专题03 勾股定理（5知识&18题型&1易错&2方法）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题03 勾股定理（5知识&18题型&1易错&2方法清单） 【清单01】勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【注意】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 【清单02】勾股定理的验证 1）赵弦爽图：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，整理得． 2）毕达哥拉斯拼图：如图二，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 3）加菲尔德证法拼图：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 【清单03】勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【清单04】勾股定理的逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较， ①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 【清单05】勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定与问题相关的直角三角形； （3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解； （4）求得符合题意的结果. 【题型一】用勾股定理解三角形 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，，且，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D．3 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，，，则该直角三角形边上高的长为（    ） A．5 B． C． D．或 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，于点B，于点C，E是上一点，，，，则 . 【题型二】已知两点坐标求两点距离 5．（22-23七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．5 B． C． D． 6．（22-23八年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为    【题型三】以直角三角形三边为边长的图形面积 7．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 8．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是 ． 11．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，，按照此规律继续下去，则的值为 ．    12．（20-21八年级下·广东东莞·阶段练习）（1）如图（1），分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明） （2）如图（2），分别以三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明； （3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明． 【题型四】勾股定理与网格问题 13．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（    ）    A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 17．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习） 综合与实践： 【问题情境】某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 【题型五】勾股定理的证明方法 18．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（22-23八年级下·山东临沂·期中）下面四幅图中，能证明勾股定理的有（    ） A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅 20．（19-20七年级上·山东泰安·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 21．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【题型六】利用勾股定理证明线段的平方关系 22．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 23．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 24．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【题型七】以弦图为背景的计算题 26．（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．25 B．36 C．49 D．64 27．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 29．（24-25七年级上·山东泰安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 30．（21-22七年级上·山东威海·期中）阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗? 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________ (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积． (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________． 【题型八】勾股数问题 31．（24-25七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 33．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 34．（23-24七年级上·山东淄博·期中）（1）大家知道等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 【题型九】判断三边能否构成直角三角形 35．（20-21七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，4，5 B．4，5，6 C．11，13，15 D．8，15，17 36．（24-25七年级上·山东烟台·期中）的两边，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 37．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则最长边上的高为 ． 38．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 【题型十】勾股定理逆定理在网格中的应用 39．（23-24七年级上·山东烟台·期中）是网格纸中的格点三角形，试判断该三角形的形状，并求其面积．    40．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，每个小正方形的边长为．    (1)四边形的面积； (2)四边形中有直角吗？若有，请指出直角并说明理由． 41．（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是 ． 42．（21-22八年级上·吉林·期中）如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则 ． 【题型十一】勾股定理逆定理解决实际问题 43．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 44．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． (1)求之间的距离； (2)求四边形的面积． 45．（24-25七年级上·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 46．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 【题型十二】梯子滑落问题 47．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 48．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【题型十三】旗杆高度问题 49．（21-22七年级下·山东济南·期末）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 50．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图是某俱乐部新打造的—款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米． (1)小明猜想立柱的长为10米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【题型十四】大树折断问题 51．（20-21八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长． 52．（23-24八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【题型十五】水杯中筷子问题 53．（22-23八年级上·山东东营·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    54．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 55．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【题型十六】航海问题 56．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 57．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达N岛．求M岛与N岛之间的距离． 58．（22-23八年级下·重庆潼南·期末）甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里． (1)求乙搜救艇的航行方向； (2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？ 【题型十七】范围影响问题 59．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 60．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 61．（23-24七年级上·山东威海·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．试问：    (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点处时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【题型十八】选址问题 62．（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 63．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 64．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【题型一】求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 65．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（    ） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 66．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是 ． 【题型一】折叠问题 解题方法：三角形、四边形的折叠问题常常与勾股定理相结合求解线段的长度，而解决折叠问题的关键是 要把握折叠前后的对应关系，抓住不变量解题才是关键. 67．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为 ． 68．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 69．（21-22七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，E是上的一点．若沿折叠，使B，D两点重合，则的面积为 ． 70．（19-20八年级上·江苏徐州·期中）如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 71．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【题型二】最短距离 解题方法：要解决几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，转化为平面展开图中两点之间的距离问题，从中抽象出直角三角形，再正确运用勾股定理进行解题. 72．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 73．（2025八年级上·陕西·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 74．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 75．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 76．（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 77．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 78．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 79．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知圆柱底面的周长为dm，圆柱的高为dm，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为多少？ 80．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为，高为．蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿的点爬到容器内壁离容器底部的点处（点与点A相对），求蚂蚁爬行的最短路程． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（5知识&18题型&1易错&2方法清单） 【清单01】勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【注意】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 【清单02】勾股定理的验证 1）赵弦爽图：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，整理得． 2）毕达哥拉斯拼图：如图二，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 3）加菲尔德证法拼图：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 【清单03】勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【清单04】勾股定理的逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较， ①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 【清单05】勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定与问题相关的直角三角形； （3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解； （4）求得符合题意的结果. 【题型一】用勾股定理解三角形 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，，且，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，进而可求出，据此可求出的长． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，，，则该直角三角形边上高的长为（    ） A．5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．先根据勾股定理求出，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，是直角三角形边上高． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 正方形的面积， 故答案为：5． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，于点B，于点C，E是上一点，，，，则 . 【答案】20 【分析】本题考查的了直角三角形两个锐角互余，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．根据直角三角形两个锐角互余求出，，根据所对的直角边是斜边的一半得出，，再由勾股定理得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵所对的直角边是斜边的一半， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：20． 【题型二】已知两点坐标求两点距离 5．（22-23七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 点到原点的距离是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 6．（22-23八年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为    【答案】10 【分析】根据两点间的距离公式直接计算求解即可． 【详解】解：由两点间距离公式得：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，若平面内两点坐标为，，则这两点间的距离为． 【题型三】以直角三角形三边为边长的图形面积 7．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A 8．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ∴， 故选：D． 9．（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    根据勾股定理，得， ∴， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 10．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理正确求出的长是解题关键．根据正方形的面积公式可求出，，结合勾股定理可求出，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是100和36， ∴，， ∵， ∴， ∴以为直径的半圆的面积是．　 故答案为：． 11．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，，按照此规律继续下去，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，根据规律解答． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为1， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， ， ， 则的值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 12．（20-21八年级下·广东东莞·阶段练习）（1）如图（1），分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明） （2）如图（2），分别以三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明； （3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）运用勾股定理，正方形的面积计算方法即可求解； （2）运用勾股定理，圆面积的计算方法即可求解； （3）运用勾股定理，等边三角形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，是直角三角形， ∴， ∵，，， ∴； （2）根据题意可得，， ∵，，， ∴； （3）根据题意可得，， ∵以三边为边向外作正三角形， ∴如图所示，过点作于点， ∴，在中，， ∴， ∴， 同理，，， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 【题型四】勾股定理与网格问题 13．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求出后，根据三角形面积即可求出边上的高． 【详解】解：依图得：， 由勾股定理得， 在边上的高为． 故选：． 14．（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理分别求出每条线段的长度即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，， 故选：． 15．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：连接，    由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键． （）根据勾股定理画出图形即可； （）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， 理由：由网格可得，，， ∴即为所求作；（位置不唯一） （2）解：． 17．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习） 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 【答案】(1)，，，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 借助网格图形与勾股定理分别计算出、、的长度，利用割补法求出的面积，再利用三角形的面积公式求出边上的高，即为点到的距离； 首先根据和的长度可知，，，借助勾股定理和网格图形画出和，连接，即可得到． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格， 可得：，，， 在的正方形中， ， 又， ， 解得：； 故答案为：，，，，； （2）解：，， 画图如下，其中． 【题型五】勾股定理的证明方法 18．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 19．（22-23八年级下·山东临沂·期中）下面四幅图中，能证明勾股定理的有（    ） A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 如图， ∴， ∴不能证明勾股定理，故不符合题意； 如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 故选C． 20．（19-20七年级上·山东泰安·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 【题型六】利用勾股定理证明线段的平方关系 22．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 23．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 24．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 【题型七】以弦图为背景的计算题 26．（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：C． 27．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：C． 28．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据题意， ，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 根据题意， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·山东泰安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）图形的总面积可以表示为或， ， ． 30．（21-22七年级上·山东威海·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________ (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积． (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________． 【答案】(1) (2)28 (3)该风车状图案的面积是24． (4) 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （3）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意：，， ∴小正方形的面积为，大正方形的面积为， 小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：． （2）解：由题意得： 空白部分的面积为． （3）解：， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该风车状图案的面积是24． （4）解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． 【题型八】勾股数问题 31．（24-25七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一验证是否满足勾股定理及是否为整数． 【详解】A．，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意； B．，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，不符合题意； C．，不满足勾股定理，故错误，不符合题意； D．，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意． 综上，只有选项A符合条件． 故选A． 32．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：， ∴A、B、C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意； 故选：D． 33．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．由勾股数组：，…，分析变化规律，即可获得答案． 【详解】解：由勾股数组：，…， ∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组， 第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组． 故答案为：． 34．（23-24七年级上·山东淄博·期中）（1）大家知道等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 【答案】（1）观点正确，理由见解析；（2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）；（当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数） 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及平方差公式． （1）根据勾股定理和平方差公式即可求解； （2）根据勾股定理及平方差公式解答即可． 【详解】解：（1）观点正确，理由如下： 若是一组勾股数，则有，所以有， 利用平方差公式，可得， 若为偶数时，观点显然正确；若为奇数，则均为奇数，则和中必有一个偶数， 所以中必定有一个偶数． （2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）， （当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数）． 【题型九】判断三边能否构成直角三角形 35．（20-21七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，4，5 B．4，5，6 C．11，13，15 D．8，15，17 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先求出两短边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】A．，故不是直角三角形，该选项不符合题意； B．，故不是直角三角形，该选项不符合题意； C．，故不是直角三角形，该选项不符合题意； D．，故是直角三角形，该选项符合题意； 故选：D． 36．（24-25七年级上·山东烟台·期中）的两边，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 由等式可分别得到关于a、b的等式，从而分别计算得到a、b的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵， 又∵ ， ∴， 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 37．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则最长边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出最长边上的高． 【详解】解： 三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是． ， 此三角形是直角三角形， 设最长边上的高是 ， 则，解得． 故答案为：． 38．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 【答案】84 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积等知识点．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴． 【题型十】勾股定理逆定理在网格中的应用 39．（23-24七年级上·山东烟台·期中）是网格纸中的格点三角形，试判断该三角形的形状，并求其面积．    【答案】是直角三角形， 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及求三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理判断三角形的形状，再求其面积即可． 【详解】解：，， ， 是直角三角形， ， ， ． 40．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，每个小正方形的边长为．    (1)四边形的面积； (2)四边形中有直角吗？若有，请指出直角并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形中有直角，理由见解析 【分析】（1）根据四边形的面积即可得出结论； （2）四边形中有直角．根据勾股定理得到，，，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形的面积 ；    （2）解：四边形中有直角．理由： 连接，由勾股定理得： ，，， ∵， ∴， ∴四边形中有直角． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，熟知勾股定理及勾股定理的逆定理是解答此题的关键． 41．（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是 ． 【答案】45°/45度 【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图： 由勾股定理得：，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解． 42．（21-22八年级上·吉林·期中）如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则 ． 【答案】45° 【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°． 【详解】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10． ∴AB2=AC2+BC2，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键． 【题型十一】勾股定理逆定理解决实际问题 43．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)元． 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． （1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且； （2）分别利用三角形的面积公式求出，即是四边形的面积，再乘以80，即可求总花费． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）∵，， ∴， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费元． 44．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． (1)求之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得，， ∴之间的距离为； （2）∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形的面积为． 45．（24-25七年级上·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 46．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 【详解】（1）解： ， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 【题型十二】梯子滑落问题 47．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可； （2）首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 48．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 【题型十三】旗杆高度问题 49．（21-22七年级下·山东济南·期末）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理得，米， ∴米； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接， 由勾股定理得： 米， ∵米， ∴他应该往回收线8米． 50．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图是某俱乐部新打造的—款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米． (1)小明猜想立柱的长为10米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【答案】(1)错误，9米 (2)388 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键． （1）先根据题意推出，在中，利用勾股定理列方程，求出，结合即可得出结论； （2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：解：小明的猜想是不正确的；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ∴， 在中，由勾股定理得： 即： 所以焊接的钢索的长的平方为388 【题型十四】大树折断问题 51．（20-21八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长． 【答案】AC=4.55 【分析】由题意可设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得　32+x2=（10﹣x）2，然后问题可求解． 【详解】解：设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得： 　32+x2=（10﹣x）2， 解得：x=4.55， ∴AC=4.55． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 52．（23-24八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 【题型十五】水杯中筷子问题 53．（22-23八年级上·山东东营·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 54．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案． 【详解】解：如图，在中，， 根据勾股定理得 ． 55．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 【题型十六】航海问题 56．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 【答案】走私艇C最早在11时6分进入我国领海 【分析】本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形．已知走私船的速度，求出走私船的距离即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私船的距离，根据题意，即为走私船所走的路程，可知，和均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出． 【详解】解：设与相交于E，则， ∵， ∴为直角三角形，且． ∵， ∴走私艇C进入我国领海的最短距离是． 由， 即 得海里． 由， 得海里， ∴（小时）=1时36分，9时30分＋1时36分=11时6分． 答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海． 57．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达N岛．求M岛与N岛之间的距离． 【答案】M岛与N岛之间的距离为20海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明为直角三角是解题的关键． 由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长即可． 【详解】解：由题意知，，（海里），（海里）， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 答：M岛与N岛之间的距离为20海里． 58．（22-23八年级下·重庆潼南·期末）甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里． (1)求乙搜救艇的航行方向； (2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？ 【答案】(1)北偏东方向 (2)30海里 【分析】（1）由勾股定理的逆定理求得，再结合甲搜救艇的航行方向即可求解； （2）先求得和的长度，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：海里，海里， ∵海里， ∴，， ∵， ∴， 即乙搜救艇的航行方向是北偏东方向； （2）解：由题意，海里，海里， ∴海里，海里， ∵， ∴海里， 答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键． 【题型十七】范围影响问题 59．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米 (2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 60．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)点A与点B之间的距离为1000海里 (2)有14个小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）由题意，得：，； ∴； ∵，； ∴（海里）， 即：点A与点B之间的距离为1000海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵海里； ∴； 行驶时间为（小时）． 答：有14个小时可以接收到信号． 61．（23-24七年级上·山东威海·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．试问：    (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点处时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为7小时 【分析】本题考查的是勾股定理的运用； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）海港C受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形， ； 过点作，   是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． （2）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时） 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【题型十八】选址问题 62．（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析 【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km； （2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明． 【详解】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴DE=CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A=∠B=90°， ∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2， ∴AE2+AD2=BE2+BC2， 设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x）， ∵DA=8km，CB=6km， ∴x2+82=（14-x）2+62， 解得：x=6， ∴AE=6km． 答：E站应建在距A站6千米处； （2）DE和EC垂直，理由如下： 在△DAE与△EBC中， ， ∴△DAE≌△EBC（SAS）， ∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB， ∵∠DEA+∠D=90°， ∴∠DEA+∠CEB=90°， ∴∠DEC=90°， 即DE⊥EC． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键． 63．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 64．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 【题型一】求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 65．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（    ） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据直角三角形的两条边长为5和13，结合勾股定理分情况讨论①当5和13都为直角三角形直角边时，②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时求解，即可解题． 【详解】解：①当5和13都为直角三角形直角边时， 则第三边的平方是， ②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时， 则第三边的平方是， 故选：C． 66．（14-15八年级上·江苏扬州·期中）已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是 ． 【答案】25或7/7或25 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是， ②当是斜边时，则第三边的平方是． 故答案为：25或7． 【题型一】折叠问题 解题方法：三角形、四边形的折叠问题常常与勾股定理相结合求解线段的长度，而解决折叠问题的关键是 要把握折叠前后的对应关系，抓住不变量解题才是关键. 67．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为： 68．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据折叠的性质可得：，，，，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 69．（21-22七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，E是上的一点．若沿折叠，使B，D两点重合，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，设，由折叠的性质得到，根据勾股定理列方程求得，于是得到的面积．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：设，由折叠的性质得到， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴的面积 故答案为：． 70．（19-20八年级上·江苏徐州·期中）如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的边长问题，掌握中点的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．根据中点的性质得，再根据折叠的性质得，求出，，根据勾股定理列方程即可求出CF的值，即可求出AF的值． 【详解】解：∵，为的中点 ∴ 由题意， ∴， ∴，即 解得． ∴． 71．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 【题型二】最短距离 解题方法：要解决几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，转化为平面展开图中两点之间的距离问题，从中抽象出直角三角形，再正确运用勾股定理进行解题. 72．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】最短行程是 【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∵ ∴ ∴最短行程是． 73．（2025八年级上·陕西·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 74．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】他滑行的最短距离是米 【分析】本题考查最短路径，勾股定理．根据题意可知，型池的展开图为长方形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形是型池的展开图， 根据题意可得， 连接，则的长为滑行的最短距离， 在中，，，， ∴ ∴他滑行的最短距离是米． 75．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】30米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 76．（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 77．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 78．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3) 【分析】（）根据图形画出侧面展开图即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，正确画出木块的侧面展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：根据题意可知，侧面展开图中，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为． 79．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知圆柱底面的周长为dm，圆柱的高为dm，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为多少？ 【答案】dm 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开得到长方形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为dm，圆柱的高为dm， ∴dm，dm ∴， ∴， ∴dm， 所以这圈金属丝的周长最小为dm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 80．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为，高为．蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿的点爬到容器内壁离容器底部的点处（点与点A相对），求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：容器侧面部分展开图如下，作点A关于的对称点，连接． 根据对称性质可知，则． 当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长． 容器高为，底面周长为， 所以， 所以， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程是． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $