专题02 轴对称（7知识&14题型&5易错&3模型）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 轴对称（7知识&14题型&5易错&3模型清单） 【清单01】轴对称图形 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 【解读】 1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段； 2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）； 【清单02】轴对称 1. 轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【补充】成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 2. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【清单03】垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 【清单04】角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 【清单05】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】 1）“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 2）在表述“三线合一”的性质时，要分清是哪“三线”(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，不能表述为“等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合”. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【清单06】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 【清单07】含30°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=AB. 【题型一】轴对称图形的识别 1．（25-26七年级上·山东·阶段练习）人工智能技术的突破性发展，正在全球范围内掀起一场“软件定义世界”的革命浪潮，下列人工智能图标中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东日照·开学考试）下列图形中，不是轴对称图形的是（） A．B．C． D． 3．（2025·广西南宁·模拟预测）2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如下四个方正兰亭大黑体汉字图案，其中为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】求对称轴条数 5．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最少的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 7．（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【题型三】根据成轴对称的特征进行判断/求解 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，与，关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论不正确的是（    ） A． B．与的面积相等 C．垂直平分线段 D．直线的交点不一定在上 10．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 11．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 12．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【题型四】折叠问题 14．（24-25七年级上·山东济南·期末）在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 16．（22-23八年级上·湖南怀化·期中）如图，将三角形沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 18．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知长方形纸片，点，，分别在边，，上，将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在处．    (1)点，，共线时，如图，求的度数； (2)点，，不共线时，如图，图，设，，请分别写出，满足的数量关系式，并说明理由． 【题型五】镜面对称 19．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 20．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是 ． 21．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【题型六】垂直平分线的判定与性质综合 22．（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 23．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 24．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 25．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【题型七】角平分线的判定与性质综合 26．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 27．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得． (1)试说明是的角平分线； (2)若的角平分线交于点，，求的度数． 28．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 【题型八】垂直平分线/角平分线的实际应用 29．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 30．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡地．为吸引更多的游客参观旅游，某旅游公司重新开设两条海上旅游观光航线：邮轮码头C—回澜阁A，邮轮码头C—小青岛B，为了安全在两条航线的内部区域设置一个安全浮岛P，要求浮岛P到两条航线的距离相等，并且到回澜阁和邮轮码头的距离也相等，请你在图中作出安全浮岛P的位置． 31．（24-25七年级下·山东淄博·期末）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A．B．C．D． 32．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 【题型九】与垂直平分线/角平分线有关的多结论问题 33．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 34．（21-22七年级下·山东泰安·期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 36．（21-22七年级下·山东东营·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①；②；③AF平分；④．其中正确结论的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【题型十】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 37．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有 个． 38．（20-21八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 39．（21-22八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 40．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 【题型十一】等腰三角形判定与性质综合 41．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 42．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 43．（24-25七年级上·山东威海·期末）学习了等腰三角形的相关知识，小华同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是她的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点，分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线； 小丽认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，上的点，小丽认为只要保证，那么，你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明； 探究三：特殊的形 如图，在中，，点是上的点，且，，点，分别是，上的点，小丽认为仅添加一个条件就能证明与全等．你认为可以添加的条件是______． 44．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 45．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证为等腰三角形； (2)若，为中点，求的长． 【题型十二】等边三角形判定与性质综合 46．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 47．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，已知等边三角形，点与点关于射线对称，线段、分别交于点、． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)连接，求的度数； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 48．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，，为延长线上一点，．    (1)求的度数； (2)点在上，若，写出与相等的理由． 49．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 50．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 【题型十三】利用含30°直角三角形的性质求解 51．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ． 54．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 55．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，，求的长． 【题型十四】设计轴对称图形 56．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图），请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 57．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）如图是由一些完全相同的小三角形组成的，其中4个小三角形涂上了颜色，请再将4个小三角形涂上颜色，使得直线成为这个图形的对称轴． 58．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 59．（25-26八年级上·全国·课后作业）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 60．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． ①作，使它与关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）． （2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1） ①写出这三个图案都具有的两个共同特征： __________________，____________________ ②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征． 【题型一】当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（   ） A． B． C． D．或 2．（22-23七年级下·山东济南·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（        ） A． B． C．或 D． 【题型二】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为 ． 【题型三】当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 4．（21-22七年级上·山东威海·期中）等腰三角形的一个角是50°，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A．25° B．40° C．25°或40° D．25°或60° 5．（22-23八年级上·广西来宾·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（21-22七年级下·山东东营·期末）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度数为（　　） A．75或15° B．75° C．39° D．30°或80° 【题型四】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（    ） A． B． C．或 D．或 【题型五】由腰上的中线所引起的分类讨论 8．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知在中，，周长为24，边上的中线把分成周长差为6的两个三角形，则各边的长分别为（    ） A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12  9．（22-23八年级上·山东临沂·期中）在中，，中线将这个三角形的周长分成9和12两部分，则的长为（    ） A．7 B．5 C．7或11 D．5或9 【题型一】手拉手模型 解题方法：如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则 1）∆ABM≌∆ACN 2）BM=CN 3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） 4）∆ANF≌∆AMD 5）∆AFC≌∆ADB 6）连接DF，DF∥BN 7）连接AE，AE平分∠BEN 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（21-22七年级下·山东威海·期中）如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证：   4．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【题型二】双腰上的高求定值 解题方法：双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 6．（20-21八年级上·山东临沂·期中）如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 7．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【题型三】将军饮马模型 1. 作一个平面图形(或一个点)的轴对称图形叫轴对称变换，它是探求最值问题的一种重要方法. 2. 最短路径的求解原理，一般有“两点之间，线段最短”(“三角形两边之和大于第三边”是其推论)和“垂线段最短”. 8．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．4.5 D．6 9．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图，内一点P，，分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为（　　）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．  B．  C．  D．   11．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（    ） A．B．C．D． 12．（2021·台湾·模拟预测）如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形若，则的度数为何？（） A．65 B．70 C．75 D．80 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 15．（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上． (1)求的面积； (2)在图中画出关于直线对称的； (3)在直线上画出点，使得最小． 16．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上． (1)画出，使它与关于直线l成轴对称； (2)在直线l上确定点P，使最小；（画出示意图，并标明点P的位置即可） (3)在直线l上确定点M，使最大；（画出示意图，并标明点M的位置即可） (4)的面积是______． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 轴对称（7知识&14题型&5易错&3模型清单） 【清单01】轴对称图形 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 【解读】 1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段； 2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）； 【清单02】轴对称 1. 轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【补充】成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 2. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【清单03】垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 【清单04】角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 【清单05】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】 1）“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 2）在表述“三线合一”的性质时，要分清是哪“三线”(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，不能表述为“等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合”. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【清单06】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 【清单07】含30°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=AB. 【题型一】轴对称图形的识别 1．（25-26七年级上·山东·阶段练习）人工智能技术的突破性发展，正在全球范围内掀起一场“软件定义世界”的革命浪潮，下列人工智能图标中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项C的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东日照·开学考试）下列图形中，不是轴对称图形的是（） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不符合题意； B．该图不是轴对称图形，符合题意； C．该图是轴对称图形，不符合题意； D．该图是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 3．（2025·广西南宁·模拟预测）2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如下四个方正兰亭大黑体汉字图案，其中为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、由对称轴，是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 【题型二】求对称轴条数 5．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最少的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的识别、求对称轴条数，解题关键是熟练掌握轴对称图形的识别． 根据轴对称图形的识别、求对称轴条数的方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 选项，该图形不是轴对称图形， 选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 综上，是轴对称图形且对称轴条数最少的是选项中的图形． 故选：． 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 【答案】2/两 【分析】此题考查了有关轴对称的相关知识，其中要明确题中每次的对折都是完全重合的，即就是轴对称图形，那么题中有两次折叠，这样对称轴的个数也就出来了． 根据每次的折叠都是完全重合的图形，由此可得到对称轴的条数． 【详解】解：根据图中的每次的折叠，都是完全重合，故两次折叠得到了2个对称轴，且之后的裁剪对对称轴没有影响． 故该图案有2条对称轴， 故答案为：2． 7．（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 【题型三】根据成轴对称的特征进行判断/求解 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：与关于直线对称，交于点， ，，， ，故A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 9．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，与，关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论不正确的是（    ） A． B．与的面积相等 C．垂直平分线段 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质依次进行判断，即可得． 【详解】解：∵与，关于直线对称，P为上任一点（P不与共线）， ∴，与的面积相等，垂直平分线段， 即选项A、B、C正确， ∵直线关于直线对称， ∴直线的交点一定在上， 即选项D不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 10．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分，， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 11．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点E关于直线l的对称点H，连接交直线l于点P，此时最短，据此结合图形可得答案． 【详解】解：如图所示，作点E关于直线l的对称点H，连接交直线l于点P，此时最短， 由图可知，交直线l于点C， ∴点应选在C点， 故选：C． 12．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为，当时最小． ∵的面积是6，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型四】折叠问题 14．（24-25七年级上·山东济南·期末）在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得出，根据，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵折叠 ∴， ∴， ∴ ∴， 故选B． 15．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键．E点沿运动时，当折叠F落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【详解】解：如图所示，连接， 根据折叠的性质，我们可以得到， ∴， ∵， 根据三角形三边关系， 可以得到， ∴， 当折叠F落在时， 此时为最小值， ， 故取值范围为：， 故选：D． 16．（22-23八年级上·湖南怀化·期中）如图，将三角形沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点与点重合， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质，掌握翻折变换后对应线段相等是解题的关键． 17．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】/94度 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段为折痕， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知长方形纸片，点，，分别在边，，上，将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在处．    (1)点，，共线时，如图，求的度数； (2)点，，不共线时，如图，图，设，，请分别写出，满足的数量关系式，并说明理由． 【答案】(1) (2)图：，图：，理由见解析 【分析】本题主要考查图形折叠的性质： （1）根据，，结合即可求得答案； （2）在图中，，则，图同理． 【详解】（1）根据图形折叠的性质，得 ，， ． ． （2）如图，结论：．理由如下： 根据图形折叠的性质，得 ，． ，， ． ． ． 如图，结论：．理由如下： 根据图形折叠的性质，得 ，． ，， ． ． ． 【题型五】镜面对称 19．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 20．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 21．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 【题型六】垂直平分线的判定与性质综合 22．（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角： （1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可； （2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 23．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 24．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段中点的定义和已知条件可得，则，，再由三角形内角和定理可得，即． （2）由平行线的性质得到，，证明，得到，，证明垂直平分，可得，据此可得结论． 【详解】解：（1）∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2），理由： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 25．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【题型七】角平分线的判定与性质综合 26．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 27．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得． (1)试说明是的角平分线； (2)若的角平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义和性质，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据，结合，等量代换得到，可证明，得到，根据得，进而等量代换得，由此根据角平分线的定义即可得出结论； （2）根据是的角平分线， 设，则，根据得，则，再根据平分得到，然后根据即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线； （2）解：由（1）可知：是的角平分线， 设，则， ， ， ， 平分， ， ． 28．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可说明结论． 【详解】（1）解：作于，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角． 【题型八】垂直平分线/角平分线的实际应用 29．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的应用．根据“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵体育公园到三个村庄的距离都相等， ∴体育公园应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 30．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡地．为吸引更多的游客参观旅游，某旅游公司重新开设两条海上旅游观光航线：邮轮码头C—回澜阁A，邮轮码头C—小青岛B，为了安全在两条航线的内部区域设置一个安全浮岛P，要求浮岛P到两条航线的距离相等，并且到回澜阁和邮轮码头的距离也相等，请你在图中作出安全浮岛P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．作平分，作线段的垂直平分线交与点P，点P即为所求． 【详解】解：如下图，安全浮岛P即为所求作： 31．（24-25七年级下·山东淄博·期末）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 【详解】解：由题意知平分在上， A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意； B、不一定平分，故B不符合题意； C、不在上，故C不符合题意； D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意， 故选：A． 32．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 【答案】见解析 【分析】作直线m和直线n所夹锐角的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求， 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【题型九】与垂直平分线/角平分线有关的多结论问题 33．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 根据．且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③正确，该选项符合题意； ， ， ， ， ， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 34．（21-22七年级下·山东泰安·期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 35．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∴， ∴， ∵ ∴， 故⑤正确； 若②平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故②错误， 即正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 36．（21-22七年级下·山东东营·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①；②；③AF平分；④．其中正确结论的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②④ 【分析】如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可判断①②，再证明结合角平分线的性质可判断③，由AF平分逆向推导出与题干互相矛盾的结论，可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O． ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴EC=BD，∠BDA=∠AEC，故①符合题意； ∵∠DOF=∠AOE， ∴∠DFO=∠EAO=90°， ∴BD⊥EC，故②符合题意， ∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC， ∴AM=AN， ∴FA平分∠EFB，而   ∴∠AFE=45°，故④符合题意， 若③成立，则∠EAF=∠BAF， ∵∠AFE=∠AFB， ∴∠AEF=∠ABD=∠ADB，推出AB=AD， 由题意知，AB不一定等于AD， 所以AF不一定平分∠CAD，故③不符合题意， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型十】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 37．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有 个． 【答案】9 【分析】本题考查网格中作等腰三角形，根据等腰三角形的定义，在网格中作出符合条件的等腰三角形即可． 【详解】解：如图， 符合条件的格点共有9个； 故答案为：9． 38．（20-21八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 39．（21-22八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】C 【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案． 【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件； ②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件； ③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点 ∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 40．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，利用平面直角坐标系画图是解题的关键．利用图形结合等腰直角三角形的判定即可得出点A对应的坐标． 【详解】如图所示， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 【题型十一】等腰三角形判定与性质综合 41．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键． （1）先求出，利用等角对等边得到，再根据三线合一得到即可； （2）根据条件可得是的垂直平分线，则有，利用即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是的平分线， ， ， ， 是的中点， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 42．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 43．（24-25七年级上·山东威海·期末）学习了等腰三角形的相关知识，小华同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是她的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点，分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线； 小丽认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，上的点，小丽认为只要保证，那么，你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明； 探究三：特殊的形 如图，在中，，点是上的点，且，，点，分别是，上的点，小丽认为仅添加一个条件就能证明与全等．你认为可以添加的条件是______． 【答案】探究一：赞成，证明见解析；探究二：不赞成，理由见解析；探究三：可以添加的条件是（答案不唯一） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 探究一：分别证明三种情况都成立即可； 探究二：根据已知条件无法证明，即可得到结论； 探究三：添加一对合适的边相等即可证明． 【详解】探究一：三种情况都能证明．我赞成小丽的观点．证明如下： ①∵，分别是，边上的中线； ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴； ②∵，分别是，边上的高线； ∴， ∵， ∴ ∵， ∴； ③∵， ∴ ∵，分别是，的平分线； ∴， ∴， ∵， ∴； 探究二：不赞成，理由如下： ∵， ∴ ∵点是的中点， ∴ 若，则， 但点，分别是，上的点，不能保证， ∴小丽的观点不正确； 探究三：可以添加的条件是（答案不唯一） ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 44．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）在上截取，连接，根据等边对等角，三角形的内角和定理可求出，，则，由（2）的结论得，根据三角形外角是性质求出，根据等角对等边得出，然后根据线段的和差即可得证． 【详解】（1）解： 理由：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）解：成立， 理由：如图，作交延长线于，于，    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证为等腰三角形； (2)若，为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由得到，由得到，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得，即可得证； （2）取的中点，连接，由（1）得，利用三线合一性质得到，通过证明得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 为等腰三角形． （2）解：如图，取的中点，连接， 由（1）得，， 又点是的中点， ，， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为10． 【题型十二】等边三角形判定与性质综合 46．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)27 【分析】此题考查了等边三角形性质，含度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由是等边三角形和，求出，推出，即可得出等边三角形； （2）推出三个三角形全等．求出 ，进一步得出答案即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形； （2）由（1）可知：是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中 ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的周长为． 47．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，已知等边三角形，点与点关于射线对称，线段、分别交于点、． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)连接，求的度数； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）连接，对称性得到，等边三角形的性质，得到，进而得到，等边对等角进行求解即可； （2）连接，对称性得到，八字型图得到，进而得到； （3）在上截取，连接，易得是等边三角形，证明，得到，对称性得到，再根据线段的和差关系，结合等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， 线段和关于射线对称， ． 是等边三角形， ． ． ． （2）连接，根据对称性可得， ， ； （3）； 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ． 是等边三角形， ． ．     ． 在和中   ， ， 点和点关于射线对称， ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 48．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，，为延长线上一点，．    (1)求的度数； (2)点在上，若，写出与相等的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由为等腰直角三角形得出，由得出，从而得出，再利用即可证明得，然后利用三角形外角的性质即可求解； （2）连接，先证为等边三角形，得出，再证，进一步证，根据即可证明，从而得出． 【详解】（1）解： 为等腰直角三角形， 在与中， ， ， ∴， ∴； （2）解：连接，    ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 49．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 (3)，与的夹角为，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 50．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （2）延长，作，过点D作于H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据等积法可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，作，过点D作于H，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，如图所示： ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∵面积为21且的长为8， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型． 【题型十三】利用含30°直角三角形的性质求解 51．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， ∴，即 故选B． 52．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 线根据角平分线的性质，得到，再利用含的直角三角形三边关系计算出，从而得到的长． 【详解】解： ， 平分，， ， 在中， ， ， ． 故选B． 53．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 由等腰三角形的性质可以求得，以及和的度数，从而可以求得、的长，从而可以求得的长，据此求解即可． 【详解】如图，连接， ∵在中，，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 54．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 55．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，进而证明，进而证明，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含角的直角三角形的性质，即可求解的长度； 【详解】（1）解：是的角平分线，，， ， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：， ， ，， ， ； ， ． 【题型十四】设计轴对称图形 56．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图），请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念，进行作图即可． 【详解】解：如图所示： 57．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）如图是由一些完全相同的小三角形组成的，其中4个小三角形涂上了颜色，请再将4个小三角形涂上颜色，使得直线成为这个图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用轴对称图形的定义设计图案，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形. 根据轴对称图形的定义画出图形即可； 【详解】解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形，（答案不唯一） 58．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查利用平移和轴对称设计图案，利用基本图形结合轴对称以及平移得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图，借助轴对称和平移可以得到下图，该图案为轴对称图形． （答案不唯一） 59．（25-26八年级上·全国·课后作业）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义和性质是解决问题的关键．利用轴对称图形的定义和性质解答即可． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一） 60．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． ①作，使它与关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）． （2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1） ①写出这三个图案都具有的两个共同特征： __________________，____________________ ②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；②见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （2）①根据轴对称图形的性质，结合网格特点求解即可； ②根据①中发现的特征，设计符合要求的图案即可． 【详解】解：（1）①如图，即为所求作： ②如图，点P即为所求作： （2）①根据图案特征，可得三个图案都具有的两个共同特征：都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4； ②新的图案如图所示： 【题型一】当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分两种情况讨论：为底边或腰长，结合三角形三边关系判断是否成立． 【详解】解：①当为底边时： 腰长为 ． 此时三边为、、，满足三角形三边关系（），成立． ② 当为腰长时： 底边长为 ． 此时三边为、、，但，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 综上，腰长只能为， 故选：B． 2．（22-23七年级下·山东济南·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（        ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长为腰或者底边时． 【详解】解：分情况考虑：当是腰时，则底边长是，此时，，能组成三角形，此时腰长是． 当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形．此时腰长是． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【题型二】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等． 分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论． 【详解】若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 【题型三】当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 4．（21-22七年级上·山东威海·期中）等腰三角形的一个角是50°，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A．25° B．40° C．25°或40° D．25°或60° 【答案】C 【分析】分这个角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算求解． 【详解】如图：AB=AC，BD⊥AC，垂足为D， 当∠C=50°时，则∠DBC=90°-50°=40°； 当∠A=50°时， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=， ∴∠DBC=90°-65°=25°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余的性质，分类思想，熟练掌握分类思想是解题的关键． 5．（22-23八年级上·广西来宾·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①， 高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 6．（21-22七年级下·山东东营·期末）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度数为（　　） A．75或15° B．75° C．39° D．30°或80° 【答案】A 【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角． 【详解】解：如图①： ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵CD=AC， ∴∠A=30°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=； 如图②： ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵CD=AC， ∴∠CAD=30°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°， ∴∠B=∠ACB=15°． ∴这个三角形的底角为：75°或15°，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 【题型四】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图1． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； 故选：C． 【题型五】由腰上的中线所引起的分类讨论 8．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知在中，，周长为24，边上的中线把分成周长差为6的两个三角形，则各边的长分别为（    ） A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12 【答案】A 【分析】结合图形可知两周长的差就是腰长与底边的差的绝对值，因为腰长与底边的大小不明确，所以分腰长大于底边和腰长小于底边两种情况讨论． 【详解】解：如图，由题意可知，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差的绝对值．      分两种情况： （1）若，则， 又因为， 联立方程组并求解得：，， 10、10、4三边能够组成三角形； （2）若，则， 又因为， 联立方程组并求解得：，， 6、6、12三边不能够组成三角形； 因此三角形的各边长为10、10、4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；做题中利用了分类讨论的思想，注意运用三角形三边关系对三角形的组成情况作出判断，这是解题的关键． 9．（22-23八年级上·山东临沂·期中）在中，，中线将这个三角形的周长分成9和12两部分，则的长为（    ） A．7 B．5 C．7或11 D．5或9 【答案】D 【分析】设，，则，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用． 【详解】解：设，， ∵为边上的中线， ∴则， ∵中线将这个三角形的周长分成9和12两部分， ∴当，且时， 则，且， 解得：，， ∴三边长分别为6，6，9（符合题意）， ∴； 当，且时， 则，且， 解得：，， ∴三边长分别为8，8，5（符合题意）， ∴， 综上所述：的长为9或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 【题型一】手拉手模型 解题方法：如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则 1）∆ABM≌∆ACN 2）BM=CN 3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） 4）∆ANF≌∆AMD 5）∆AFC≌∆ADB 6）连接DF，DF∥BN 7）连接AE，AE平分∠BEN 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，证明即可． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形； 故②③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平角的定义，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 2．（21-22七年级下·山东威海·期中）如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先利用证明，8字型图，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴是等边三角形，故④正确； 故选D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可 [深入把握]根据证明，再由全等的性质得到 [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明∶ 在和中， ． [深入把握] 证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中，， ， ；． ， ． [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，， ， ． 【题型二】双腰上的高求定值 解题方法：双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【分析】本题考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． （1）利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求$AC$边上高，因与重合时，故值为该高． （2）连接，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ． （3）①连接、、，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高 ．②连接，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系 ． ③延长构造，连接，证，再证为等边三角形，从而得出 ． 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高， 是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中， ，即． 把，代入可得： ， 此时，， 所以． 故答案为． （2）作交于点，连接， ， ， ， ， ； （3）①连接、、，作 将分割为、、， ∴． 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，， ∴．．． ． 因为是等边三角形， 所以． 将上述面积关系代入可得： ． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， 可得． 所以． 故答案为：； ②连接 将图形分割为和， ∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形， ∴． 将上述面积关系代入可得： 得． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， ∴， ， ∴； 故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴． 6．（20-21八年级上·山东临沂·期中）如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)当点D在的中点时，，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）当点D在的中点时，，根据证，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图，连接，根据进行分析证明即可解答． 【详解】（1）解：当点D在的中点时，．理由如下： ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴． 7．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当点与点重合时，过点作于点于点，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 本题考查了等边三角形的性质、三角形的面积，运用等面积法建立等式是解题关键． 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 理由： 过点作于点于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：． 证明：如图（2），连接，则， ∴， 即， 又∵是等边三角形 ； （3）证明：连接， 则， 即 ∵是等边三角形， 两边同时除以2024得， ． 【题型三】将军饮马模型 1. 作一个平面图形(或一个点)的轴对称图形叫轴对称变换，它是探求最值问题的一种重要方法. 2. 最短路径的求解原理，一般有“两点之间，线段最短”(“三角形两边之和大于第三边”是其推论)和“垂线段最短”. 8．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短． 作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 9．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图，内一点P，，分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得到，是解题的关键． 【详解】∵点关于的对称点分别为、， ∴，， ∴的周长等于， 故选A． 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 11．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】把小河和菜田看成直线，要找一条最短路线，可根据两点之间线段最短的规律来分析解答即可． 【详解】解：要找一条最短路线，分别作点A关于OB，OC的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下： 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路线问题，线段的性质：两点之间线段最短，关键是过一点作直线的对称点． 12．（2021·台湾·模拟预测）如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形若，则的度数为何？（） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可得，据此可得，，再根据三角形的内角和定理可得的度数． 【详解】解：四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【答案】(1) (2) (3)16 (4) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据对称性得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）同法（1）即可得出结果； （3）根据对称性得到，进而得到的周长为线段的长即可； （4）根据对称性得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小，得到与点重合，最小等于图中线段的长即可． 【详解】（1）解：由对称性可知：， ∴， 即：； 故答案为：； （2）同（1）可知：； （3）由对称性可知：， ∴的周长； 故答案为16； （4）由对称性可知：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴当与点重合，最小等于图中线段的长； 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 15．（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上． (1)求的面积； (2)在图中画出关于直线对称的； (3)在直线上画出点，使得最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法求解三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 的面积为． （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示： 此时，为最小值， 点即为所求． 16．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上． (1)画出，使它与关于直线l成轴对称； (2)在直线l上确定点P，使最小；（画出示意图，并标明点P的位置即可） (3)在直线l上确定点M，使最大；（画出示意图，并标明点M的位置即可） (4)的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论； （2）连接交直线l于点P，则P点即为所求； （3）连接并延长交直线l于点M，则P点即为所求； （4）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，P点即为所求； （3）解：如图，M点即为所求； （4）根据题意，得 解：． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    【答案】（1）①见解析；②8；（2） 【分析】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题， （1）①根据轴对称的性质点，关于对称，进而连接交于点即可； ②根据轴对称的性质，进而解答即可； （2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于，利用轴对称的性质解答即可． 解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答． 【详解】（1）①如图所示点为所求的点：    ②，关于对称， ， ， 的最小值， 故答案为：8； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于．    由轴对称性质可得，，，， ， 则为等边三角形， 即． 即周长的最小值等于． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $