15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学学案聚焦等腰三角形的性质这一核心知识点，从等腰三角形的概念入手，系统梳理“等边对等角”和“三线合一”性质，结合角度计算公式与分类讨论，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料亮点在于注重数学思维培养，通过教材原题与随堂演练结合，强化方程思想和分类讨论，引导学生运用推理意识解决角度计算问题。习题层次分明，从基础到提升，助力学生巩固知识，提升抽象能力与应用意识，有效提升课堂学习效率。

学案：15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 人教版八年级上册 第十五章 轴对称 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 掌握等腰三角形的两个性质：等边对等角（等腰三角形的两个底角相等）和三线合一（等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合），能用几何语言正确表述。 2. 能运用等腰三角形的性质进行简单的推理和计算，会用方程思想解决角度求值问题。 二、知识梳理 1. 等腰三角形的概念 名称 定义 等腰三角形 有两边相等的三角形。 腰 等腰三角形中相等的两边。 底边 等腰三角形中除两腰外的第三边。 顶角 / 底角 两腰的夹角叫做顶角；腰和底边的夹角叫做底角。 2. 等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 性质1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等。 在△ABC中，AB=AC ⇒ ∠B=∠C 性质2：三线合一 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 知一推二：三者中知其一，可推另二。 在△ABC中，AB=AC，D为BC中点： 则AD⊥BC，AD平分∠BAC 3. 角度计算公式 已知条件 计算公式 已知顶角求底角 底角 = (180° - 顶角)2 已知底角求顶角 顶角 = 180° - 2 × 底角 4. 分类讨论（已知等腰三角形一个角求其他角） 情况 解法 已知角为顶角 两个底角 = (180° - 顶角) 2 已知角为底角 另一个底角 = 已知角；顶角 = 180° - 2 × 已知角 三、课堂练习 练习1（教材P79练习 第1题） 在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。       练习2（教材P80练习 第2题） 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°。求∠B和∠C的度数。               练习3（教材P79 例1） 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。                 练习4（随堂演练1） 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. 55°, 55° B. 70°, 40° C. 55°, 55° 或 70°, 40° D. 以上都不对         练习5（随堂演练2） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，且BD=BE，则∠ADE的度数为______。             练习6（随堂演练3——教材P80练习 第3题） 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。                     练习7（随堂演练4） 如图，在△ABC中，AB=AC，AE是BC边上的中线，BF是角平分线，∠C=70°。求∠BAE和∠1的度数。                 四、参考答案 练习1 答案 图（1）：底角 = (180° - 30°) 2 = 75° 图（2）：底角 = (180° - 120°) 2 = 30° 解析：等腰三角形底角 = (180° - 顶角) 2，直接代入计算即可。 练习2 答案 解：在△ABD中，AB=AD，∠BAD=26°， ∴∠B = ∠ADB = (180° - 26°) 2 = 77°。 在△ACD中，AD=DC，∴∠C = ∠DAC。 又∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 77° = 103°（邻补角）， ∴∠C = ∠DAC = (180° - 103°) 2 = 38.5°。 答：∠B = 77°，∠C = 38.5°。 关键：分别在两个等腰三角形中运用等边对等角，结合邻补角关系。 练习3 答案 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD。 设∠A = x，则∠ABD = x。 ∠BDC = ∠A + ∠ABD = x + x = 2x（外角性质）。 ∴∠C = ∠BDC = 2x，∠ABC = ∠C = 2x。 在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = x + 2x + 2x = 180°， 5x = 180°，x = 36°。 ∴∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°。 关键：方程思想——设最小角为x，用外角性质传递，列方程求解。 练习4 答案 答案：C. 55°, 55° 或 70°, 40° 解析：分两类讨论—— (1) 若70°为顶角，则底角 = (180° - 70°) 2 = 55°，两个底角均为55°。 (2) 若70°为底角，则另一个底角也为70°，顶角 = 180° - 70° - 70° = 40°。 注意：当已知角 ≥ 90°时，它只能是顶角。 练习5 答案 答案：15° 解：AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B = ∠C = (180° - 120°) 2 = 30°。 AD是BC边上的中线，由三线合一，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴∠BAD = 60°，∠ADB = 90°。 在△BDE中，BD=BE，∠B=30°， ∴∠BDE = ∠BED = (180° - 30°) 2 = 75°。 ∠ADE = ∠ADB - ∠BDE = 90° - 75° = 15°。 练习6 答案 证明：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线， ∴AD = BD = AB。 又CD = AB，∴CD = AD = BD。 在△ADC中，AD=CD，∴∠A = ∠ACD。 在△BDC中，BD=CD，∴∠B = ∠BCD。 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°， 即∠A + ∠B + (∠ACD + ∠BCD) = ∠A + ∠B + ∠A + ∠B = 2(∠A + ∠B) = 180°， ∴∠A + ∠B = 90°，∴∠ACB = 90°。 即△ABC是直角三角形。 关键：由"中线等于边的一半"推出CD=AD=BD，利用等边对等角。 练习7 答案 解：∵AB=AC，∠C=70°， ∴∠B = ∠C = 70°，∠BAC = 180° - 70° - 70° = 40°。 又AE是BC边上的中线，由三线合一， AE⊥BC且AE平分∠BAC， ∴∠BAE = 40° 2 = 20°。 BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF = 70° 2 = 35°。 在△ABF中，∠BAF = ∠BAE = 20°，∠ABF = 35°， ∴∠1 = ∠AFB = 180° - 20° - 35° = 125°。 答：∠BAE = 20°，∠1 = 125°。 关键：综合运用等边对等角、三线合一、角平分线性质和三角形内角和。 学科网（北京）股份有限公司 $