福建省厦门集美中学2026-2027学年高三上学期十月质量检测数学试题

集美中学2026-2027学年第一学期高三年段十月质量检测 数学试题 (考试时间:120分钟;满分:150分) 命题人:张慧利 审题人:余亮 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，集合，则（　　） A． B． C．， D． 2．已知是虚数单位，若实数，满足，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．设，，则（　　） A． B． C． D． 4．某研究所研究耕种深度（单位：与一种农作物每公顷产量（单位：的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．已知函数在处取得极大值，则的值为（　　） A． B．1 C．或1 D．或2 6．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（2）（　　） A． B．0 C．1 D．2 8．设函数，若关于的方程在，上有奇数个不同的实数解，则实数（　　） A． B．0 C．1 D．1或 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，若不等式的解集为，，，则下列说法中正确的是（　　） A． B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 11．已知函数的定义域为，且，则（　　） A．点，与点，（2）关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当（1）时，（2） D．当时，（1） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式的展开式中常数项为　　 （用数字作答）． 13．已知双曲线的渐近线与圆相切，该双曲线的离心率为 　　 ． 14．设函数，若，则的最小值为　　 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求△的面积． 16．（15分）已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17．（15分）如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，． （1）证明：平面； （2）已知到平面的距离为1，为线段上一点．若二面角的余弦值为，求的长． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，上顶点为，右顶点为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且． 求证：直线过定点； 若直线，分别与直线交于，两点，△，△的面积分别为，．求的最小值． 19．（17分）设函数，． （1）时，求曲线在点，（e）处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点，，且，证明：． 数学试题 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2026-2027学年第一学期高三年段十月质量检测 数学参考答案与试题解析 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A B C A A 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BD 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】 【解答】解：集合，集合，则，． 2．【答案】 【解答】解：由，得，，为实数，故，． 3．【答案】 【解答】解：因为，，所以． 4．【答案】 【解答】解：由题意，，，因为经验回归方程为， 所以，解得． 5．【答案】 【解答】解：由，可得，因为函数在处取得极大值， 所以，解得或，当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，，当时，，当时，， 故函数在处取得极大值，符合题意． 6．【答案】 【解答】解：因为，所以，，令，得， 又（1），所以曲线在点处的切线与直线平行， 所以所求最小值为点到直线的距离，即为． 7．【答案】 【解答】解：根据题意，函数是定义上的周期为2的奇函数， 则（2），，又由当时，，则， 则，故， 8．【答案】 【解答】解：关于的方程在，上有奇数个不同的实数解， 因为，， 所以，故关于直线对称， 设与的图象在处有个交点， 与的图象在上有个交点， 则与的图象在上也有个交点， 所以与的图象在，上共有个交点， 由于关于的方程在，上有奇数个不同的实数解， 故与的图象在，上交点的个数为奇数，即为奇数， 因此只能，即与的图象在处有1个交点， 故． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】 【解答】解：对于非零实数，满足，则， 即，当时，不成立，故不一定成立； 因为，则，故一定成立； 因为，所以，即，故成立； 对于：因为，显然，当时，可得，所以， 当时，则，综上所述：，故一定成立． 10．【答案】 【解答】解：因为，又不等式的解集为，，， 所以的解集为，，， 所以方程的根为和（二重根）， 所以，即，所以，故错误；所以， 则， 所以的一个对称中心为，故正确； 因为，， 设过点的切线方程为，设切点为， 则，得，整理得， 即，解得，此时切点为， 所以过点只能作一条直线与曲线相切，故正确； 对选项：令，当时，则，只需． 而，由， 得，即，所以，故正确． 11．【答案】 【解答】解：因为函数的定义域为，且， 所以取得，，取得， 所以，（2），故错误； 因为， 所以函数是奇函数，故正确；取得（1）， 所以（2）（1）（1），（3）（2）（1），， （1）， 所以（1）（1），（1）， 若（1），则（2）（1）．故错误； （1），（1），故正确． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】60． 【解答】解：二项式展开式的通项公式为， 由题意令，解得，所以二项式展开式中的常数项为． 13．【答案】2． 【解答】解：由题意可知，双曲线的一条渐近线为， 因为渐近线与圆相切，所以，解得， 所以该双曲线的离心率． 14．【答案】2． 【解答】解：要使成立， 则当，即，时，，即对恒成立，所以； 当，即，时，恒成立； 当，即，时，， 即对恒成立，所以，综上，， 则，令，对求导，．， 令，即，解得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以在时取得最小值，且， 即的最小值为2． 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解答】解：（1）根据题意可知，， 根据正弦定理 2分 由余弦定理得 5分 因为，所以 6分 （2）由，可得 8分 又 10分 则 12分 故△的面积 13分 16．【解答】解：（1）证明：数列中，由，得 3分 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 5分 所以的通项公式为 7分 （2）由（1）得，令数列的前项和为， 则， 9分 两式相减得 12分 所以， 14分 所以数列的前项和 15分 17．【解答】（1）证明：如图，连结，交于点，连结． 三棱柱中，平面是平行四边形，则是的中点． 又是的中点，所以 2分 因为平面，平面 3分 所以平面 5分 （2）由题干得△是等边三角形，且是的中点，所以． 因为三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为， 则，，，此时，所以 7分 又，，平面，所以平面． 所以即为到平面的距离，所以，因此三棱柱的棱长均为2． 因为平面平面，平面， 9分 平面平面，所以平面 10分 又，故以为原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，0，，，，1，，，，，， 所以，， 12分 易得平面的一个法向量为． 设，所以． 设平面的一个法向量为，则，即， 取，可得 13分 设二面角的大小为，则 14分 又，解得（舍去，所以 15分 18．【解答】（1）解：因为椭圆的离心率为，，所以， 又，解得， 2分 所以椭圆的方程为 3分 （2）证明：设直线，，，，， 联立，得 5分 所以 6分 而，， 所以， 整理得， 所以 8分 化简得，即，因为，所以， 即直线过定点 10分 由知直线过定点， 所以△的面积，直线， 令，得，即，同理可得， 12分 所以 13分 因为， 所以 15分 令，则，所以，， 所以 16分 即在，上单调递增，所以的最小值为，故的最小值为3 17分 19．【解答】解：（1）函数的定义域为，导函数． 因此， 2分 所以在点，（e）处的切线方程为 3分 取，那么得 4分 （2）导函数． 时，导函数，函数在单调递增． 时，令导函数，那么可得 6分 ，，；，，，． 那么，，函数单调递减；，，，函数单调递增 8分 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增 9分 （3）证明：根据第二问知，因为，是方程的两根，所以，．可得，． 等价于 10分 其中． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于 12分 由且得 13分 记，则， 记，则，所以单调递减 15分 所以，则，所以单调递减，所以（e），证毕． 17分 数学参考答案与试题解析 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $集美中学2026-2027学年第一学期高三年段十月质量检测 数学试题 (考试时间：120分钟；满分：150分) 命题人：张慧利审题人：余亮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合A={xR<,集合B={x<},则A∩B=() A.（-0,1) B.(-1,1) C.[0,1) D.(0,1) 2.已知i是虚数单位，若实数a,b满足a+3i=ib-2i),则() A.a=2,b=3B.a=-2,b=3C.a=2,b=-3D.a=-2,b=-3 3.设1g2=a,g3=b,则1og,6=（) A.ab B.a+b 1-a C.ab D.a+b atb 1-a a 4.某研究所研究耕种深度x（单位：cm与一种农作物每公顷产量y(单位：t)的关系，所得 数据资料如下表： 耕种深度x/cm 2 3 6 每公顷产量y/t m 5 7 6 发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为=0.6x+3.6,则m=() A.4 B.6 C.8 D.10 5.已知函数y2-}-2mx在x=1处取得极大值，则m的值为（) A月 B.1 c.或1 D.-1或2 6.函数f(x)=x2-3x图象上的点到直线x+y+4=0的距离的最小值为（) A.√2 B.2W5 C.35 D.42 7.若函数四是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<<1时，)=本，则心孕+f(2) =() A.-2 B.0 C.1 D.2 数学试题第1页（共4页） 8.设函数f(x)=sinx.sin3x,若关于x的方程f(x)=a在[0，]上有奇数个不同的实数解，则实 数a=() A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数a,b满足a>b+1川，则下列不等关系一定成立的是() A.22>25州 B.a>4b C.2>b2+1 D.a2>b1b+1 10.己知f(x)=x+a2+bx-2,若不等式f(x)<2的解集为(o,-2)U(-2,1),则下列说法中 正确的是() A.ab=-2 B.函数f(x)的对称中心为(-1,0) C.过点(1,0)可作一条直线与曲线y=f(x)相切 D.当-2<x<-号时，f(2x+10>-2 11.己知函数f)的定义域为R,且f+)=fx)+f)-2y-1,则（) A.点(2，f(2)与点(2，f(2))关于原点对称 B.函数y=f()+x2-1是奇函数 C.当f(1)<5时，f(2)<5 D.当f100)=1时，f(1)=100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.二项式(2x+的展开式中常数项为 （用数字作答). B,已知双曲线c-片=1a>0,b>0)的渐近线与圆M:c-2沙±y=3相切，该双曲线的高心 率e为 14.设函数f(x)=(e-mm(x+),若f(x)≥0，则m+n的最小值为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b，,c,已知 sinB+sinC-sin2A=3sin Bsin C. (1)求A: (2)若b=4,osC=3W,求△ABC的面积 14 16.（15分)已知数列{a}满足4=3,4+1=2a-n+1· (1)证明：数列{a,-是等比数列，并求{a}的通项公式； (2)设么=是， 求数列{b}的前n项和S· 17.(15分)如图，三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均相等，平面BBCC1平面ABC,D是BC的 中点，CD=V3CD. (1)证明：AB//平面ADC1; (2)已知AB到平面ADC的距离为1，P为线段CA上一点.若二面角P-CB-A的余弦值为 兽，求cP的长 C 1! 数学试题第3页（共4页） 8.7分)已知椭圆r+@>b>0的离心率为，上顶点为A,右顶点为B,AB7 (1)求椭圆Γ的方程： (2)直线1与椭圆7交于P,Q两点，记直线BP,B0的斜车分别为，k,且所=骨 (①)求证：直线1过定点： ()若直线BP,BQ分别与直线x=3交于M,N两点，△BPQ,△BMN的面积分别为S,S.求 S+S,的最小值. 19.（17分)设函数f(x)=x()2-(a+2)xx+(a+3)x,a>0. (1)a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程； (2)讨论f()的单调性； (3)若fy有两个极值点x,飞，且x<,证明：)_f()<4,-®匹」 e 数学试题第4页（共4页）