第一章三角形（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第一章 三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识三角形 1.1 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。三角形有三条边、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号”“表示。顶点是 ，， 的三角形，记作 ； 的三边，有时也用 ，， 来表示，顶点 所对的边 用 表示，顶点 所对的边 用 表示，顶点 所对的边 用 表示。 示例：三条线段首尾顺次相接且不在同一直线上，才能围成三角形； 中，顶点 所对的边为 。 1.2 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于 。 示例：在 中，。 1.3 三角形按角分类 我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类： 三角形 特征 锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 示例：三个内角分别为 ，， 的三角形是锐角三角形；有一个角是 的是直角三角形。 1.4 直角三角形的符号、斜边与直角边 通常，我们用符号”“表示”直角三角形 “。直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。 示例： 中，若 ，则 是斜边，， 是直角边。 1.5 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余。 示例： 中，，则 。 1.6 三角形按边分类 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰。三边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。 示例： 中，若 ，则它是等腰三角形，， 是腰；若 ，则它是等边三角形。 注意：等腰三角形中，相等的两边叫作腰，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角，除两腰外的第三边叫作底边。三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等。 1.7 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。 示例：长度分别为 ，， 的三条线段不能摆成三角形，因为 。 1.8 三角形的高、中线与角平分线 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。线段 是 的 边上的中线。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。线段 是 的 边上的高。 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。线段 是 的一条角平分线。 示例：在 中，点 在边 上：若 ，则 是中线；若 ，则 是高；若 ，则 是角平分线。 1.9 三角形三条重要线段的位置关系 线段 位置关系 三条中线 交于一点，这点称为三角形的重心 三条角平分线 交于一点 三条高所在的直线 交于一点 示例：用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，支点就是三条中线的交点，即三角形的重心。 2. 图形的全等 2.1 全等图形 能够完全重合的两个图形称为全等图形。 示例：两个完全一样的三角形叠在一起能够完全重合，它们是全等图形。 2.2 全等图形的性质 全等图形的形状和大小都相同。 示例：两个全等图形叠放时完全重合，形状相同、大小相等。 2.3 全等三角形与对应元素 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 与 能够完全重合，它们是全等的。其中，顶点 ， 重合，它们是对应顶点；边 与边 重合，它们是对应边； 与 重合，它们是对应角。 示例： 与 全等时， 与 是对应角，边 与边 是对应边。 2.4 全等三角形的性质与记法 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 与 全等，我们把它记作”“。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 示例：若 ，则 ，，，，，。 3. 探索三角形全等的条件 3.1 只给出一个或两个条件不能判定全等 只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。 示例：只给一条边或一个角，或给出两个角，画出的三角形都不一定全等。 3.2 三个内角分别相等不能判定全等 三个内角分别相等的两个三角形不一定全等。 示例：两个三角形的三个内角都是 ，，，但边长不同，它们不全等。 3.3 判定方法一：边边边（） 三边分别相等的两个三角形全等，简写为”边边边”或”“。 示例：若 ，，，则 。 3.4 三角形的稳定性 只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。 示例：三根木条钉成的三角形框架大小和形状固定不变；四根木条钉成的四边形框架形状可以改变。 3.5 判定方法二：角边角（） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为”角边角”或”“。 示例：若 ，，，则 。 3.6 判定方法三：角角边（） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为”角角边”或”“。 示例：若 ，，，则 。 3.7 判定方法四：边角边（） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为”边角边”或”“。 示例：若 ，，，则 。 3.8 两边及其中一边的对角不能判定全等 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。 示例：，，（， 分别是 ， 的对角），两个三角形不一定全等。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 已知两边求第三边的取值范围 若三角形两边的长分别为 ，（），则第三边的长 满足 。 1.2 直角三角形的两种判定 三角形中，若有两个角互余（和为 ），或有一个内角等于另外两个内角之和，则这个三角形是直角三角形。 1.3 全等三角形的对应线段、周长与面积 全等三角形的对应角的平分线相等，对应中线相等，对应高相等，周长相等，面积也相等。 1.4 中线平分面积 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形（等底同高），即 为 的中线时 。 1.5 等腰三角形求边长的分类讨论 已知等腰三角形两边的长求第三边或周长时，须按”已知边分别为腰、底”两种情形讨论，并用三边关系逐一检验，不满足的情形舍去。 【使用提醒】求出的每组边长都要检验”任意两边之和大于第三边”。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 三角形内角问题的方程思想 把未知角设为 ，其余各角用含 的式子表示，代入内角和 列方程求解。如 时，设 ，则 ，由 得 。 2.2 判断三条线段能否组成三角形 只需检验两条较短的线段之和是否大于最长的线段，大于则能组成。如 ，，：，不大于 ，不能组成三角形。 2.3 全等三角形判定方法的选取 按已知条件选方法：三边→；两边及夹角→；两角及夹边→；两角及其中一角的对边→。已知两角时优先考虑 、；已知两边时须找到两边的夹角用 。 2.4 用尺规作三角形 先作一条边（或一个角），再用圆规作弧确定第三个顶点。如已知三边 ，，：作线段 ，分别以 ， 为圆心、， 为半径作弧交于点 ，连接 ，。 2.5 利用全等三角形测距离 对不可直接测量的两点间距离，构造一对全等三角形，把待测线段转化为可测的对应边。如测池塘两端 ， 的距离：取能直接到达 ， 的点 ，延长 到 使 ，延长 到 使 ，则 。 2.6 特殊化策略 当图形的位置、形状或数值不确定、问题有多种情形时，先考虑最特殊（最简单）的情形求出结论，再把一般情形转化为特殊情形求解。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 内角和速算 三内角和恒为 ，已知两角直接相减 两锐角互余速算 直角三角形中一锐角为 减另一锐角 一锐角 ，另一锐角 角度设元 角成比例或含倍数关系时，按比例设最小角为 时设 ， 最短两边判定 判断能否组成三角形，只比最短两边之和与最长边 ，，：，能组成 全等找对应 全等式中同一位置的字母即为对应顶点 中 与 对应 4. 常见考试模型 4.1 等腰三角形周长模型 公式：已知等腰三角形两边的长 ，，周长按”腰 底 “与”腰 底 “两种情形分别计算。 限定：两边之和须大于第三边，不合题意的情形舍去。 示例：如两边为 ，：腰 底 时 舍去，腰 底 时周长为 。 4.2 全等测量模型 公式：构造 （，，），把不可直接测量的 转化为可测量的 。 限定：用于两点间不可直接测量的情境（隔河、池塘、内槽等）。 示例：如测池塘两端 ， 的距离；用卡钳量得 即可知工件内径 。 4.3 三角形内角和综合模型 公式：图中含角平分线、高、平行线时，先用内角和求出一个关键角，再利用角平分线、直角、平行关系逐步推出其他角。 限定：合理设元，注意直角与对顶角、平行线的等量关系。 示例：如 中 ，， 是角平分线，先由内角和得 ，再得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：等腰三角形已知两边求周长，漏分类讨论且不检验三边关系 典例：等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，求它的周长。 错解：设两腰为 ，底边为 ，周长为 。 正解：分两种情况讨论：①腰为 ，底为 时，，不能组成三角形，舍去；②腰为 ，底为 时，，符合三边关系，周长为 。所以周长为 。 原因：忽略隐含条件与分类讨论。“等腰三角形两边长”并未指明哪条是腰，必须分两种情形讨论；每种情形又必须满足”任意两边之和大于第三边”。学生往往默认较短的边为腰，直接套”两腰底”求周长，跳过了分类与检验。 易错点 2：求第三边取值范围时，只记”两边之和”漏掉”两边之差” 典例：已知三角形的两边长分别为 和 ，第三边的长为整数，求第三边的长。 错解：由两边之和大于第三边得第三边 ，所以第三边为 ，，…，。 正解：设第三边长为 ，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，得 ，即 ，所以整数 为 ，，，，。 原因：只用了一半条件。三边关系是”任意两边之和大于第三边”与”任意两边之差小于第三边”两条，第三边必须同时满足，下界由两边之差给出。学生只记”两边之和大于第三边”，把取值从 开始枚举，丢掉了 的下界。 易错点 3：把钝角三角形的高画在三角形内部 典例：画钝角三角形 （）的 边上的高。 错解：从顶点 向边 作线段，使垂足落在边 上。 正解：从顶点 向 边所在直线作垂线，垂足落在边 的延长线上，顶点 到垂足的线段就是 边上的高。 原因：概念理解不到位。三角形的高的定义是”从顶点向它的对边所在直线作垂线”，关键在”对边所在直线”。钝角三角形有两条高落在三角形外部，学生受锐角三角形的直观印象影响，只在三角形内部作高，导致画错或作不出。 易错点 4：把两边及其中一边的对角误当作”边角边”判定全等 典例：在 和 中，已知 ，，。能否判定 ？ 错解：由边、边、角分别相等，根据 判定 。 正解：不能判定。， 是两边，但 是 边的对角，不是这两边的夹角；两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。只有当夹角相等（如 ）时，才能由 判定全等。 原因：把 的角记成了”任意一角”，忽略了 要求角是两边的夹角。按字母顺序套”边、边、角”并不等于 ；判定全等前必须确认角是不是两边的夹角。 易错点 5：全等三角形对应边、对应角找错 典例：已知 ，指出它们的对应边和对应角。 错解：因为两个三角形都含有字母 ，就认为 与 对应，边 与 对应。 正解：由 知，对应顶点 ，，；对应边为 ，，；对应角为 ，，。 原因：忽略”记两个三角形全等时，对应顶点的字母写在对应位置”这一约定，凭字母名称去凑对应关系。找对应元素的正确依据是全等式中字母的位置：第 个对第 个、第 个对第 个、第 个对第 个。 易错点 6：证明全等时漏写隐含条件，条件不足就下结论 典例：如图， 与 相交于点 ， 是 的中点，。说明 。 错解：在 和 中，因为 ，，所以 。 正解：因为 是 的中点，所以 ；又 ，且 （对顶角），根据 ，所以 。 原因：漏写图形中的隐含条件（对顶角相等），给出的条件不足以判定全等。判定全等要”条件齐全、依据明确”：用 必须同时写出两组角与它们的夹边，图里的公共边、对顶角、公共角等隐含条件不能省。 学科网（北京）股份有限公司 $