第一章因式分解（期中知识清单）八年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第一章 因式分解　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 因式分解 1.1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。因式分解也可称为分解因式。 示例： ，， 都是因式分解。 1.2 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法互为逆变形：整式乘法是把几个整式的积化为一个多项式，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式。 示例： 整式乘法 ；反过来，因式分解 。 注意： 判断一种变形是不是因式分解，要看等号右边是否为几个整式的乘积；整式乘法由积化多项式，因式分解由多项式化积，方向相反。 2. 提公因式法 2.1 公因式的定义 多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。 示例： 多项式 的各项都含有相同的因式 ， 就是多项式 各项的公因式。 2.2 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。 示例： 。 注意： 当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解。 2.3 首项系数为负数时的处理 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”，使括号内第一项的系数成为正数；在提出“-”时，多项式的各项都要变号。 示例： 。 3. 公式法 3.1 平方差公式法 把乘法公式 反过来，就得到 。 示例： 。 3.2 完全平方公式法 分别把乘法公式 ， 反过来，就得到 ，。 示例： 。 3.3 完全平方式的定义 形如 的式子称为完全平方式。 示例： ， 都是完全平方式。 3.4 公式法的定义 通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 示例： 用平方差公式、完全平方公式进行的因式分解都属于公式法。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 因式分解要分解彻底 因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止，结果中相同的因式要写成幂的形式。 【使用提醒】 在有理数范围内，先提公因式、再用公式之后，仍要逐项检查每个因式是否还能继续分解。 1.2 平方差公式的适用与变号处理 只有形如两数平方之差 的式子才能用平方差公式；两数平方之和 在有理数范围内不能分解。 【使用提醒】 首项为负的 要先写成 再套公式，不能误写成 。 1.3 完全平方式的识别 形如 的式子是完全平方式：首、末两项都是平方项，中间项恰为首、末两项底数乘积的2 倍（即 ）。 【使用提醒】 判定关键看中间项是否为 ；如 中 ，故 。 1.4 多项式整体作为公因式 公因式可以是一个多项式整体，如 可把 提出来，化为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 因式分解的一般步骤 先提公因式，再看能否用公式，最后检查是否分解彻底。如 。 2.2 先展开整理，再用公式 当式子不是标准形式时，先展开、合并同类项整理，再选用公式分解。如 。 3. 运算 / 化简小技巧 技巧 要点 示例 平方差速算 两数平方差直接套 整体代换 把 、 等看作一个整体提公因式或套公式 凑完全平方式 看首末两项是否平方项、中间项是否为 先提负号再套公式 首项为负时先提“-”，符号统一后再分解 4. 常见考试模型 4.1 型二次三项式（十字相乘法） 公式： ，其中 ，。 限定： 只适用于二次项系数为 的二次三项式；常数项 要能拆成两个因数 ，且 与 的和恰等于一次项系数 。 示例： （因为 ，）。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把整式乘法误当作因式分解 典例： 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？① ；② 。 错解： 认为①②都是因式分解。 正解： ①是整式乘法（把积展开成多项式），②才是因式分解（把多项式化成积）。因式分解要求等式左边是多项式、右边是几个整式的乘积，只有②满足。 原因： 没有抓住“因式分解是把多项式化为几个整式乘积”这一方向性特征，只看到等号两边形式上互换了位置，分不清谁是积、谁是多项式。 易错点 2：提公因式后漏掉某一项 典例： 把 因式分解。 错解： ，漏掉了最后一项 。 正解： 。提出公因式 后，括号内每一项都应是原式各项除以 的商，常数项 不能漏。 原因： 提公因式时只注意含字母的项，忽略了常数项也要除以公因式；或误以为“提出公因式后括号内只剩含字母的项”。 易错点 3：首项为负提“-”时部分项没有变号 典例： 把 因式分解。 错解： 。 正解： 。提出“-”（连同公因式 ）后，括号内每一项都要变号： 变 ， 变 。 原因： 只把首项 变号，忘了后面各项也随之变号，或把“提出负号”与“提出正公因式”的符号规则混淆。 易错点 4：因式分解不彻底 典例： 把 因式分解。 错解： 。 正解： 。提出公因式 后， 还能用平方差公式继续分解。 原因： 提出公因式后没有检查剩余因式能否再用公式分解，把“分解到每个因式都不能再分解为止”的要求忘在脑后。 易错点 5：误用平方差公式分解“两数平方之和” 典例： 把 因式分解。 错解： 或 。 正解： 在有理数范围内不能因式分解。，比 多了 ；平方差公式只适用于 （两数平方之差，中间是“-”）。 原因： 把“完全平方”与“平方和”混淆，或误以为“只要有两个平方项就能用平方差公式”，忽略了中间的符号必须是“-”。 易错点 6：完全平方式判断错误（中间项不是 ） 典例： 把 因式分解。 错解： 。 正解： ，中间项应为 ，而原式中间项是 ，，所以 不是完全平方式，在有理数范围内不能分解。形如 才可用完全平方公式，其中间项必须是 。 原因： 看到首、末两项是平方项就套完全平方公式，忽略了中间项必须为首、末两项底数乘积的 2 倍这一关键条件。 学科网（北京）股份有限公司 $