第四章实数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第四章 实数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 无理数 1.1 无理数的定义 无限不循环小数称为无理数。 示例： ，（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）都是无限不循环小数，都是无理数。 1.2 有理数与无理数（小数形式） 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 示例： 、 是有理数； 是无理数。 1.3 常见的无理数 面积为 的正方形的边长 （满足 ）、体积为 的正方体的棱长 （满足 ）都不是有理数，都是无理数；圆周率 也是无理数。 示例： ， 都是无限不循环小数，都是无理数。 2. 平方根与立方根 2.1 算术平方根的定义 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫作 的算术平方根，记作 ，读作”根号 “。 特别地，我们规定： 的算术平方根是 ，即 。 示例： 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ；因为 ，所以 的算术平方根是 。 2.2 算术平方根的性质 当 时，，；当 时，。 示例： ；；（因为 ，所以 ）。 注意： 算术平方根 是非负数，即 ，其中被开方数 。 2.3 平方根的定义 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的平方根（也叫作二次方根）。 示例： 因为 ，所以 的平方根是 ，即 。 2.4 平方根的性质 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 正数 有两个平方根，一个是 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作 ，读作”正、负根号 “。 示例： 的平方根是 ； 的平方根是 ； 没有平方根。 2.5 开平方 求一个数 的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 示例： 求 的平方根，就是求平方等于 的数，即开平方运算； 的平方根是 。 2.6 立方根的定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的立方根。 每个数 都有一个立方根，记作 ，读作”三次根号 “。 示例： 因为 ，所以 是 的立方根，即 ；因为 ，所以 的立方根是 。 2.7 立方根的性质 正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。 示例： ，，。 2.8 开立方 求一个数 的立方根的运算叫作开立方， 叫作被开方数。 示例： 求 的立方根就是开立方运算，。 3. 实数 3.1 实数的定义 有理数和无理数统称为实数。 示例： 、、 是有理数，、 是无理数，它们都是实数。 3.2 实数的分类 实数可以按符号分为正实数、、负实数三类： 实数 分类 举例 正实数 正有理数、正无理数 、 负实数 负有理数、负无理数 、 示例： 是正实数， 是负实数。 3.3 实数的相反数、倒数与绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义相同。 示例： 与 互为相反数；，，。 3.4 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 示例： 可以用数轴上的一个点表示；在数轴上， 对应的点在 的右边，所以 。 3.5 实数的运算 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 示例： ；。 3.6 实数运算中的近似值 在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以根据精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。在计算的中间过程，所取的近似值要比要求的精确度多取一位小数；计算出最后结果后，再将最后结果按精确度取近似值。 示例： 计算 （精确到 ）：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 算术平方根的非负性 非负数 的算术平方根 都是非负数，即 （）。若 ，则 。 1.2 与绝对值的关系 当 时，；当 时，，合起来即 。 1.3 平方根、算术平方根、立方根等于本身的数 平方根等于它本身的数是 ；算术平方根等于它本身的数是 和 ；立方根等于它本身的数是 ， 和 。 1.4 立方根与符号的关系 ，；负数的立方根是负数，即 。 1.5 被开方数的非负性 算术平方根 有意义的条件是 ；在实数范围内，负数没有平方根（算术平方根）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平方根、算术平方根、立方根的步骤 先根据定义找”哪个数的平方（立方）等于被开方数”，再写出结果；求平方根要在前面写”“，求算术平方根只写非负的那一个。如 的平方根是 ，算术平方根是 ； 的立方根是 。 2.2 估算无理数（夹逼法） 先确定它介于哪两个相邻整数之间，再逐位逼近到要求的数位。如估计 ：由 得 ；由 得 。 2.3 比较含根号的数的大小 正数可平方后再比较，或先估算近似值再比较。如比较 与 ：由 知 ；比较 与 ：由 知 。 2.4 化简 类式子 先判断 的符号，再由 化简。如 ，。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 判断是否为无理数 看它是不是无限不循环小数；整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数 、 是有理数；、 是无理数 带根号的数判断 开得尽（结果是整数或分数）是有理数，开不尽才是无理数 是有理数， 是无理数 平方比较法 两个非负数比大小，可平方后再比 ，因为 平方与开方互逆 ，（） ， 用计算器开方 开平方按开平方键，开立方需配合 键 4. 常见考试模型 4.1 已知平方根求原数（平方与开平方互逆） 公式： 若 是 的平方根，则 ，即 。 限定： 平方根有两个（互为相反数），注意区分”平方根”与”算术平方根”。 示例： 若 的平方根是 ，则 。 4.2 由被开方数非负求字母的取值范围 公式： 有意义要求 ；如 有意义要求 。 限定： 被开方数必须是非负数。 示例： 若 有意义，则 ，即 。 4.3 估算应用题 公式： 设未知量，列出含平方（立方）的等式，再用夹逼法或计算器求近似值。 限定： 按题目要求的精确度取近似值，注意单位。 示例： 面积为 的正方形草坪，边长 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆平方根与算术平方根 典例： 求 的平方根和算术平方根。 错解： ，所以 的平方根和算术平方根都是 。 正解： 的算术平方根是 ； 的平方根是 。 原因： 混淆”平方根”与”算术平方根”。 表示算术平方根（非负），一个正数只有一个算术平方根；平方根则是两个，记作 。凡求平方根要写”“，求算术平方根只写非负值。 易错点 2： 与 混为一谈，漏掉绝对值 典例： 计算 。 错解： 。 正解： 当 时 ，当 时 ，即 。因为 ，所以 。 原因： 误以为”平方与开方直接抵消”。 表示 的算术平方根，结果一定是非负数，而 本身可能为负，所以 而不是 。 的前提是 。 易错点 3：把”无限小数”都当作无理数 典例： 判断 是不是无理数。 错解： 是无限小数，所以它是无理数。 正解： 是无限循环小数，可以化为分数 ，所以是有理数。只有无限不循环小数才是无理数。 原因： 只记住了”无理数是无限小数”的一半，漏掉了”不循环”这个关键条件。判断关键看小数是否循环：无限循环小数都是有理数。 易错点 4：把带根号的数都当作无理数 典例： 判断 和 中哪些是无理数。 错解： 和 都带根号，都是无理数。 正解： 是整数，是有理数；只有 是无理数。 原因： 把”带根号”误作无理数的判断标准。判断依据是”是否为无限不循环小数”：开得尽的根号数（如 、）是有理数。 易错点 5：忽略负数没有平方根（被开方数非负） 典例： 当 为何值时， 有意义？ 错解： 当 为任意实数时， 都有意义。 正解： 由被开方数非负，得 ，即 。所以当 时， 有意义。 原因： 忽略”负数没有平方根（算术平方根）“这一前提。 有意义必须满足 ，这是求字母取值范围时的隐含条件。 易错点 6：认为两个无理数的和一定是无理数 典例： 判断：两个无理数的和一定是无理数。 错解： 正确。无理数加无理数，结果还是无理数。 正解： 错误。如 与 都是无理数，但 ，是有理数； 与 的和 也是有理数。 原因： 把”有理数的运算封闭性”错误地类比到无理数上。两个无理数的和、差、积、商都不一定是无理数，可能得到有理数，需具体计算判断。 学科网（北京）股份有限公司 $