专题01 三角形（9知识&16题型&4易错&10模型）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 三角形（9知识&16题型&4易错&10种模型清单） 【清单01】认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【清单02】三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c；|a-c|＜b；|b-c|＜a 【清单03】三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【清单04】三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】 1）无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 【清单05】全等图形 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 【判断全等形的方法】全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置，看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点；AB和 DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【清单06】全等三角形的判定 1.边边边（SSS）： 1）文字描述：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若. 2.边角边（SAS）： 1）文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 3.角边角（ASA）： 1）文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 4. 角角边（AAS）： 1）文字描述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 【清单07】全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【清单08】三角形全等的应用 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 【补充知识点】三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【题型一】理解三角形的相关概念 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 2．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（   ） A．B．C．D． 3．（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．三角形的三个内角的和等于 B．三角形任何两边之和大于第三边 C．任意三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 【题型二】利用三角形内角和定理求角的度数 5．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）一个三角形，三个内角度数比是，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6．（25-26七年级上·山东·课后作业）由下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 7．（20-21七年级下·湖南湘西·期末）如图所示，直线m∥n，直角三角形ABC（∠C＝90°）的顶点A在直线n上，若∠β＝43°，则∠α的度数为（　　） A．47° B．43° C．57° D．53° 8．（21-22七年级上·山东烟台·期中）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则最大一个内角等于 ． 【题型三】与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 9．（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是的平分线，，交于点，，，求的度数． 11．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ． 12．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ） A．115° B．120° C．125° D．130° 13．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 【题型四】直角三角形两个锐角互余 14．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直（），摩擦力的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角．，则斜面的坡角的度数是 ． 【题型五】构成三角形的条件 18．（2025七年级上·山东·专题练习）下列四组小棒，可以围成三角形的是（  ）． A．1cm，4cm，5cm B．3cm，3cm，3cm C．1cm，2cm，4cm D．2cm，2cm，6cm 19．（24-25七年级下·山东聊城·期末）有四段长度分别为，，，的铁丝，任意取出其中的三段，可以组成（    ）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型六】确定第三边的取值范围 20．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 21．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22八年级上·山东济宁·期中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，若第三边为奇数，则该三角形的周长为 ． 23．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）设a，b，c是的三边，则 ． 【题型七】根据中线求长度/面积 24．（21-22八年级上·河南商丘·期中）已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 25．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 26．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则 ． 27．（21-22八年级下·山东德州·期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是 【题型八】与三角形的高有关的计算 28．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 29．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知，，，，，则点到边的距离是 ． 30．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，中，垂足为D． (1)求证： (2)若，，，求的长． 【题型九】三角形中线、高、角平分线综合 31．（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 33．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【题型十】全等图形的识别 34．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列各组图形中，不是全等形的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·山东·随堂练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．B．C．D． 36．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，与所给图案是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 37．（22-23八年级上·江西宜春·阶段练习）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（　　） A．等腰梯形B．正方形C．正六边形D．正五角星 【题型十一】利用三角形的性质求解 38．（20-21八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（   ） A． B． C． D． 39．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，≌，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，，若，，则的长为（    ）      A．5 B．6 C．7 D．8 41．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知，若的周长为20，，，则的长为 ． 42．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【题型十二】添加条件使三角形全等 43．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，、分别是边、上的点，要使，下列补充条件中不正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，已知，，，要使成立，还需要一条件，这个条件可以是 （填一个正确的即可）． 46．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 47．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【题型十三】选用合适的方法证明三角形全等 48．（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）如图，，，垂足分别为E、D，，相交于点O． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，求证：． 49．（2019·云南红河·一模）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，请添加一个条件不添加辅助线使，并说明理由． 50．（19-20七年级下·甘肃兰州·期末）如图：和中，；试说明． 【题型十四】全等三角形的性质与判定 51．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长． 52．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 53．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 54．（2014·山东泰安·一模）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 【题型十五】全等三角形的实际应用 55．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 56．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼的距离与旗杆的高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离为米，且 ，点，，在同一条直线上，求楼的高度是多少米？ 57．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 58．（24-25七年级下·广东佛山·期末）小明带著工具（卷尺、测角仪、标杆、红绳等）到堤岸边进行实践活动．他站立在路灯处发现路灯恰好在他的正对面小明想知道之间有多远于是他沿着堤岸行走到处插好标杆后往前走相同的距离到处然后向右直行当看到路灯与标杆在一条直线上时停下来此时他位于处．那么两点间距离就是路灯之间的距离． (1)请解释其中的道理； (2)假设小明所在的岸边都是视野开阔的平地请利用小明带来的工具设计另外一种测量方案（画出相应的示意图并说明理由）． 【题型十六】与本章有关的尺规作图问题 59．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 60．（22-23七年级下·全国·期中）如图，在方格纸内将水平向右平移个单位，再向下平移个单位得到. (1)画出； (2)过点画边上的垂线； (3)求图中的面积. 61．（24-25七年级下·北京海淀·期末）小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 62．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【题型一】与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是 ． 2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）已知一个等腰三角形的周长是13，其中一条边长是5，则这个等腰三角形的腰长是 ． 【题型二】与三角形高有关的分类讨论问题 3．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的面积为，是边上的高，，，则 ． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知分别是的高和角平分线，且，则的度数为 度，的度数为 度． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【题型三】利用全等三角形解决动点问题时未分类讨论 6．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【题型四】错误的使用AAA/SSA证明三角形全等 9．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）如图，，要证明，则需添加下列条件中的一个，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． A字模型 8字模型 图示 结论 ∠1+∠2 = 180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型 图示 点O为∠A内部的一点 结论 ∠BCD=∠A+∠B+∠D ∠1+∠2 = ∠A+∠O 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 ∠D = 90°+∠A ∠D = 90°-∠A ∠E = ∠A 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 2. 截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 3.一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 4.一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 【题型一 三角形角度有关的模型】 1．（江苏省无锡市侨宜实验学校2024-2025学年下学期5月月考七年级数学试卷）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）某一天，爸爸带着小刚路过建筑工地，看见有如图所示的人字架．爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角，你能求出比大多少吗？”小刚马上得到了正确的答案，他的答案是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2020八年级·山东·竞赛）如图，一长方形直尺放在一直角三角板上，则图中与的关系是 ． 8．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与 的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 9．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，则 ． 10．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 11．（山东省济南市天桥区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷　）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 12．（24-25七年级下·山东威海·期中）【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【题型二 全等三角形热考模型】 1．（24-25六年级下·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______． 【模型构建】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【类比应用】 （2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 5．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（9知识&16题型&4易错&10种模型清单） 【清单01】认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【清单02】三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c；|a-c|＜b；|b-c|＜a 【清单03】三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【清单04】三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】 1）无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 【清单05】全等图形 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 【判断全等形的方法】全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置，看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点；AB和 DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【清单06】全等三角形的判定 1.边边边（SSS）： 1）文字描述：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若. 2.边角边（SAS）： 1）文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 3.角边角（ASA）： 1）文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 4. 角角边（AAS）： 1）文字描述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 【清单07】全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【清单08】三角形全等的应用 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 【补充知识点】三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【题型一】理解三角形的相关概念 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 2．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高，根据三角形高的定义即可求解．熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作（或延长线）的垂线段，垂足为，则垂线段为的边上的高，由图可知，选项符合，其他选项不符合． 故选：． 3．（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．三角形的三个内角的和等于 B．三角形任何两边之和大于第三边 C．任意三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三条重要线段，三角形三边关系，三角形内角和定理．根据角平分线，高线的定义和性质，三角形三边关系，三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的三个内角的和等于，本选项不符合题意； B、三角形任何两边之和大于第三边，本选项不符合题意； C、任意三角形的三条角平分线交于一点，本选项不符合题意； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，本选项符合题意； 故选：D． 【题型二】利用三角形内角和定理求角的度数 5．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）一个三角形，三个内角度数比是，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据题意，最大角的度数为，判断是钝角三角形解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类是解题的关键． 【详解】解：根据题意，最大角的度数为， 故三角形是钝角三角形， 故选：B． 6．（25-26七年级上·山东·课后作业）由下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据三角形的内角和为，通过计算得出三角形中是否有角作出判断即可． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， A．∵ ，， ∴ ， 故A不符合题意； B．设， 则， 解得， ∴ ， ∴不是直角三角形， 故B符合题意； C．∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， 故C不符合题意； D．设， 则， 解得， ∴， 故D不符合题意． 故选：B． 7．（20-21七年级下·湖南湘西·期末）如图所示，直线m∥n，直角三角形ABC（∠C＝90°）的顶点A在直线n上，若∠β＝43°，则∠α的度数为（　　） A．47° B．43° C．57° D．53° 【答案】A 【分析】如图，延长AC交m于点D．由m∥n，得∠ODC＝∠β．由∠ACB＝90°，得∠BCD＝90°，故∠COD+∠CDO＝90°，即∠α+∠β＝90°．那么，∠α＝47°． 【详解】解：如图，延长AC交m于点D． ∵m∥n， ∴∠β＝∠ODC． ∵∠α与∠DOC是对顶角， ∴∠α＝∠DOC． 又∵∠ACB＝90°， ∴∠OCD＝180°﹣∠ACB＝90°． ∴∠COD+∠ODC＝180°﹣∠OCD＝90°． ∴∠α+∠β＝90°． ∴∠α＝90°﹣∠β＝90°﹣43°＝47°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 8．（21-22七年级上·山东烟台·期中）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则最大一个内角等于 ． 【答案】90°/90度 【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠B=∠C-∠A代入求出∠C即可． 【详解】解：根据题意得：∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C-∠A， ∴∠A+∠C-∠A +∠C =180°， ∴∠C=90°， ∴最大一个内角为90°， 故答案为90°． 【点睛】此题考查三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键． 【题型三】与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 9．（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 10．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是的平分线，，交于点，，，求的度数． 【答案】∠A=45° 【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A的度数即可． 【详解】解：∵DE∥CB， ∴∠BED+∠ABC=180°， ∵∠BED=150°， ∴∠ABC=30°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∵∠BDC=60°， ∴∠C=105°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C的度数是解题关键． 11．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：48． 12．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】A 【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 又、是的角平分线， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是． 13．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据三角形的内角和定理，求出，再根据是的角平分线，得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】在中，，， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 【题型四】直角三角形两个锐角互余 14．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵中，， ， 故选：B． 15．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 16．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直定义．先由垂直的定义得出，求出，由平分线的定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 17．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直（），摩擦力的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角．，则斜面的坡角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坡角的概念、平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出，根据对顶角相等求出，再根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【题型五】构成三角形的条件 18．（2025七年级上·山东·专题练习）下列四组小棒，可以围成三角形的是（  ）． A．1cm，4cm，5cm B．3cm，3cm，3cm C．1cm，2cm，4cm D．2cm，2cm，6cm 【答案】B 【分析】此题考查三角形构成的条件，根据三角形三边关系定理，较小两边之和必须大于最长边，依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】解：A.，无法围成三角形； B.，可以围成三角形； C. ，无法围成三角形； D. ，无法围成三角形； 故选B． 19．（24-25七年级下·山东聊城·期末）有四段长度分别为，，，的铁丝，任意取出其中的三段，可以组成（    ）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，分别验证所有可能的三段组合是否满足该条件，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四段铁丝的长度为，，，，任取三段的组合共有4种： ，，，此时最大边，，满足条件； ，，，最大边，，不满足条件； ③，，，最大边，，不满足条件， ④，，，最大边，，满足条件； 符合条件的组合有2个， 故选：B． 【题型六】确定第三边的取值范围 20．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 21．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 22．（21-22八年级上·山东济宁·期中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，若第三边为奇数，则该三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】根据非负数的性质求解的值，再利用三角形的三边关系求解的范围，结合已知条件，从而可得答案. 【详解】解： 解得： 又因为第三边为奇数， 所以该三角形的周长为 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，掌握“三角形的三边关系得到”是解本题的关键. 23．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）设a，b，c是的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、化简绝对值，由三角形三边关系可得，，，再根据绝对值的意义化简即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型七】根据中线求长度/面积 24．（21-22八年级上·河南商丘·期中）已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．证明，进一步计算周长差即可. 【详解】解：如图：   是的中线， ， ∵与的周长分别为，， ①， ②， 得：， 故答案为：9． 25．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 26．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，以及三角形中线的性质，解题的关键在于掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可解题． 【详解】解： ，，分别为，，的中点，且， ， ， ， ， 故答案为：． 27．（21-22八年级下·山东德州·期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是 【答案】4.5// 【分析】先根据等底同高可得，，再根据三角形中位线定理可得，然后根据即可得． 【详解】解：的面积是12，点D是的中点， 由等底同高得：， 同理可得：， ， ， ， ， 点F是的中点，点G是的中点， 是的中位线， ， 则． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出的面积，是解题关键． 【题型八】与三角形的高有关的计算 28．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键． 由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 29．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知，，，，，则点到边的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据面积相等即可求出点C到的距离． 【详解】解：如图，作于点D， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴点C到边的距离是． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，中，垂足为D． (1)求证： (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、余角的性质以及三角形的面积公式等知识；熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用三角形面积公式是解题的关键． （1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等来证明角相等； （2）根据三角形面积的两种不同计算方式（以两条直角边为底和高、以斜边为底和斜边上的高为高）建立等式，进而求解斜边上的高的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， ， 故； （2）， ， ， ． 【题型九】三角形中线、高、角平分线综合 31．（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解： ，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 32．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法． 解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用． 【详解】① 是的中线， ， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故①说法正确； ②在中，， ， ， ， 又 ，，，是角平分线， ， ， 故②说法不正确； ③ ，是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 故③说法正确； ④ ，是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故④说法正确； ⑤ ，，，，是的高， ， ， ， 故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 33．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 【题型十】全等图形的识别 34．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列各组图形中，不是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，A、B、C选项的两个图形都可以完全重合，所以是全等图形， D选项中不可能完全重合，所以不是全等形． 故选C． 35．（24-25七年级上·山东·随堂练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此即可判断． 【详解】解：A中两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B中图形是一个图形，不是全等图形，不符合题意； C中两个图形是全等图形，符合题意； D中两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 36．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，与所给图案是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义即可得． 【详解】解：由全等图形的定义可知，与所给图案是全等图形的是选项C， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，解题的关键是熟记全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 37．（22-23八年级上·江西宜春·阶段练习）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（　　） A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星 【答案】A 【分析】根据全等形的定义判断即可． 【详解】观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成两个完全重合的两部分，而选项A的虚线把图形分成两个不能重合的三角形，故选项A这两部分不是全等图形； 故选：A． 【点睛】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题． 【题型十一】利用三角形的性质求解 38．（20-21八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：D． 39．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，≌，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，进而求出． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：B． 40．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，，若，，则的长为（    ）      A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解： ， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握性质是解题的关键． 41．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知，若的周长为20，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先求出，再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵的周长为20，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【答案】的周长为． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：，，，， ，， ， 的周长为． 故的周长为． 【题型十二】添加条件使三角形全等 43．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，、分别是边、上的点，要使，下列补充条件中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，，，， A、若，无法利用“” 证明，本选项符合题意； B、若，则，可利用“”证明，本选项不符合题意； C、若，可利用“”证明，本选项不符合题意； D、若，可利用“” 证明，本选项不符合题意； 故选：A． 44．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： ， ，即， 又 ， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 45．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，已知，，，要使成立，还需要一条件，这个条件可以是 （填一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有．根据题意得，则已知一条边和一个角，结合全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 当时，可用证明； 当时，可用证明； 当时，可用证明； 故答案为：或或（答案不唯一）． 46．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)90，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据已知条件可依据“”判定和全等； （2）由得，根据可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）； （2）解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 47．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 【题型十三】选用合适的方法证明三角形全等 48．（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）如图，，，垂足分别为E、D，，相交于点O． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据垂直的定义得到，根据证明即可； （2）根据垂直的定义得到，求出根据证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中： ， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 又∵，，， ∴， 在和中： ， ∴， ∴． 49．（2019·云南红河·一模）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，请添加一个条件不添加辅助线使，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．①根据可以添加条件；②根据可以添加条件；③根据可以添加条件． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：条件 在和中， ， ∴（答案不唯一）． 50．（19-20七年级下·甘肃兰州·期末）如图：和中，；试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 【题型十四】全等三角形的性质与判定 51．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 52．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 53．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（2014·山东泰安·一模）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得， 再根据，便可证得结论； （2）根据（1）的结论，利用全等三角形的性质得，结合与内角和，即可得． 【详解】（1）解：， ． 即． 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： ， ． ，，， ． ． 【题型十五】全等三角形的实际应用 55．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 56．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼的距离与旗杆的高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离为米，且 ，点，，在同一条直线上，求楼的高度是多少米？ 【答案】楼高为米 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据题意得出米，通过证明，即可得出米． 【详解】解：根据题意可得：，米，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， 答：楼高为米． 57．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)10米 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，可证明； （2）由全等得到，再由线段的和差关系即可求解； 【详解】（1）解： ， ， ． （2）， ， ， ， 即池塘的宽度为． 58．（24-25七年级下·广东佛山·期末）小明带著工具（卷尺、测角仪、标杆、红绳等）到堤岸边进行实践活动．他站立在路灯处发现路灯恰好在他的正对面小明想知道之间有多远于是他沿着堤岸行走到处插好标杆后往前走相同的距离到处然后向右直行当看到路灯与标杆在一条直线上时停下来此时他位于处．那么两点间距离就是路灯之间的距离． (1)请解释其中的道理； (2)假设小明所在的岸边都是视野开阔的平地请利用小明带来的工具设计另外一种测量方案（画出相应的示意图并说明理由）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，构造全等三角形是解决问题的关键． （1）通过已知条件寻找三角形全等的条件来解释的道理； （2）利用全等三角形的性质设计测量方案。 【详解】（1）解：在和中： ， ， ． 即两点间距离就是路灯、之间的距离． （2）测量方案：如图， ①在岸边取一点，使得于点， ②用测角仪测量且点在的延长线上， 那么两点间的距离就是路灯、之间的距离． 理由如下： 在和中： 。 ， 测量出的长度就是、之间的距离。 【题型十六】与本章有关的尺规作图问题 59．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，三角形的面积，三角形的高，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）取格点M，N，使点M，N为边的三等分点，即可解答； （2）在线段的延长线上取格点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 根据题意得：， ∴． 60．（22-23七年级下·全国·期中）如图，在方格纸内将水平向右平移个单位，再向下平移个单位得到. (1)画出； (2)过点画边上的垂线； (3)求图中的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积为8． 【分析】（1）将三个顶点分别向下平移2个单位再向右平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）过点B画边所在直线上的垂线，再平移过点C，交直线于点D； （3）根据割补法列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积为． 【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． 61．（24-25七年级下·北京海淀·期末）小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【答案】(1)见解析 (2)② 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意作图步骤进行作图即可； （2）根据作图痕迹，利用即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：根据作图可知：，，， ∴， 即判定的依据是②， 故答案为：②． 62．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 【题型一】与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 不能组成三角形， 是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个三角形的周长是． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）已知一个等腰三角形的周长是13，其中一条边长是5，则这个等腰三角形的腰长是 ． 【答案】4或5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系。长是5的边是腰或者是底，因此分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出结论． 【详解】解：当腰长为5时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为5时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的腰长为4或5， 故答案为：4或5． 【题型二】与三角形高有关的分类讨论问题 3．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的面积为，是边上的高，，，则 ． 【答案】5或7 【分析】本题考查三角形的面积公式及应用，解题的关键是正确画出图形，根据题意分两种情况画出图形，运用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时， 的面积为，是边上的高，， ， ， ； 如图，当是钝角三角形时， ， ． 故答案为：5或7． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知分别是的高和角平分线，且，则的度数为 度，的度数为 度． 【答案】 15 40或80 【分析】本题考查三角形的高与角平分线，三角形的内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当为锐角时，②当为钝角时，逐一分析求解，即可解答． 【详解】解：①当为锐角时，如图 ∵分别是的高和角平分线，且， ∴， ∴， ∴． ②当为钝角时，如图 ∵分别是的高和角平分线，且， ∴， ∴， ∴． 综上，，或． 故答案为：15，40或80． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 【详解】解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 【题型三】利用全等三角形解决动点问题时未分类讨论 6．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或， 故答案为：1或． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 【题型四】错误的使用AAA/SSA证明三角形全等 9．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）如图，，要证明，则需添加下列条件中的一个，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法（、、、、）逐一判断即可． 【详解】解：已知，， 补充，无法证明， 补充，根据证明， 补充，根据证明， 补充，根据证明， 故选：A． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定逐项判断可求解． 【详解】解：A、若，且，由“”可证，故选项A不符合题意； B、若，且，由“”可证，故选项B不符合题意； C、若，且，无法证明，故选项C符合题意； D、若，且，由“”可证，故选项D不符合题意； 故选：C． A字模型 8字模型 图示 结论 ∠1+∠2 = 180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型 图示 点O为∠A内部的一点 结论 ∠BCD=∠A+∠B+∠D ∠1+∠2 = ∠A+∠O 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 ∠D = 90°+∠A ∠D = 90°-∠A ∠E = ∠A 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 2. 截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 3.一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 4.一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 【题型一 三角形角度有关的模型】 1．（江苏省无锡市侨宜实验学校2024-2025学年下学期5月月考七年级数学试卷）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ，故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ，故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ，故④正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤． 故选：D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解： 由翻折得到，， ，， ， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）某一天，爸爸带着小刚路过建筑工地，看见有如图所示的人字架．爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角，你能求出比大多少吗？”小刚马上得到了正确的答案，他的答案是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角、平角的定义等知识点，熟练掌握三角形外角的定义是解题的关键．利用平角的定义以及外角的定义，找到和的关系，代入，计算即可． 【详解】解：如图标注， ∵平角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴比大． 故选C 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 6．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 7．（2020八年级·山东·竞赛）如图，一长方形直尺放在一直角三角板上，则图中与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查直尺和三角板中角度间的关系，涉及平行线性质、外角性质等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 先由长方形对边平行得到，再由三角形外角性质得到，最后等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则由平行线的性质可得， 是图中小直角三角形的一个外角， ， 即， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与 的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 【答案】/3度 【分析】利用角平分线的性质以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系，进而求出．本题主要考查三角形外角性质、角平分线定义，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出与的数量关系是解题关键． 【详解】解：平分，平分， ，． 又，， ， ∴． 同理可得． ∴． ∴． ∵，，则． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质定理． 延长交于点，利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， , 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 11．（山东省济南市天桥区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷　）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析； (3)结论不变，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【详解】（1）由表中数据推测： ，． 故答案为：，； （2）结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 12．（24-25七年级下·山东威海·期中）【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论； （3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），证明如下： ∵平分平分， ∴， 同（1）可得，， ∴ ∴； （3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H， 同（1）可得， ∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和）， ， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【答案】初步探索：；归纳结论：；深入探究：；拓展延伸：不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 初步探索：根据三角形外角的性质得出，，即可得出结论； 归纳结论：根据初步探究过程可得答案； 深入探究：根据归纳结论得出，即可得出，从而得出答案； 拓展延伸：根据四边形内角和进行求解即可． 【详解】解：初步探索： ∵为的一个外角， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴； 归纳结论：根据初步探索可知： 深入探究：根据归纳结论可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：不变；理由如下： ∵，， ∴． 【题型二 全等三角形热考模型】 1．（24-25六年级下·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得可得出，证可得，可得； （2）同（1）证可得，可得出结论； （3）由，得到，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）解：的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______． 【模型构建】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【类比应用】 （2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【分析】（1）延长至点，使，连接，由是的中点，可得，结合，根据可证明，可得，最后根据三角形的三边关系即可得到的取值范围； （2）延长至点，使，连接，证得，则，再根据勾股定理的逆定理得到，最后利用勾股定理得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得到，由，，推出垂直平分，得到，最后根据在中，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 在中，， ． 【点睛】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）由（2）知，，得到，由得到，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故答案为：； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18， ∴， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $