15.3.1等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质)（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

15.1.1轴对称及其性质 第十五章 轴对称 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1. 理解等腰三角形的有关概念（腰、底边、顶角、底角），能结合图形正确识别与标注； 2. 通过折纸探究发现并运用全等三角形证明等腰三角形的性质：性质1（等边对等角）、性质2（三线合一），掌握其几何语言的三种书写形式； 3. 能运用等腰三角形的性质进行简单的角度计算与推理证明，会正确添加辅助线解决问题。 1. 经历“折纸操作—观察猜想—逻辑证明—应用迁移”的完整探究过程，体会借助轴对称发现结论、再用全等三角形（SSS、SAS、HL）严格证明的几何研究路径； 2. 在性质应用中感悟分类讨论思想（已知角未指明顶角还是底角）、方程思想（多个等腰三角形中设未知数求角）与转化思想（添辅助线构造全等）。 1. 通过动手剪纸和生活中的等腰三角形实例，感受数学的对称美与应用价值，增强学好几何的兴趣与信心； 2. 在小组交流与多解展示中养成敢于表达、乐于倾听、严谨求证的学习品质。 教学重难点 重点 难点 等腰三角形性质1（等边对等角）与性质2（三线合一）的探索与证明，以及运用这两条性质进行简单的角度计算与推理证明。 1. 通过添加辅助线，把等腰三角形问题转化为全等三角形问题； 2. 准确理解“三线合一”的适用条件——顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，避免随意套用； 3. 已知一个内角求其余角时的分类讨论，以及对所求结果进行合理性检验。 情景导入 《等腰三角形的奥秘》 新知探究 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC A B C D 问1:是什么三角形？ 等腰三角形 新知探究 问2:是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形,折痕所在的直线是它的对称轴. 问3:把 重合的线段 重合的角 　 与 与 与 与 与 与 是底边 上的中线 是顶角角平分线 是底边上的高 你能证明这些结论吗？ 底角相等 新知探究 已知：中， 求证： 法一、证明：作底边的中线． ∵为边上的中线 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴． 探究一：等腰三角形两底角相等 新知探究 已知：中， 求证： 法二、证明：作顶角的角平分线． ∵平分 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴． 探究一：等腰三角形两底角相等 新知探究 已知：中， 求证： 法三、证明：作底边上的垂线． ∵⊥ ∴ 在和 ∵， ∴ ≌()． ∴． 探究一：等腰三角形两底角相等 新知探究 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： ∵在中， ∴ 探究一：等腰三角形两底角相等 新知探究 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，， 为边上的中线 求证：高线，是的平分线 证明：∵为边上的中线 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ∴高线，是的平分线 新知探究 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，，是的平分线 求证：， 高线 证明：∵平分 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ． ∴， 高线 新知探究 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，， 高线 求证：， 证明：∵⊥ ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ． ∴， 新知探究 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： ∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 典例分析 例1(1)若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ; (2)等腰三角形一个底角为,它的另外两个角为____________； (3)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为_____________； (4)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为 _______ 。 和 和或和 和 方法总结 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 典例分析 例2.如图，在中，，点在上，.求各角的度数. 解∵，， ∴，(等边对等角). 设，则， ∴. ∵°. ∴.解得 ∴在中，， 方法总结 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 典例分析 例3.如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线，交于点，垂足为． (1)若，求的度数． 解(1)：，是边上的中线， ， ， ， ， 典例分析 例3.如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线，交于点，垂足为． (2)求证：． 证明(2)：，是边上的中线， ， 又平分， ． 方法总结 等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法. 变式训练 1.如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． (1)若，求和的度数． 解(1)：，， ． ∵在中，，， ， ， ． ． 变式训练 (2)探究与的和是否为定值，如果是请求出这个定值，如果不是说明理由． 解(2)， 理由如下： ， ． 同理：， ∴， ∵． ． 变式训练 2.已知点、在的边上，. (1)如图①，若，求证：； 证明：(1)如图①，过作于. ∵，， ∴，， ∴， ∴； 图① 变式训练 2.已知点、在的边上，. (2)如图②，若，为的中点，求证：. 证明： (2)∵，为的中点， ∴， ∴. 又∵， ∴. 图② 方法总结： 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 变式训练 3.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数． 解：当角和角是两个底角时， 可得：，解得， 则有， 则三角形的顶角为，三个内角分别是，，； 当角是顶角时，可得：，解得：， 则有，，三个内角分别是°； 当角是顶角时，可得：，解得， 则有，，三个内角分别是，，． 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为，，或或，，． 知 识 梳 理 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 课堂练习 1.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是( ) A.B. C. D.平分 2.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，， 则四边形的面积为____________ 3.如图，中，，点 ， 分别是的边，上的点，且，求的度数 解：设． ∵，∴， ∴． ∵，∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 课堂练习 课堂练习 4.如图，在中，，为的中点，于点，于点． (1)求证：； 证明(1)：∵，点D是边上的中点， ∴平分， ∵于点，于点． ∴． 课堂练习 4.如图，在中，，为的中点，于点，于点． (2)若，，求的长． 解(2)：∵，点D是边上的中点， ， ∴，， ∴，即，解得：． 课堂练习 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的顶角的度数 解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴，∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为． 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或． 布置作业 必做：教材P79练习1、2、3； 谢谢聆听 $