陕西部分校2026-2027学年高二第一学期阶段性检测(一) 数学试卷

2026~2027学年高二第一学期阶段性检测卷（一） 数·学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.命题“3x∈R,3x2+2x-5<0”的否定是 A.Vx∈R,3x2+2x-5>0 B.Hx∈R,3x2+2x-5≥0 C.3x∈R,3x2+2x-5>0 D.3x∈R,3x2+2x-5≥0 2.已知向量p=（一1,2,3)，则p2的值为 弥 A.(1,4,9) B.√14 C.14 D.4 杯 3.如图，直三棱柱ABC-A1B,C中，若AC=a,A方=b,AA=c,则BC= A.-a+b-c 灯 图 B.a-b+c C.a-b-c D.a+b-c 4.与向量m=(4,0,3)同向的单位向量为 A(号，0，) B号0， c号.号) D.(20,2) 5.向量a=(-2,m,1),b=(1,1,n),c=(-3,6,一3)，若b⊥c,b⊥a,则a,c的夹角大小为 A晋 B号 c D. 6.已知sin(号+a）=号，则sin(皆+a)+sin(2a+晋) A号 n.-9 【高二数学第1页（共4页）】 7.在空间直角坐标系中，已知A(1,1,一1)，B(1,2,2),C(一3,4,2)，则点A到直线BC的距 离为 A29 B.√10 C.v39 D.35 2 2 8.若定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0,则满足xf(x一2)≤0 的x的取值范围为 A.(-3,-1]U(3,5] B.(-3,-1)U(3,5) C.(-∞，-1]U[0,5] D.[-3,-1]U[5,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数21=1一2i,x2=3十4i,则 A.z122=11-2i B.|x2|=25 C.z2一3z1为纯虚数 D.在复平面内，复数之所对应的点位于第四象限 10.在空间直角坐标系0-xyz中，已知点P(1,1,1),A(1,2,一1)，B(0,1,1),则下列结论正确 的有 A.点P关于x轴对称的点的坐标为（一1,1,1） B.若n=(4,t,2),且n⊥AB,则t=0 C.若m=(2,2,k),且m∥AB,则k=一4 D.A泸在A上的投影向量为（一是一是，吾）】 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AC⊥BC,AC=BC=CC1=1,D为AB1上一点，E为 AB上一点，DE⊥AB,AE=λAB(0<<1),则 A.直线CE和C1D为异面直线 C B.异面直线DE与AC,的夹角为开 C.CD=(1-)CA+λC+aCC D.1CD1=√32-2+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53,59,61,62,67,75,77， 80,82,86,90,93.则这组数据的60百分位数为 13.若直线1的一个方向向量与平面。的一个法向量的夹角为行，则直线1与平面。所成的角为 14若实数a>1>6>0,且a2+26=0+2a,则2己十号的最小值为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知指数函数f(x)=(62+46-4)a(6>0)的图象过点（合W2） (1)求a,b的值； (2)求关于x的不等式1og.(3-2x)>log.(x一1)的解集. 16.(本小题满分15分) 已知向量a=(2,-1,2),b=(1,4,1). (1)求|2a-bl的值； (2)求向量a十2b与a一b夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=ccos B-bcos C, (1)求角C的大小； (2)若c=F,且A+B=4,求△ABC的面积. 1 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D,中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1,AA1=√2AB=2,点 P是棱DD1上的一点，且DP=2PD. (1)求证：四边形ABCD为正方形； (2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 长 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD,点E,F分别为棱BC,PD的 中点 (1)证明：CF∥平面PAE; (2)若PB与底面ABCD所成角为45°，平面PDE⊥平面PAE,求平面PAE与平面ACF的 郑 夹角. 【高二数学第4页（共4页）】2026~2027学年高二第一学期阶段性检测卷（一）·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由存在命题的否定知命题的否定为Hx∈R,3x2+2x-5≥0.故选B. 2.Cp2=p·p=(-1,2,3)·(-1,2,3)=(-1)×(-1)十2×2+3×3=14. 3.B由已知得BC=CC-C3=CC-(Ai-AC)=a-b+c,故选B. 4A因为m=V尽+0十不-5，所以与向量m同向的单位向量为0=（号0，亭）。 5.B若b⊥c,b⊥a,得b·c=-3十6n-3=0,解得n=1,b·a=-2十m十n=-1十m=0,解得m=1, 所以osac=问7疗0币子又ae∈a,园，故ae的夹角为号故选 a·c 6+6-3 6.D因为sin(号+a）=子，所以sim(5+a)=sin(x+号+e)=-sin(吾+a）=-子，则cos(g+2a）)= co[2(号+a)门=1-2sim(答+)=1-2×与-子，所以sin(2a晋)=sm[(+2a)-受] -cas(学+2a)=一子则sm(5+a)十sm(2a+吾）=子子=吕，故选D 7.A由A=(0,1,3),BC=(-4,2,0),有A=√0，BC1=2√5，A方.BC=2,则A到BC的距离为 8.C因为定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，十∞)上单调递增，且f(3)=0.则 fx-2)≤0：或 1x≥0 f(x-2)≥0,1x-2≤3， 1川x-2≥3， 即 或 解得0≤x≤5或x≤一1，综上所述，满足原不等式的x的取值 x≤0， (x≥0 x≤0， 范围是[0,5]U(-∞，-1].故选C. 9.AC对于A,1·2=(1-2i)(3十4i)=11-2i,故A正确： 对于B,2=√3十4=5，故B错误； 对于C,2-3x1=3十4i-3(1-2i)=10i为纯虚数，故C正确； 对于D÷-得得铝-一日子，对应的点（一分，一号）位于第三象限，故D结误故 选AC. 10.BC对A,点P(1,1,1)关于x轴对称的点的坐标为(1，-1，-1)，所以A错误： 对B,AB=(-1,一1,2)，因为n=(4,t,2),且n⊥AB,所以-4-t十4=0，则t=0,所以B正确： 对C,因为m=2,2),A或=（-1，-1,2)，且m/A迹，所以号-号-冬，解得及=一4，所以C正确： 对D,市=0，一1,2，花=（一1，-1,2，则市在花上的投影向量为方：A店.花=（一1，-1.2） AB2 6 (-名-音，号)，所以D错误综上故选C I1.BCD由DE∥BB1∥CC,可得C,E,D,C四点共面，直线CE和C1D共面，故选项A错误； 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 由DE∥BB∥CC,可得异面直线DE与AC的夹角为∠ACC=买，故选项B正确： 由DE∥BB,A它=AAi(0<<1),有AD=入ABi,有CD-CA=A(CB-CA),有CD=(1-A)CA+ACBi, 有C方=(1-A)CA+x(C弦+CC),有CD=(1-a)CA+AC弦+ACC,故选项C正确： 由向量CA,C苏，CC两两垂直，有CA·C=CA·CC=C范·CC=O,有1CD= √[(1-)CA+ACB+1CC力？=√1-)+2x=√3x-2以+1，故选项D正确.故选BCD. 12.8012×60%=7.2,所以这组数据的第60百分位数为80. 13.云因为直线1的一方向向量与平面。的一个法向量的夹角为号，所以直线1与平面。所成的角为答 14.4由a2+2b=b2+2a可得(a-b)(a+b-2)=0,因为a>1>b>0,所以a-b≠0，即a十b-2=0,则a-1+ a 6=1,则(a品十方)a-1+6)=2+。名十分2≥4，当且仅当 时等号成立，故，十的最小值 为4. 15.解：(1)由题知指数函数f(x),则6十4b-4=1,得b=1或b=一5，又.b>0,.b=1,……3分 图象经过(W),则f(7)=a=E,解得a=2: ……………………6分 (2)a=2,以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，…………8分 3-2x>0, x2 .满足条件x一1>0， →x>1,不等式的解集为(1， …………13分 3-2x>x-1, x<3 16.解：(1)a=(2,-1,2),b=(1,4,1), .2a=(4,-2,4),………………………3分 2a-b=(3,-6,3), .|2a-b=W/32+(-6)2+32=3/6; 7分 (2)设a十2b与a-b的夹角为0，则cos日= (a+2b)(a-b) a+2b·a-b 10分 a十2b=(4,7,4),a十2b=9,……………………… 11分 a-b=(1,-5,1),a-b=33, 12分 :os9=4X1+7X(-5)+4X1=-27=5 …14分 9X3√3 27√3 3 向量a+2b与a一b夹角的余弦值为-5. 3 …………15分 17.解：(1)因为a十b=ccos B-bcos C,由正弦定理得sinA十sinB=sin Ccos B-sin Bcos C,…1分 又sinA=sin(B+C),所以sin Bcos C+cos Bsin C+sinB=sin Ccos B-sin Bcos C,…3分 所以2 sin Bc0 s C+sin B=0,………………4分 又sinB>0,解得cosC=- 2 …5分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 又0<C<π，则C=2 6分 (2)若c=3,所以a b sin A sin B sin C 5=2,所以 2 2 sin Aa’sinB=b… 8分 sin 3 1 1 又 Si0十sB三4，所以爱十号=4，所以a十b=2ab,…。 10分 又cosC=Q2+b2-c2 2ab 2,所以a2+b+ab-3=0,所以(a+b)2-ab-3=(2ab)2-ab-3=(ab-1)(4ab 十3)=0，解得ab=1, ……………13分 所以5ar=ainC=子×1Xn号-=9 41 ……15分 3 18.(1)证明：连接DB,如图所示，在直四棱柱ABCD-A1BCD1中，BB⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD, 所以BB1⊥AC,… …………1分 又AC⊥DB1,BB,∩DB,=B,BB,DB1C平面BDB1,所以AC⊥平面BDB1, …………4分 又BDC平面BDB1,所以AC⊥BD,又四边形ABCD是矩形，所以四边形 D ABCD为正方形；……………7分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DD所在的直线分别为x轴，y轴，x轴， B 建立空间直角坐标系，如图所示，所以A(√2,0,0)，C(0√2,0)，D1(0,0,2), p(,0,专），所以pi=(E,0,-专)，P元=(0厄，-专)，AD (-√2,0,2)，…… 9分x n…Ei=Ex- 3=0 设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),所以 令x=3,解得x=2√2，y=2√2， n…t-Ey-专=0 所以平面PAC的一个法向量为n=（2√2,2√2,3)， …13分 设直线AD与平面PAC所成角的大小为0， 所以sin0=cos(n,AD)=n·AD -2×22+0×2E+2×3= n AD √6×5 ,即直线AD,与平面PAC 1. 所成角的正弦值为 ………17分 19.解：(1)取PA的中点为G,连接FG,EG. 因为四边形ABCD是矩形，且点E为BC的中点，所以EC∥AD,且EC= AD1分 又因为F,G分别为PD,PA的中点，所以GF∥AD,且GF= AD. …………3分 所以GF∥EC,且GF=EC,所以四边形ECFG为平行四边形， 5分 所以CF∥EG,且CF平面PAE,EGC平面PAE, 所以CF∥平面PAE;… 6分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 (2)因为PA上平面ABCD,四边形ABCD为矩形，所以分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,x轴建立空间 直角坐标系，如图所示. 因为PB与底面ABCD所成角为45°，即∠PBA=45°，所以PA=AB. ……7分 因为过点A作AH⊥PE,垂足为H,因为平面PDE⊥平面PAE,平面 PDE∩平面PAE=PE,AHC平面PAE,所以AH⊥平面PDE,DEC 平面PDE,所以AH⊥DE.…8分 B 又因为PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以PA⊥DE,又因为 PA,AHC平面PAE,PA∩AH=A,所以DE⊥平面PAE,AEC平面PAE,所以DE⊥AE.…9分 因为E为BC中点，所以AE=DE,即△AED为等腰直角三角形，即∠EAD=45°，又因为四边形ABCD是矩 形，所以∠BAE=45°，所以AB=BE,即AD=2AB.…………10分 设AB=a,则A(0,0,0,E(a,a,0),C(a,2a,0),F(0,a,号），P(0,0,a). 则Ai=(a,a,0),Ai=(0,0,a),At=(a,2a,0,A市=(0，a,号) ………………………11分 设平面PAE的法向量为n1=(x1,M,z1), 则 AE·n=0即a4aw=07 ,因为a>0,即 x1十y1=0 Ad.m1=0'a1=0 则1=0，令x1=1,则y1=一1， 1=0 所以n1=(1,-1,0);…13分 设平面ACF的法向量为n2=(x2,y2,22), At·n2=0 (ax2十2ay=0 x2十2y2=0 则 即 即 令y2=1,则x2=x2=-2, Am=0 ay:+ 22-0 1 22-0 所以n2=(-2,1,-2).………15分 设平面PAE与平面ACF的夹角为0，则cos0=cos(m1,m)=n::=3=夏 m·n22x3z’ 所以9=牙，即平面PAE与平面ACF的夹角为平. ……17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】