第二十五章 一元二次方程测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十五章测试卷 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列方程是一元二次方程的是 A.2-1=5 B.x-3y=-2 C.x2+3x-2=5x+x2+8 D.x2-5x+6=1 2.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.已知实数a,b满足(a2+2b2)(a2+2b2-3)=10,则a2+2b2值为 A.5或-2 B.-5或2 C.5 D.2 4.一元二次方程2x2-（m+1)x+1=x(x-1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数 为-1，则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.若一元二次方程x2-6x+n=0配方得到(x-m)2=2,则m,n的值分别为 A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 6.已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的解，则这个三角形的周长 是 （) A.26 B.16 C.28 D.16或26 1 7.已知m是一元二次方程x2-4x+1=0的一个根，则2026-m2+4m的值为 A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 8.如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为8米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙脚处，围 出一块7平方米的矩形劳动实践园地.若设矩形的一边长为x米，则列出的方程式为（) A.x(8-x)=7 LLLLLLLLLULILL B.x(4-x)=7 C.x(8-2x)=7 D.2x(8-x)=7 (第8题图)》 9.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+8x=48为例，赵爽的《勾股 圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向 外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的正 数解为8-2×2=4.小美尝试用此方法解关于x的方程x+12x+c=0,构造如图2所示的图 形.若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的正数解是 () 图1 图2 (第9题图) A.4 B.5 C.6 D.7 10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称 这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程px2+2x+9=0是倍根方程，则g的值为 A.g B.g C.2 D.4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知一元二次方程2x2-5x+m=0的一个根为2，则m= 12.将关于x的一元二次方程x2-m=4(x-1)化为一般形式后，发现其常数项为0，则m的值为 13.关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0有一个根为x=-1,则实数a,b之间的关系为 ·2· 14.生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技 术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元.设两年内我国平均每年投 入增长的百分率为x,则可列方程为 15.已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个根，则该矩形的对角线长为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（本小题10分) 解方程 (1)-x2+2x+3=0; (2)(2x+1)2=x2+2. 17.(本小题8分) 已知关于x的一元二次方程x2+(k-3)x-2k+1=0. (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知x=1是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 ·3· 18.（本小题8分) 某同学解一元二次方程2x2-6x+1=0的解题步骤如下： 解： 2x2-6x=-1,① -3x=-2,② -3x+}=③ (-=-3④ .该方程没有实数根.⑤ (1)这位同学解方程的过程中，从第 步开始出现错误，错误原因是 (2)请写出用配方法解方程2x2-6x+1=0的正确过程. 19.（本小题8分) 设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根， (1)当x1=-1时，求x2及m的值； (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 4… 20.（本小题8分) 已知口ABCD的两边AB,BC的长是关于x的方程x2-(m+3)x+2m+2=0的两个实数根 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB的长为3，则口ABCD的周长是多少？ ·5 21.(本小题8分) 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当 的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件. (1)当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ ·6 22.（本小题12分) 如图，已知矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,某一时刻，动点M从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B匀速运动.同时，动点N从点D出发沿DA以2c/s的速度向点A匀速运动，当 点M到达点B时，两点同时停止运动. (1)经过多长时间，MN的长为2√2cm? (2)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的)？ B M D→N (第22题图) ·7· 23.（本小题13分) 【新定义】如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形.a,b,c是Rt△ABC和 Rt△EDB的边长，易知AE=√2c.这时我们把关于x的形如aax2+2cx+b=0的一元二次方程 称为“勾系一元二次方程”. 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程” （一个即可)； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根； (3)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是 9√2.求△ABC的面积 √2c a Bb D (第23题图) ·8·参芳答案 第二十五章测试卷 1.D2.C3.C4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B 11.212.413.a-b=114.300(1+x)2=50715.3 16.解：(1)原方程可化为x2-2x=3,配方，得x2-2x+1=4,即 (x-1)2=4,得x-1=±2，所以x-1=2或x-1=-2,所以 x1=3,x2=-1. (2)原方程可化为3x2+4x-1=0,此时a=3,b=4,c=-1,所 以4=62-4c=4-4×3×(-1)=28>0,所以x=-4±y2⑧ 2×3 =27所以=22 3 17.(1)证明：由题意得：a=1,b=k-3,c=-2k+1,则4=b2-4ac =(k-3)2-4×1×(-2k+1)=k2+2k+5=(k+1)2+4>0, :.无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)解：将x=1代入方程x2+(k-3)x-2k+1=0可得1+k- 3-2k+1=0,解得k=-1.当k=-1时，原方程为x2-4x+3 =0,解得x1=1,2=3,即这个方程的另一个根为3. 18.解：(1)③方程两边末同时加上()】 (2)2x2-6x+1=0, 2x2-6x=-1, -3x=-分， -+(3+( (-引子 或子 3 2 万3 19.(1)解：把x=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6,所 以m=±6.所以(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0.解该方 程得x1=-1,x2=4. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. 因为4=4m2+1>0,所以原方程有两个不相同的实数根.由根 与系数的关系得x1+x2=3,xx2=2-m2.所以(x1-1)(名 1)=x12-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2.因为-m2≤0， 所以(x1-1)(x2-1)≤0. 20.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC.因为AB,BC 的长是方程x2-(m+3)x+2m+2=0的两个实数根，所以4 =[-(m+3)]2-4(2m+2)=(m-1)2=0,所以m=1,所以 原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2.故当m=1时，四边形 ABCD是菱形，这时菱形的边长为2. (2)将x=3代入方程x2-(m+3)x+2m+2=0,得9-3(m+3) +2m+2=0,解得m=2,所以原方程为x2-5x+6=0,解得x1 2,2=3,所以BC=2,故□ABCD的周长为2×(2+3)=10. ·81 21.解：(1)当每件盈利50元时，每件商品降价60-50=10（元）， 商场每天可多销售10×2=20（件），每天可销售40+20=60 (件).答：当每件盈利50元时，每天可销售60件. (2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商 场每天多销售2x件，根据题意得(60-x)(40+2x)=3150,解得 x1=15,2=25.要尽快减少库存，.x=25.答：每件商品降价 25元时，商场日盈利可达到3150元. 22.解：设运动时间为ts(0<t≤3)，则DN=2tcm,AM=tcm,∴.AW =(6-2t)cm (1)根据题意，由勾股定理得AM+AW2=MW2,:MW的长为 2万cm,2+(6-2)2=(2,解得1=2,5=号放动点 M,N出发2s或5号s后，lMN的长为2万cm (2)矩形ABCD的面积=AB·BC=3×6=18(cm2),△AMW的 面积=之AM·AN=(6-2).由题意得7(6-21)=号× 18,整理，得-3t+2=0,解得t=1,2=2.故动点M,N出发 1s或2s或号s后，△AMN的面积为矩形ACD面积的) 23.(1)3x2+52x+4=0(答案不唯一) (2)证明：由题意可知a2+6=c2,∴△=（2c)-4ab=2c2-4ab =2(a2+b2)-4ab=2(a2+62-2ab)=2(a-b)2≥0，∴.关于x 的“勾系一元二次方程”a2+2cx+b=0必有实数根. (3)解：把x=-1代入ax2+2cx+b=0中得a-2c+b=0,即 a+b=2c..四边形ACDE的周长是9√2，..2a+2b+2c= 92,2(a+b)+2c=92,.2√2c+2c=9V2,解得c=3, .∴.a2+b2=9,a+b=2c=32,.(a+b)2=(3√2)2，即a2+b2 9 +2ab=18,.2ab=18-(a2+b2)=18-9=9,ab=2 56版=3xb=是 第二十六章测试卷 1.B2.C3.A4.D5.D6.A7.A8.A9.D10.C 11.-212.y=3(x-4)213.①②③④14.-2≤x≤115.4 16.解：(1)函数y=(m-1)x2-m为二次函数， .m2-m=2且m-1≠0，解得m=2或m=-1. (2)抛物线的开口向上，.m-1>0,∴.m>1,.m=2,.抛 物线的解析式为y=x2,.将该函数图象向上平移2个单位长 度后得到的抛物线解析式为y=x2+2. 17.解：(1)当x=4时，y=-(4-2)2+5=-4+5=1,.点(4,1) 在此抛物线上. (2)y1>2,理由：当x=1时，y1=-(（1-2)2+5=4;当x=4 时y2=-(4-2)2+5=1..4>1,.y1>2. 18.解：(1)把点M(3,-2)代入y=x2+m+1得-2=32+3m+ 1,解得m=-4,∴y=x2-4x+1=(x-2)2-3,∴.抛物线的顶 点坐标为(2，-3). (2)y=(x-2)2-3,.当x=2时，有最小值-3.当x=-1 时，y=(-1-2)2-3=6,当x=3时，y=(3-2)2-3=-2, .当-1≤x≤3时，y的取值范围是-3≤y≤6. 19.解：(1)当y=0时，(x-a)(x-a+4)=0,解得x1=a,x2=a- 4,∴.抛物线与x轴的交点坐标为(a,0)和(a-4,0),.对称轴 为直线x=a+g-4=a-2 2 (2)设点B的横坐标为xg,:对称轴为直线x=a-2,点A的横19.解：(1)抛物线y=-x2与直线y=3x+h都经过点(1，k), 坐标为a-6.+9-6)=4-2,8=2(0-2）-(a-6) .k=-12=-1.把(1，-1)代入y=3x+h,得h=-4. 2 (2)依题意，设此抛物线的解析式为y=a2,由(1)得h=-4, =a+2,∴.线段AB的长为la+2-(a-6)I=8. k=-1,.此抛物线恰好经过点(-4，-1)，将(-4，-1)代入 20.解：(1)抛物线与x轴有两个公共点.理由：△=[-(2m-1)]2 1 1 -4(m2-m)=1>0,.抛物线与x轴有两个公共点. y=ar2中，得-1=a×（-4),解得a=16心y=-16 (2)将x=0代入y=x-3m+3,得y=-3m+3,.直线y=x- 20.(1)证明：4=(k+2)2-4×2k=2-4k+4=(k-2)2≥0， 3m+3与y轴的公共点坐标为(0，-3m+3).根据题意得点 无论取何实数，该方程总有两个实数根； (0,-3m+3)在抛物线上，.m2-m=-3m+3,整理，得m+ (2)解：①当b=c时，则4=0，即(k-2)2=0,.k=2,.x2-4x 2m-3=0,解得m1=-3,m2=1,∴m的值为-3或1. +4=0..x1=x2=2,即b=c=2,∴.三条边长为2,2,3，满足2 21.解：(1)当x=0时，y=4,.C(0,4).当y=0时，-x2+4=0,解 +2>3,.△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7; 得x=±2，.A(-2,0),B(2,0). ②当b=a=3或者c=a=3时，得32-(k+2)×3+2k=0,解 (2).A(-2,0),B(2,0),∴.AB=4.·四边形ABCD是平行四 得k=3.∴.方程为x2-5x+6=0,解得另一根为x=2.∴.三条 边形，∴.CD=AB=4,CD∥AB,∴.D(-4,4).设向上平移后的抛 边长为2,3,3，满足2+3>3，.△ABC的周长=a+b+c=3+3 物线为y=-x2+4+m,则4=-(-4)2+4+m,解得m=16, +2=8.综上所述，△ABC的周长为7或8. .平移后抛物线的解析式为y=-x+20. 21.解：(1)由题可得，点A的坐标为(0,2)，该抛物线的顶点坐标 22.(1)解：由题可得，顶点坐标为(6,3)，.设抛物线的函数解析式 为(4,3.6).设该抛物线的顶点式为y=a(x-4)2+3.6,把点A 为y=a(x-6)2+3..点0(0,0)在抛物线上，.∴.36a+3=0,解 1 得a=方该抛物线的函数解析武为y=立x-6)+3。 的坐标代人得2=16a+3.6,解得a=-10.该抛物线的函数 (2)当y=号时，-(x-6)2+3=号，解得名=4,6=8 解析式为y=-6(x-4)户+36=0.1+08x+2 (2)令y=0得-0.1x2+0.8x+2=0,解得x1=10,x2=-2, ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，∴.保温墙AB到点O的 ∴.点B的坐标为(10,0)，∴.水柱落地点与雕塑OA的水平距离 水平距离为8米. 为10m. 23.解：(1)把点A(-2,4)的坐标代入y=ax2(a≠0)，得4=a× 22.解：(1)由题图可知y与x满足一次函数关系，设y关于x的函 (-2)2,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,∴.抛物线的对 数解析式为y=kx+b(k≠0).将(90,110)，(100,100)代人， 称轴为y轴.：AB∥x轴，且点B在抛物线上，点A和点B关 于抛物线的对称轴对称，即关于y轴对称，∴.B(2,4). 得0+b-10,解得6怎. 1100k+b=100, b=200. (2).A(-2,4),B(2,4),.AB=2-(-2)=4.△ABP的面 .y关于x的函数解析式为y=-x+200(80≤x≤150) 积为2,4B/x轴Sm=分AB·1-41=2号×4× (2)根据题意，得(x-80)(-x+200)=2700,解得x1=110,x2 =170.:80≤x≤150，.x=110.答：当球衣的销售单价为110 lyp-41=2,解得yp=3或yp=5.在y=x2中，当y=3时，x= 元时，每周销售球衣所获利润为2700元. ±5；当y=5时，x=±5，∴.点P的坐标为(-√5,3)，(5,3)， 23.解：(1)抛物线y=a2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(-1,0), (-5,5)或(5,5). B(3,0),与y轴交于点C(0,3), 第一次月考测试卷 [a-b+c=0, ra=-1. 1.A2.A3.D4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.D .9a+3b+c=0,解得b=2, 11.-202112.313.1214.-4和615.4 Lc=3, lc=3, 16.解：(1)移项，得(2x+3)2=25,∴.2x+3=±5，解得x1=1,x2= .抛物线的解析式是y=-x2+2x+3. -4. (2)如图，连接PC,PB,过点P作PH∥y轴交BC于H, (2)因式分解，得(x+2-5)2=0,即(x-3)2=0,所以x1=x2 =3. 17.解：(1)抛物线的顶点坐标为(2，-4)，∴.设抛物线的解析式 为y=a(x-2)2-4,把点(1，-7)代入得a(1-2)2-4=-7, 解得a=-3,.抛物线的解析式为y=-3(x-2)2-4. (2)将(1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5 设直线BC的解析式为y=kx+t(k≠0)， 个单位长度得到y=-3(x-2+2)2-4+5,即平移后的抛物线 的解析式为y=-3x2+1. 、将(30)c(03)代入，得30解得31， lt=3, 18.解：(1)a=2,b=-5,c=1,.4=62-4ac=(-5)2-4×2× .直线BC的解析式为y=-x+3.设P(m,-m2+2m+3),则 1=25-8=17. H(m,-m+3),0<m<3,∴.PH=-m2+2m+3-(-m+3)= (2)由根与系数的关系得+一合(-)=各出 -m㎡+3mSan=7:PH(e-)=2(-m2+3m)× = a 3=- (m-名+受：-子<00<m<3当m= 时，5最大.此时-m+2m+3=-()+2x号+3=， --√厚- 7-☑ 当△BCP面积最大时，点P的坐标为（子） ·82·