第一章 因式分解 章检测 2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

2026—2027学年第一学期八年级数学第一章因式分解章检测（鲁教版） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D C D A C D 1．B 【分析】先排除非因式分解的选项，再验证剩余选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，错误． 2．C 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解”是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式来进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、结果是整式的乘积的形式，是分解因式，符合题意； D、结果中含有分式，不是分解因式，不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，该选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，该选项不符合题意； C、是因式分解，该选项符合题意； D、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、等式左右不相等，故本选项不符合题意； C、等式左右不相等，故本选项不符合题意； D、等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选D． 6．C 【分析】本题考查了分解因式的定义，熟练掌握分解因式的定义是解题的关键； 把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】解：A．属于单项式乘以多项式，故本选项不符合题意； B．不是整式，故没有化为整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； C．提取公式将原式化为整式的积的形式，是分解因式，故本选项符合题意； D．没有化为整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； 故选：C 7．D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 8．A 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，整除的性质，掌握因式分解是判断代数式整除性的关键． 将多项式利用平方差公式因式分解，提取公因式后可知该表达式恒含有因子3，因此能被3整除． 【详解】解：∵ = = = =， ∴对于任意整数，该多项式均含有因子，故能被整除 其他选项不一定成立，例如当时选项B无意义；当时选项C不成立；当时选项D不成立． 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查了因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解． 根据提公因式分解因式可得出A错误；根据平方差公式可得B错误；根据完全平方公式可得C正确；根据十字相乘法可判断D错误． 【详解】A、，故此选项错误； B、，不符合平方差公式，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 10．D 【分析】先对原式用平方差公式分解，再对两个因式继续用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 【分析】本题考查了分式的通分、分解因式，分式的能分就是把异分母分式化为同分母分式，通分的关键是找各分式的最简公分母，最简公分母就是取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数，再取各分母中所有因式的最高次幂作为公分母的因式，从而可得答案． 【详解】解：， ， 最简公分母是． 故答案为： ． 12． 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确分解因式是解题关键．直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，找到正确的公因式是解题的关键．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握正体换元法是解题的关键；可先提取公因式，然后再根据换元法进行因式分解即可 【详解】解：原式， 令，故， 原式 ； 故答案为． 15． 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先根据已知条件求出的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有的形式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16①；②. 【分析】本题考查了解因式分解． ）①先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； ②先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】 解：①； ②. 17．(1)， (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用十字相乘法分解因式即可；先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （2）先去括号展开化简，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解 （3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．108J 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将公式因式分解，然后将已知数据代入求值，即可求解． 【详解】解：由题意得， 答：电流流经电阻所产生的热量为 21．(1)20， (2)设两个连续偶数分别为和，其中n为自然数 为自然数 为整数 能够被4整除即任意的“偶像数”都能被4整除 【分析】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键． （1）根据“偶像数”的定义写出一个“偶像数”即可； （2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“偶像数”，利用平方差公式化简即可判断； 【详解】（1）“偶像数”20 （2）略 22．问题1：①③④⑤ 问题2：（1）能，根据题意，图形如下， 此长方形面积为：； （2）5或7 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 问题1：根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合面积加减计算逐个判断即可； 问题2：（1）根据整式得到2个大正方形、1个小正方形、3个长方形，然后画出图形即可解答； （2）根据因式分解平方项凑长方形的长宽，进而求解即可解答． 【详解】解：问题1：由图形可得，、，故①正确， ，故②错误； 由图形可得，，故③正确； 、， ，故④正确； ，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 问题2：（1）略 （2）由题意可得， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：5或7． 23．(1)M（531）=999，是“稳定数”，M（426）=1332，不是“稳定数” (2)见解析 (3)153、513、243或423． 【分析】（1）根据新定义进行解答便可； （2）设n=（a≠b≠c，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9），根据新定义用a、b、c表示M（n）得M（n）=111（a+b+c）即可； （3）根据新定义求得M（n）=111（a+b+3），根据M（n）为最大的三位“稳定数”，得111（a+b+3）=999，再根据n为“变动数”，n=100a+10b+3（其中a、b都是正整数，1≤a≤9，1≤b≤9），得a≠b≠3，进而确定a、b的值，即可求得n的值． 【详解】（1）解：M（531）=351+135+513=999，是一个“稳定数”； M（426）=246+624+462=1332，不是“稳定数”； （2）证明：设n=（a≠b≠c，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9）， ∴M（n）=100b+10a+c+100c+10b+a+100a+10c+b=111a+111b+111c=111（a+b+c）， ∴M（n）等于n的各数位上的数字之和的111倍； （3）解：∵n=100a+10b+3（其中a、b都是正整数，1≤a≤9，1≤b≤9）， ∴M（n）=111（a+b+3）， ∵M（n）为最大的三位“稳定数”， ∴M（n）=999， ∴111（a+b+3）=999， ∴a+b=6， ∵n为“变动数”，n=100a+10b+3（其中a、b都是正整数，1≤a≤9，1≤b≤9）， ∴a≠b≠3， ∴a=1，b=5或a=5，b=1，a=2，b=4或a=4，b=2 ∴n=153、513、243或423． 【点睛】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，不定方程的应用，关键是进行因式分解及求不定方程的解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期八年级数学第一章因式分解章检测 （鲁教版） 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列各式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 8．对于任意整数，多项式都能（    ） A．被3整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 9．下列因式分解变形正确的是（    ） A． B． C． D． 10．把在实数范围内因式分解，结果为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知分式，，其分母与的最简公分母是______． 12．已知，则___． 13．因式分解：_______． 14．________． 15．若，则的值是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（9分）计算： 因式分解： ①     ② 17．（9分）分解因式： (1)________；________； (2)（要求写过程）． 18．（9分）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 19．把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 20．（9分）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 21．（9分）大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”． (1)试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差； (2)求证：任意的“偶像数”都能被4整除． 22．（9分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 23．（12分）如果一个正整数满足各数位上的数字都相同，我们称这样的正整数为“稳定数”，比如：2，55，888，1111．对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“变动数”．将一个“变动数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，是一个“稳定数”． (1)计算：，，并判断它们是否为“稳定数”； (2)若是“变动数”，试说明等于的各数位上的数字之和的111倍； (3)若“变动数”（其中、都是正整数，，），且为最大的三位“稳定数”，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $