第4讲 基本不等式 课后分层作业练习 - 2027届高三数学第一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖基础到创新拓展，以题载理构建基本不等式应用逻辑链，培养运算推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |夯基础·保本科|9题|含最值求解、不等式有解、实际应用（加油方案）|围绕“一正二定三相等”条件展开基础应用，构建概念到简单应用的逻辑| |提能力·冲211|4题|含三角背景最值、多选综合判断、椭圆焦点问题|结合函数变形与跨知识综合，深化不等式条件转化与模型构建| |迎挑战·搏985|1题|新定义（最大数）最值问题|通过创新情境考查不等式灵活变形与逻辑推理，提升数学思维深度|

2027届新高考高三第一轮复习 朴·实·沉·毅 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 课后分层作业 答案与解析 第4讲 基本不等式 练习时间：40分钟　 总分：73分 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 夯基础 · 保本科 ❀ 1．（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【答案】A 【详解】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 2．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 3．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间上有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 4．（2025·湖南郴州·入学考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价：， 当且仅当时取等号； 第二种方案的均价：， 因，则， 故，当且仅当时取等号. 综上，第一种方案的均价不低于第二种方案的均价（当且仅当时取等号）.结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化，此时第二种方案更划算． 6．（24-25·浙江衢州·期末）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题，，且， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由B可知，当且仅当时等号成立，又函数为增函数， 所以，故C错误； 对于D，，当且仅当即时等号成立，故D正确. 7．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知，，若，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由，，且， 对于A，由， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A错误； 对于B，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，由，可得，则， 因为且，可得， 所以当时，的最小值为，所以C错误； 对于D，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确. 8．（25-26高三上·天津·开学考试）已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 【答案】 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 9．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. ❀ 提能力 · 冲211 ❀ 10．（浙江嘉兴·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 11．(2025·河南郑州模拟)已知α∈,则的最大值为(　　) A.-2 B. C. D. 【答案】B 【详解】由,得sin α>0,cos α>0, 所以=--2=-2, 当且仅当,即sin α=,cos α=时等号成立. 12．（2025·浙江·三模）（多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 13．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. ❀ 迎挑战 · 搏985 ❀ 13．（24-25高三上·山西晋城·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】设． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，时取等号． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，当时取等号． ， 当，即时取“等号”， 所以M的最小值为3． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 朴·实·沉·毅 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 课后分层作业 第4讲 基本不等式 练习时间：40分钟　 总分：73分 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 夯基础 · 保本科 ❀ 1．（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 2．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 3．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南郴州·入学考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 6．（24-25·浙江衢州·期末）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知，，若，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为1 D．的最小值为 8．（25-26高三上·天津·开学考试）已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 9．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. ❀ 提能力 · 冲211 ❀ 10．（浙江嘉兴·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 11．(2025·河南郑州模拟)已知α∈,则的最大值为(　　) A. B. C. D. 12．（2025·浙江·三模）（多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 13．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为__________. ❀ 迎挑战 · 搏985 ❀ 13．（24-25高三上·山西晋城·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $