB＝90°， ∵AB＝4， ∴AO2， ∴AC＝2AO＝4， ∴菱形的面积AC•BD44＝8． 故答案为：4，8． 14．（2026•湖南一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝1，则BD的长为　2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC，OB＝OD＝OA＝OC（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴BD＝2AO＝2． 所以，BD的长为2． 故答案为：2． 15．（2026秋•同步）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1．如当x2＝﹣1时，有x2＝i2，x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：方程4x2+4x+5＝0的两根为x或x　 ．（根用含i的式子表示） 【解答】解：4x2+4x+5＝0， ∴x， ∴x或x， 故答案为：x或x． 16．（2026•香坊区校级开学）如图，正方形ABCD中，点E、F为AB、BC上的两个动点，连接DE、DF、EF，DE平分∠AEF．给出如下几个结论：①AE+CF＝EF；②DF平分∠CFE；③∠EDF＝45°；④若F为BC中点，AE＝2，则EF＝6．其中正确结论的序号为　①②③　 ． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥EF于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90° ∵DE平分∠AEF，DH⊥EF， ∴∠A＝∠DHE＝90°，∠AED＝∠HED， ∵DE＝DE， ∴△DEA≌△DEH（AAS）， ∴AE＝EH，AD＝DH， ∵∠DHF＝∠C＝90°，DH＝DC，DF＝DF， ∴Rt△DFH≌Rt△DFC（HL）， ∴FH＝CF， ∴EF＝EH+FH＝AE+CF，故①正确， ∵DH＝DC，DH⊥FE，DC⊥CF， ∴DF 平分∠CFE，故②正确， ∵△ADE≌△HDE，△DFH≌△DFC， ∴∠ADE＝∠EDH，∠HDF＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠EDH+∠FDH∠ADC＝45°，故③正确， 设AB＝BC＝2a， ∵F是BC的中点， ∴BF＝CF＝a， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2， ∴（a+2）2＝a2+（2a﹣2）2， 解得a＝3或0（0舍去）， ∴EF＝a+2＝5，故④错误． 故答案为：①②③． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•同步）解下列方程： （1）x2﹣6x+1＝0； （2）3（x﹣4）2＝x（x﹣4）； （3）； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2； （5）x2+3x+1＝0； （6）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x+1＝0， ∴x2﹣6x+9＝8， ∴（x﹣3）2＝8， ∴x﹣3＝±2， ∴x1＝3+2，x2＝3﹣2； （2）3（x﹣4）2＝x（x﹣4）； 3（x﹣4）2﹣x（x﹣4）＝0， （x﹣4）（3x﹣12﹣x）＝0， ∴x﹣4＝0或3x﹣12﹣x＝0， ∴x1＝4，x2＝6； （3）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）＝48＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2， （y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0， （y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0， ∴y+2+3y﹣1＝0或y+2﹣3y+1＝0， ∴y1，y2； （5）∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； （6）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， （x2﹣x﹣6）（x2﹣x+2）＝0， ∴x2﹣x﹣6＝0或x2﹣x+2＝0， ∴x2﹣x﹣6＝0得x1＝3，x2＝﹣2，方程x2﹣x+2＝0没有实数解， ∴原方程的解为x1＝3，x2＝﹣2． 18．（2026•泗阳县校级三模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的两点，若BE＝EF，BE⊥EF．求证：AE＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵BE⊥EF， ∴∠AEB+∠DEF＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵BE＝EF， ∴△ABE≌△DEF（AAS）， ∴AE＝DF． 19．（2026秋•宿城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）若x＝﹣2是该方程的一个根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，求该一元二次方程的根． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长， 若x＝﹣2是该方程的一个根， 则4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 整理得：4a＝4c， 则a＝c， 那么△ABC是等腰三角形； （2）若△ABC是等边三角形， 则a＝b＝c， 原方程化为ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴x2+2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2． 20．（2026春•青铜峡市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO＝∠BNO， ∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD， 在△MOD和△NOB中， ， ∴△MOD≌△NOB（AAS）， ∴OM＝ON， ∵OB＝OD， ∴四边形BNDM是平行四边形， 又∵MN⊥BD， ∴平行四边形BNDM是菱形； （2）解：由（1）可知，OB＝OD，OM＝ONMN＝8， ∵四边形BNDM是菱形，周长为52， ∴BN＝DN＝DM＝BM68＝17， ∵MN⊥BD， ∴∠BON＝90°， ∴OB15， ∴BD＝2OB＝30， ∴S菱形BNDMBD•MN30×16＝240． 21．（2026春•灌云县期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式﹣a2﹣6a+4的最大值为　13　 ； （2）求代数式a2+b2+4b﹣8a+11的最小值； （3）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，若AC+BD＝12，求四边形ABCD面积的最大值． 【解答】解：（1）原式＝﹣（a+3）2+13， ∵﹣（a+3）2≤0， ∴﹣（a+3）2+13≤13， ∴﹣a2﹣6a+4的最大值为13， 故答案为：13； （2）原式＝a2﹣8a+16+b2+4b+4﹣9＝（a﹣4）2+（b+2）2﹣9， ∵（a﹣4）2≥0，（b+2）2≥0， ∴a2+b2+4b﹣8a+11＝（a﹣4）2+（b+2）2﹣9≥﹣9， ∴代数式的最小值为﹣9； （3）， 设BD＝x，则AC＝12﹣x， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为18． 22．（2026春•宽城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝15cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边BC的长为　　 cm； （2）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当PQ＝BC时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠A＝90°，AB∥CD， ∴∠D＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD＝6cm，DH＝AB＝12cm， ∴CH＝15﹣12＝3（cm）， 由勾股定理可得，． 故答案为：． （2）设点Q运动的时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，DQ＝（15﹣2t）cm， 当四边形APQD是矩形时，AP＝DQ， ∴t＝15﹣2t， 解得t＝5； （3）当BQ＝BC时， ∵BH⊥CD， ∴QH＝CH＝3cm， ∴CQ＝6cm， ∴； 当时，； 当BQ＝CQ时，BQ＝CQ＝2tcm，QH＝（2t﹣3）cm， 由勾股定理可知，BH2+QH2＝BQ2， 62+（2t﹣3）2＝（2t）2， 解得； 综上所述，当△BCQ是等腰三角形时，t的值为3或或； （4）当BP＝CQ时，如图， ∵AB∥CD， ∴四边形BCQP是平行四边形， 此时，PQ＝BC， 由BP＝CQ可列方程12﹣t＝2t， 解得t＝4； 当BP＜CQ时，如图， 过点P作PG⊥CD于点G， ∵AB∥CD， ∴PG⊥AB， ∵BH⊥CD， ∴四边形PBHG是矩形， ∴PG＝BH，∠PGQ＝∠BHC＝90°，BP＝GH＝（12﹣t）cm， 若PQ＝BC， 在Rt△PGQ与Rt△BHC中， ， ∴Rt△PGQ≌Rt△BHC（HL）， ∴QG＝CH＝3cm， ∵QG+GH+CH＝CQ， ∴3+（12﹣t）+3＝2t， 解得t＝6； 综上所述，当PQ＝BC时，t的值为4或6． 23．（2026秋•同步）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2023年该产品各部分成本所占比例约为2：a：1（a为整数），且2023年该产品的技术成本为400万元． （1）若2023年该产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； （2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2024年及2025年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m%（m＜50），制造成本在这两年里都比前一年减少2m%；同时为了扩大销售量，2025年的销售成本将在2023年的基础上提高10%，经过以上变革，预计2025年该产品总成本仅为2023年该产品总成本的，求m的值． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：6＜a≤7． 又∵a为整数， ∴a＝7． 答：a的值为7； （2）由（1）可知：2023年的制造成本为1400万元，销售成本为200万元，总成本为2000万元． 依题意得：400（1+m%）2+1400（1﹣2m%）2+200×（1+10%）＝2000， 令y＝m%，则原方程可变形为400（1+y）2+1400（1﹣2y）2+220＝1600， 整理得：100y2﹣80y+7＝0， 解得：y1＝0.1，y2＝0.7， ∴m1＝10，m2＝70（不合题意，舍去）． 答：m的值为10． 24．（2026秋•同步）定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的“倒方程”是x2+3x﹣4＝0　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的“倒方程”的一个解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　2025　 ． 【解答】解：（1）根据新定义，方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0； 故答案为：x2+3x﹣4＝0； （2）由题知，方程x2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+1＝0， 将x＝﹣1代入此方程得，c+2+1＝0， 解得c＝﹣3； （3）∵m是倒方程的一个实数根， ∴m2+m﹣6＝0， ∴m3+m2﹣6m＝0， ∴m3+m2﹣6m+2025＝0+2025＝2025． 故答案为：2025． 25．（2026春•拱墅区校级期中）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，且CD＝CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）连结DE，若∠DAE＝45°，∠AED＝60°，AD＝6，求四边形ABCD的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，若P为线段AE上任意一点，作点B关于点P的对称点Q，连结AQ，当点Q落在△ADE的边上时，求AQ2的值． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE， ∵∠AEB＝∠FEC， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB＝FC， ∵CD＝CF， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：如图2′，过点D作DH⊥AF于点H， ∵∠DAE＝45°，∠AED＝60，AD＝6， ∴AH＝DH＝6，EHDH＝2， ∴AE＝AH+EH＝6+2， ∴四边形ABCD的面积＝2S△ADE＝AE•DH＝（6+2）×6＝36+12； （3）解：①如图3，当点Q落在△ADE的AD边上时， 由题意可知：P是BQ的中点， ∴BP＝QP， 在平行四边形ABCD中，BC∥AD， ∴∠PAQ＝∠PEB，∠AQP＝∠EBP， ∴△APQ≌△EPB（AAS）， ∴AQ＝BE＝3， ∴AQ2＝18； ②如图4，当点Q落在△ADE的DE边上时，过点Q作BC的平行线交AE于点M，过点Q作QN⊥AE于点N， 同理可证△BPE≌△QPM（AAS）， ∴MQ＝BEAD，MQ∥AD， ∴MQ是△ADE的中位线， ∴EQDE＝2，ENEQ，NQ＝3，AN＝6， 在Rt△AQN中，AQ2＝（6）2+32＝48+12． 综上所述：AQ2的值为18或48+12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $