第一章 因式分解 单元复习讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了因式分解的知识体系，从概念、提公因式法、公式法到综合应用，按“基础-方法-应用”递进，用要点列表呈现公因式确定、公式特征等重难点，明确内在逻辑联系。 讲义的亮点在于分层题型设计，基础题型如提公因式法分解，培养运算能力；培优题型如分组分解法，发展推理意识；压轴题型如数形结合应用，提升几何直观。每个题型配解题技巧和易错点提醒，帮助不同层次学生掌握，教师可据此实施精准教学。

第1章 因式分解 知识点1：因式分解的概念 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 1. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。 1. 判断标准：结果必须是整式乘积的形式，且每个因式都是整式，不能出现分式。 1. 分解要求：必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点2：提公因式法 1. 公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 1. 确定公因式的方法： · 定系数：取各项系数的最大公约数； · 定字母：取各项都含有的相同字母； · 定指数：取相同字母的最低次幂。 1. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式。 1. 公因式的两种特殊情况： · 公因式是多项式：当各项的公因式是一个多项式时，把这个多项式看作一个整体提出来。 例： · 公因式互为相反数：当两项的底数互为相反数时，先统一成相同形式，再提公因式。 · 偶次幂：，偶次幂下互为相反数的幂相等； · 奇次幂：，奇次幂下互为相反数的幂互为相反数。 1. 注意事项： · 提公因式别漏项，括号内项数与原多项式一致； · 首项为负时，先提负号，括号内各项都要变号； · 提完公因式后，检查括号内是否还能继续分解。 知识点3：平方差公式 1. 公式： 1. 适用特征： · 二项式； · 两项异号； · 两项都是平方形式。 1. 整体思想：公式中的可以是单项式，也可以是多项式。 1. 分解步骤：有公因式先提公因式，再用平方差公式，最后检查是否分解彻底。 知识点4：完全平方公式 1. 公式： 1. 适用特征（完全平方式三特征）： · 三项式； · 两平方项同号； · 中间项是两平方项底数乘积的2倍。 1. 整体思想：公式中的可以是单项式，也可以是多项式。 1. 注意：完全平方式有两种——和的平方与差的平方，求参数时注意不要漏解。 知识点5：公式法的综合应用 1. 公式法定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 1. 一般步骤（口诀：一提二套三查）： · 一提：先提公因式； · 二套：再套公式（平方差或完全平方）； · 三查：检查是否分解彻底。 1. 常见题型： · 先化简再分解：表面不是公式形式，先展开化简，变成标准形式后再分解； · 整体换元：把多项式看作整体，套用公式后继续分解； · 连续用公式：先用平方差，再用完全平方，直到不能再分为止。 1. 应用场景： · 简便计算：利用因式分解简化大数运算； · 代数式求值：先分解再整体代入； · 判断三角形形状：通过因式分解+非负数性质判断边的关系； · 证明整除问题：将多项式分解出相应因数。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的概念判断 1.核心知识点:    （1）因式分解的定义；（2）因式分解与整式乘法的区别；（3）因式分解的判断标准。 2.解题方法技巧:    ①看结果是否为整式乘积的形式，和差形式不是因式分解。    ②看因式是否都是整式，出现分式不是因式分解。    ③注意区分：整式乘法是”积化和差”，因式分解是”和差化积”。    ④识破干扰项：易把整式乘法（积化和差，如 误当因式分解；出现分式（如 或加减连接（如 ）的都不是因式分解。 【例题1】.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.若，其中都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．1 B．4 C．11 D．12 【变式题1-3】.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（    ） ①；②； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】提公因式法分解因式 1.核心知识点:    ①公因式的确定方法；②提公因式法的步骤；首项为负的处理；③公因式是多项式；公因式互为相反数。 2.解题方法技巧:    ①按”定系数→定字母→定指数”三步确定公因式。    ②公因式是多项式时，把多项式看作整体提取。    ③公因式互为相反数时，偶次幂直接相等，奇次幂变号后再提。    ④首项为负时，先提负号，括号内各项都要变号。    ⑤提公因式后注意检查是否漏项，括号内项数与原多项式一致。 【例题2】.分解因式：________ 【变式题2-1】.分解因式：________ 【变式题2-2】.分解因式：________ 【变式题2-3】.把下列各式因式分解： （1） （2） （3） 【题型3】平方差公式分解因式 1.核心知识点:    ①平方差公式的结构特征；②提公因式与平方差公式的综合运用。 2.解题方法技巧:    ①先判断是否符合平方差公式：二项式、两项异号、都是平方形式。    ②有公因式先提公因式，再用公式，分解要彻底。    ③注意整体思想：把多项式看作整体套用公式。    ④“异号”是平方差分解的前提：两项必须符号相反（或写成相减），同号（如）不能用平方差公式分解。 【例题3】.分解因式：________ 【变式题3-1】.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.把下列各式因式分解： （1） （2） 【变式题3-3】.利用因式分解计算： （1） （2） 【题型4】完全平方公式分解因式 1.核心知识点:    ①完全平方式的结构特征；②完全平方公式的应用。 2.解题方法技巧:    ①完全平方式三特征：三项、两平方项同号、中间项是积的2倍。    ②有公因式先提公因式，再用完全平方公式。    ③注意完全平方式有两种：和的平方与差的平方，不要漏解。    ④“同号”是两平方项的特征：两个平方项必须同为正（或同为负，先提负号变同号），中间项符号只决定“和的平方”还是“差的平方”，不要漏掉另一种。 【例题4】.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.把下列各式因式分解： （1） （2） （3） 【变式题4-2】.把下列各式因式分解： （1） （2） （3） 【变式题4-3】.若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________ 【培优高频题型】 【题型5】分组分解法 1.核心知识点:    ①分组分解法的常见类型；②分组原则；③分组后继续分解的方法。 2.解题方法技巧:    ①二二分组：两两分组后分别提公因式，再提整体公因式。    ②三一分组：三项凑完全平方，再用平方差公式。    ③分组后必须检查组间还能继续分解，否则分组方式不对。 【例题5】.把下列各式因式分解： （1） （2） 【变式题5-1】.把下列各式因式分解： （1） （2） 【变式题5-2】.把下列各式因式分解： （1） （2） 【变式题5-3】.把下列各式因式分解： （1） （2） 【题型6】先分解再求值（整体代入） 1.核心知识点:    ①因式分解在代数式求值中的应用；②整体代入思想。 2.解题方法技巧:    ①先观察所求代数式的结构，选择合适的方法因式分解。    ②将已知条件整体代入，避免求单个字母的值。    ③注意符号问题和公式的正确应用。 【例题6】.已知，，则的值为________ 【变式题6-1】.已知，，则的值为________ 【变式题6-2】.已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【变式题6-3】.已知，，求下列各式的值： （1） （2） 【题型7】因式分解简便计算 1.核心知识点:    ①利用因式分解简化运算；②平方差、完全平方公式在计算中的应用。 2.解题方法技巧:    ①观察算式特点，选择合适的公式简化计算。    ②大数运算用因式分解转化为小数乘积，降低计算量。    ③注意提取公因数后，括号内要化简。 【例题7】.利用因式分解简便计算： （1） （2） 【变式题7-1】.利用因式分解计算： （1） （2） 【变式题7-2】.利用因式分解计算： （1） （2） 【变式题7-3】.用简便方法计算： （1） （2） 【题型8】因式分解的综合应用 1.核心知识点:    ①因式分解在几何中的应用；②因式分解在代数证明中的应用；③非负数的性质；④等腰三角形、等边三角形的判定。 2.解题方法技巧:    ①判断三角形形状：将已知等式移项到一边，另一边为0，因式分解后利用非负数性质得到边的等量关系。    ②证明等式：将等式一边因式分解，化简后等于另一边。    ③求字母的值：利用非负数的性质，令每个因式为0，求解字母的值。 【例题8】.已知是的三边，且满足，试判断的形状。 【变式题8-1】.求证：无论取何实数，多项式的值总是正数。 【变式题8-2】.已知是的三边，且满足，试判断的形状。 【变式题8-3】 已知 是 的三边，且满足 ，试判断 的形状。 【压轴素养题型】 【题型9】证明整除问题 1.核心知识点:    ①因式分解在整除证明中的应用；②平方差公式的连续应用。 2.解题方法技巧:    ①将多项式因式分解，分解出相应的因数。    ②连续用平方差公式，直到分解出目标因数。    ③注意判断因数是否为整数，证明是整数倍即可。 【例题9】.证明：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数。 【变式题9-1】.证明：（为正整数）一定能被6整除。 【变式题9-2】.已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（    ） A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65 【变式题9-3】 求证： 能被 120 整除。 【题型10】配方法分解因式与求最值 1.核心知识点:    ①配方法的原理；②配方法分解因式；③利用配方法求代数式的最值。 2.解题方法技巧:    ①配方法：加上一次项系数一半的平方，再减去同一数保持恒等。    ②配成完全平方后，用平方差公式分解因式。    ③求最值：利用完全平方的非负性，找到最小值或最大值。    ④二次项系数为 1 时才能直接配方；若二次项系数不为 1（如 ），先提出二次项系数，再在括号内配方，最后别忘乘回系数。 【例题10】. （1）用配方法分解因式：； （2）用配方法求多项式的最小值。 【变式题10-1】.用配方法分解因式： （1） （2） 【变式题10-2】.求下列代数式的最小值： （1） （2） 【变式题10-3】.已知满足，求的值。 【题型11】新定义与阅读理解问题 1.核心知识点:    ①新定义问题的解题方法；②阅读理解题的处理策略；③因式分解的灵活应用。 2.解题方法技巧:    ①精准提取题目全新定义规则，转化为熟悉的因式分解考点。    ②严格依据定义条件分步验证，结合分类讨论排除不符情况。    ③利用因式分解公式变形、方程思想求解，最后检验结果满足新定义要求。 【例题11】.阅读材料：利用”配方法”可以把二次三项式因式分解。 解法如下： 请用上述方法因式分解： 【变式题11-1】.定义：若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为”和谐数”。 下列说法正确的是（    ） A．30是”和谐数” B．2022是”和谐数” C．“和谐数”一定是4的倍数 D．两个连续奇数的平方差（正数）是”和谐数” 【变式题11-2】 定义：若多项式 能化为 的形式（ 均为整式），则称 整除 。 （1）求证： 整除 ； （2）已知 整除 ，求 的值。 【变式题11-3】.定义：若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为”奇特数”。 （1）32和2020这两个数是奇特数吗？为什么？ （2）设两个连续奇数为和（为正整数），证明由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数。 【题型12】数形结合与综合应用 1.核心知识点:    ①因式分解的几何意义；②拼图面积与因式分解的关系；③整体思想的应用。 2.解题方法技巧:    ①从整体和部分两种角度表示图形面积，建立恒等式。    ②利用因式分解实现代数与几何的转化。    ③复杂代数式通过分组分解，转化为熟悉的公式形式。 【例题12】.如图，一个长方形被分割成6小块，其中1块是边长为的正方形，3块是长为、宽为的长方形，2块是边长为的正方形。 （1）这6小块面积之和为________； （2）把这个和分解因式：________； （3）若长方形的宽为，则它的长为________。 图：6 小块拼成的长方形（1 个 a×a、3 个 a×b、2 个 b×b） 【变式题12-1】.利用1个边长为的正方形，3个长为、宽为的长方形，2个边长为的正方形拼成一个长方形。 （1）请画出拼成的长方形的示意图； （2）利用面积关系写出一个因式分解的等式。 【变式题12-2】.已知，，，则的值等于________ 【变式题12-3】.阅读材料：若，求的值。 解：， 即。 ，， ，。 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值。 易错点 1. 因式分解与整式乘法混淆：把整式乘法的积化成多项式当成因式分解，方向搞反。 1. 分解不彻底：提公因式后或套公式后，括号内还能继续分解，没有分解到每一个因式都不能再分为止。 1. 公因式找错：系数最大公约数找错，或字母指数取高次幂而不是最低次幂。 1. 提公因式漏项：提取公因式后，括号内的项数变少，漏掉了”1”。 1. 符号错误：首项为负时提负号，括号内各项忘记变号。 1. 公式套用错误：平方差公式和完全平方公式混淆，或完全平方式只考虑和的平方漏掉差的平方。 重点 1. 因式分解的概念与判断：理解因式分解的定义，能正确判断哪些变形是因式分解。 1. 提公因式法：熟练掌握公因式的确定方法，能正确提取公因式分解因式。 1. 公式法：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能正确套用公式分解因式。 1. 综合运用：掌握”一提二套三查”的一般步骤，能综合运用提公因式法和公式法分解因式。 难点 1. 分组分解法：合理选择分组方式，使分组后能继续分解，分组原则的灵活运用。 1. 配方法：理解配方法的原理，能灵活运用配方法分解因式和求最值。 1. 因式分解的应用：能将实际问题或几何问题转化为因式分解问题，实现整体代入求值、判断三角形形状、证明整除等。 1. 新定义问题：能读懂新定义材料，将新定义问题转化为熟悉的因式分解模型，灵活应用知识解决问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．若是一个完全平方式，则的值为（    ） A．8 B．-8 C．±8 D．±4 二、填空题 5．分解因式：________ 6．利用因式分解计算：________ 7．已知，，则________ 8．若 ，则 ________ 三、解答题 9．把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） 10．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由。 11．利用因式分解简便计算： （1） （2） 12．阅读理解：阅读材料，并解答问题。 材料：利用”配方法”可以把二次三项式因式分解。 例如： 请用配方法因式分解： （1） （2） （3）求多项式的最小值。 参考答案与解析 【题型1】因式分解的概念判断 例题1　B。A 是整式乘法；C 右边含 ，不是整式乘积形式；D 右边含分式 ，不是因式分解。 变式1-1　B。A 是整式乘法；C 右边是 ，仍含加法；D 等式本身不成立。 变式1-2　C（11）。由 得 、。整数对 时 最大。 变式1-3　B（2个）。② 与 ④ 是因式分解；①右边含 ，③是整式乘法。 【题型2】提公因式法分解因式 例题2　 变式2-1　（首项为负，先提负号，括号内各项都变号） 变式2-2　 变式2-3　（1）； （2）； （3） 【题型3】平方差公式分解因式 例题3　 变式3-1　C。，两项异号且都是平方形式。 变式3-2　（1）； （2） 变式3-3　（1）400。； （2）1。 【题型4】完全平方公式分解因式 例题4　C。 变式4-1　（1）； （2）； （3） 变式4-2　（1）； （2）； （3） 变式4-3　。由 得 ，即 （注意不要漏掉负号解）。 【题型5】分组分解法 例题5　（1）； （2） 变式5-1　（1）； （2） 变式5-2　（1）； （2） 变式5-3　（1）； （2） 提醒：分组后必须再看组间能否继续分解——变式5-3(1) 分完组还要把 x²−1 再分解一次，否则不彻底。 【题型6】先分解再求值（整体代入） 例题6　 变式6-1　4。由 且 得 变式6-2　D（9）。 变式6-3　（1）7。； （2）5。 【题型7】因式分解简便计算 例题7　（1）1。； （2）13.2。 变式7-1　（1）10000。； （2）1。 变式7-2　（1）10000。； （2）500。 变式7-3　（1）2025。； （2）5050。原式 【题型8】因式分解的综合应用 变式8-2　等边三角形。 即 ，故 例题8　等腰三角形。，而 ，故 变式8-1　，因为 ，所以 ，恒为正数。 变式8-3　等腰三角形或直角三角形。由 得 ，故 或 【题型9】证明整除问题 变式9-2　D（63、65）。 例题9　设两个连续奇数为 与 ，则 ，是 8 的倍数。 变式9-1　，三个连续整数中必有一个是 2 的倍数、一个是 3 的倍数，故能被 6 整除。 变式9-3　，故能被 120 整除。 【题型10】配方法分解因式与求最值 例题10　（1）； （2），最小值为 1。 变式10-1　（1）； （2） 变式10-2　（1）最小值为 1。； （2）最小值为 1。（二次项系数不为 1 时，先把系数提出来再配方）。 变式10-3　 即 ，故 ，所以 【题型11】新定义与阅读理解问题 例题11　 变式11-1　C。设两个连续偶数为 与 ，其平方差 ，即 4×奇数，必是 4 的倍数；30 与 2022 都不是 4 的倍数，故 A、B 错；两连续奇数的平方差为 ，是 4×偶数，不是和谐数，故 D 错。 变式11-2　（1）因为 ，所以 整除 ； （2）设 ，展开得 ，故 ，从而 变式11-3　（1）32 是奇特数：；2020 不是，因为 ，不是 8 的倍数。 （2）设两个连续奇数为 与 ，其平方差 ，是 8 的倍数。 【题型12】数形结合与综合应用 例题12　（1）； （2）； （3） 变式12-2　3。 变式12-1　（1）拼成长为 、宽为 的长方形（1 个 正方形、3 个 长方形、2 个 正方形）； （2） 变式12-3　（1），故 ，所以 ； （2）由 得 ，故 。△ABC 是等腰三角形，故 或 对应练习题参考答案 1．B　2．B　3．C　4．C（±8） 5． 6．3000。 7．24。 8．1。，故 ，所以 9．（1）； （2）； （3）； （4） 10．等腰三角形。，而 ，故 11．（1）4。； （2）99.96。 12．（1）； （2）； （3），最小值为 5。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $