第二十五章 一元二次方程 单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章 一元二次方程 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．根据黑龙江省统计局数据，黑龙江省2022年的出生人数为10.4万人，2024年的出生人数为9.87万人．设这两年黑龙江省的出生人数的年平均下降率为x，根据题意可列方程（   ） A．10.4(1−x)=9.87 B．=9.87 C．10.4(1−)=9.87 D．10.4=9.87 2．用配方法解一元二次方程x²−6x+5=0，配方后正确的是（　　） A．(x−3)²=4 B．(x+3)²=4 C．(x−3)²=14 D．(x+3)²=14 3．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A．+=−5 B．+=6 C．=5 D．=6 4．若关于x的方程是一元二次方程，则的值不能是（     ） A．−2 B．2 C．4 D．0 5．一元二次方程(x−3)²=16的解为（　　） A．x=7 B．x=−1 C．x=7或x=−1 D．x=4 6．下列关于的方程中，一元二次方程是（    ） A．a+2x+1=0 B．x+3= C．3−x+=0 D．=+7 7．若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根、，满足，则k的值是（     ） A．2或0 B．0 C．2 D．1 8．两个连续奇数的积是143，则这两个数是（　　） A．11和13 B．−11和−13 C．11和13或−11和−13 D．13和15 9．近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．−3 B．5 C．3 D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．若关于x的一元二次方程x²+mx−6=0有一个根是2，则m=__________，另一个根是__________． 12．一个直角三角形的两条直角边的差为3cm，面积为9cm²，则两条直角边的长分别是__________cm和__________cm． 13．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 14．已知x²+y²+2x−4y+5=0，则x+y=__________． 15．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是__________． 三、解答题（共8题，共65分） 16．（7分）解方程： (1)． (2)． 17．（7分）某商品原价为100元，经过两次连续降价后售价为81元，求平均每次降价的百分率。 18．（8分）《燕几图》是宋代文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几（如图1）．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等．若该燕几的面积为，求这些桌面的宽度． 19．（8分）一个两位数，十位数字与个位数字之和为11，两个数字的乘积为30，求这个两位数。 20．（8分）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 21．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 22．（9分）用总长46m的篱笆围成一个矩形鸡场，其中一边靠墙（墙足够长），若围成的面积为240m²，则与墙垂直的一边的长为__________m。 23．（10分）某商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第二十五章 一元二次方程 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】B 解题步骤： ① 设黑龙江省出生人数的年平均下降率为x，则2023年出生人数为10.4(1−x)万人。 ② 2024年在2023年基础上再下降x，出生人数为10.4(1−x)(1−x)=10.4(1−x)²万人。 ③ 由题意得10.4(1−x)²=9.87，故选B。 【知识点睛】增长率（下降率）问题列方程：变化后的量=原量×(1±变化率)²。连续两次相同幅度变化，指数为2。 2. 【答案】A 解题步骤： ① 移项得x²−6x=−5。 ② 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方，即()²=9，得x²−6x+9=−5+9。 ③ 即(x−3)²=4，故选A。 【知识点睛】配方法：先把常数项移到右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，即()²=9，使左边成为完全平方式。易错点：加的是“一半的平方”，不是一次项系数的平方。 3. 【答案】D 解题步骤： ① 由根与系数的关系，x₁+x₂===5。 ② x₁·x₂===6。 ③ 对照选项，只有D正确，故选D。 【知识点睛】韦达定理：一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根满足 x₁+x₂=、x₁·x₂=。求两根之和与积直接代入系数，注意 的符号。 4. 【答案】B 解题步骤： ① 一元二次方程ax²+bx+c=0要求二次项系数a≠0。 ② 由题意m−2≠0，解得m≠2。 ③ 所以m的值不能是2，故选B。 【知识点睛】一元二次方程的定义：ax²+bx+c=0中a≠0。含参数的方程，令二次项系数不为0即可求参数范围。 5. 【答案】C 解题步骤： ① 由(x−3)²=16，两边直接开平方得x−3=±4。 ② 当x−3=4时，x=7；当x−3=−4时，x=−1。 ③ 所以方程的解为x=7或x=−1，故选C。 【知识点睛】直接开平方法：形如(x+m)²=n(n≥0)的方程，开平方得x+m=±。注意正负两个根都要保留。 6. 【答案】C 解题步骤： ① 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0（a≠0）。 ② A中a未注明不为0，不一定是；B、D经整理后不符合一元二次方程的一般形式。 ③ C中3x²−x+=0的二次项系数3≠0且最高次数为2，是一元二次方程，故选C。 【知识点睛】判断一元二次方程：先化简整理成一般形式，再看是否为ax²+bx+c=0且a≠0。分式方程、含x⁴的方程都不是一元二次方程。 7. 【答案】C 解题步骤： ① 由根与系数的关系，x₁+x₂=−(2k+1)，x₁·x₂=k²+1；由x₁+x₂=−x₁·x₂，得−(2k+1)=−(k²+1)，即2k+1=k²+1。 ② 整理得k²−2k=0，解得k=0或k=2。 ③ 方程有两个不相等的实数根，Δ=(2k+1)²−4(k²+1)=4k−3>0，得k>。 ④ k=0不满足k>，舍去，所以k=2，故选C。 【知识点睛】韦达定理与根的判别式综合：先由两根关系建立方程求k，再用Δ>0检验，舍去不满足判别式条件的值。 8. 【答案】C 解题步骤： ① 设较小的奇数为x，则较大的奇数为x+2，由题意得x(x+2)=143。 ② 展开得x²+2x−143=0，因式分解得(x+13)(x−11)=0。 ③ 解得x=11或x=−13，所以这两个数是11、13或−13、−11，故选C。 【知识点睛】连续奇数相差2。积类问题列一元二次方程后用因式分解法求解；本题正负两组解都成立，要全部考虑。 9. 【答案】C 解题步骤： ① 第一轮传染后，患病人数为1+m。 ② 第二轮中，这1+m人每人再传染m人，总人数为(1+m)+m(1+m)=(1+m)²。 ③ 由题意(1+m)²=169，开方得1+m=13（负值舍去），m=12，故选C。 【知识点睛】传染问题：两轮后总人数=初始人数×(1+每轮传染数)²。用直接开平方求每轮传染数，负值舍去。 10. 【答案】C 解题步骤： ① ∵a是方程2x²+4x−5=0的根，所以2a²+4a−5=0，得2a²=5−4a。 ② 所以2a²+5a+b=(5−4a)+5a+b=a+b+5。 ③ 由根与系数的关系a+b==−2，所以原式=−2+5=3，故选C。 【知识点睛】根的定义用于“降次”：把a²用一次式替换，简化所求式子；再结合韦达定理求两根之和，整体代入求值。 11. 【答案】m=1，另一个根为−3 解题步骤： ① ∵2是方程x²+mx−6=0的根，代入得4+2m−6=0，解得m=1。 ② 设另一个根为x₂，由根与系数的关系，两根之积==−6，即2·x₂=−6。 ③ 解得x₂=−3，所以m=1，另一个根为−3。 【知识点睛】已知一根求另一根：用韦达定理 x₁·x₂=最简便；也可把已知根代入方程求参数。两根之积=常数项÷二次项系数，注意符号。 12. 【答案】3，6 解题步骤： ① 设较短直角边为x cm，则较长的为(x+3) cm。 ② 由面积公式得=9，整理得x²+3x−18=0，因式分解得(x−3)(x+6)=0。 ③ 解得x=3（x=−6不合题意舍去），两条直角边分别为3cm和6cm。 【知识点睛】直角三角形面积=两条直角边之积÷2。设元列方程后用因式分解法求解，负根不符合边长实际意义，要舍去。 13. 【答案】1 解题步骤： ① 设t秒后△PCQ的面积等于4，此时BP=t，CQ=2t，CP=5−t。 ② 由三角形面积公式得S△PCQ=×CQ×CP=×2t×(5−t)=4，整理得t²−5t+4=0。 ③ 解得t=1或t=4；点Q从C到A需要7÷2=3.5秒，t=4已超过运动总时间，舍去。 ④ 所以1秒后△PCQ的面积等于4。 【知识点睛】动点问题：设运动时间为t，用t表示相关线段长度，由面积公式列一元二次方程。解出的时间不能超过运动总时间，超时的根要舍去。 14. 【答案】1 解题步骤： ① 将等式移项整理：x²+y²+2x−4y+5=0。 ② 分别配方：(x²+2x+1)+(y²−4y+4)=0，即(x+1)²+(y−2)²=0。 ③ 由非负性，x+1=0且y−2=0，得x=−1，y=2，所以x+y=1。 【知识点睛】完全平方配方：x²+2ax+a²=(x+a)²。两个非负数的和为0，则它们各自为0，是求字母值的重要方法。 15. 【答案】6 解题步骤： ① 把道路平移到场地的边缘，铺花砖部分拼成一个矩形，长为(52−2x)米，宽为(28−2x)米。 ② 由面积得(52−2x)(28−2x)=640，展开整理得x²−40x+204=0。 ③ 因式分解得(x−6)(x−34)=0，解得x=6或x=34；x=34超过场地宽度，舍去。 ④ 所以道路的宽为6米。 【知识点睛】道路面积问题常用平移法：把道路平移到边缘，剩余图形仍是矩形。解出的根要检验是否符合实际（不能超过场地边长）。 16. 【答案】(1)x₁=0，x₂=2；(2)x₁=−7，x₂=1 解题步骤： ① (1)提公因式得x(x−2)=0，所以x=0或x−2=0。 ② (1)解得x₁=0，x₂=2。 ③ (2)移项得x²+6x−7=0，十字相乘分解为(x+7)(x−1)=0。 ④ (2)所以x+7=0或x−1=0，解得x₁=−7，x₂=1。 【知识点睛】因式分解法解一元二次方程：把方程化为一边为0、另一边分解成两个一次因式的积，令每个因式为0求解。 17. 【答案】10% 解题步骤： ① 设平均每次降价的百分率为x，第一次降价后售价为100(1−x)元。 ② 第二次降价后售价为100(1−x)²元，由题意得100(1−x)²=81。 ③ 所以(1−x)²=0.81，开方得1−x=0.9（负值舍去），x=0.1=10%。 【知识点睛】连续两次降价：现价=原价×(1−降价率)²。开平方求降价率，结果用百分数表示，负值舍去。 18. 【答案】0.6m 解题步骤： ① 设桌面宽为x m，由图可知小桌面的长为2x、中桌面长为3x、长桌面长为4x。 ② 三张小桌、两张中桌、两张长桌的总面积=3×2x²+2×3x²+2×4x²=20x²。 ③ 由题意得20x²=7.2，解得x²=0.36，x=0.6（负值舍去）。 ④ 所以这些桌面的宽度为0.6m。 【知识点睛】几何图形的实际应用：先由图弄清各图形的尺寸关系，用含x的式子表示总面积，列方程求解并舍去负值。 19. 【答案】56或65 解题步骤： ① 设十位数字为x，则个位数字为11−x。 ② 两个数字的乘积x(11−x)=30，展开得x²−11x+30=0。 ③ 因式分解得(x−5)(x−6)=0，解得x=5或x=6，对应的两位数分别是56和65。 【知识点睛】数字问题：两位数=十位数字×10+个位数字。由数字之和与乘积列方程，解出十位数字后再确定个位数字。 20. 【答案】m>且m≠0 解题步骤： ① 方程是一元二次方程，二次项系数m²≠0，得m≠0。 ② 方程有两个不相等的实数根，Δ=(2m+1)²−4m²=4m+1>0。 ③ 解得m>，所以m的取值范围是m>且m≠0。 【知识点睛】一元二次方程有两个不相等实数根的条件：a≠0且Δ>0。求参数范围时两个条件必须同时满足，结果用“且”连接。 21. 【答案】(1)−7；(2)x₁=，x₂= 解题步骤： ① (1)原式=−()^(−1)+|5−2|−(−3)²=2−3+3−9=−7。 ② (2)方程2x²+3x−1=0中a=2，b=3，c=−1，Δ=b²−4ac=9+8=17>0。 ③ (2)由求根公式得x==。 【知识点睛】用求根公式解一元二次方程：先确定 a、b、c，计算判别式 Δ=b²−4ac，再代入 x=求解。易错点：分母是 2a、分子 −b 要带符号，判别式结果要代入开方。 22. 【答案】8或15 解题步骤： ① 设与墙垂直的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(46−2x) m。 ② 由面积得x(46−2x)=240，展开整理得2x²−46x+240=0，即x²−23x+120=0。 ③ 因式分解得(x−8)(x−15)=0，解得x=8或x=15，均满足0<x<23。 ④ 所以与墙垂直的一边长为8m或15m。 【知识点睛】篱笆围矩形问题：一边靠墙时，篱笆总长=两条垂直边+一条平行边。设垂直边为x，用总长表示另一边，列面积方程求解。 23. 【答案】(1)25%；(2)40元 解题步骤： ① (1)设月平均增长率为x，由题意得64(1+x)²=100，开方得1+x=，解得x==25%。 ② (2)设每台A款电器降价y元，则每台利润为(100−y)元，月销量为100+2y台（每降10元多售20台，即每降1元多售2台）。 ③ (2)由题意(100−y)(100+2y)=10800，整理得y²−50y+400=0。 ④ (2)解得y=10或y=40；为了尽快减少库存，应多降价，取y=40元。 【知识点睛】增长率问题：增长后量=原量×(1+增长率)²。利润问题：总利润=单件利润×销量，销量随降价线性增加；“尽快减少库存”取降价较多的解。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $