精品解析：陕西安康市部分校2025-2026学年高二下学期期末教学质量评估数学试卷

高二年级教学质量评估数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 3与9的等比中项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查等比中项的定义，若成等比数列，则. 【详解】设与的等比中项为 由等比数列的等比中项定义可知，，解得. 2. 已知某圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 如图，，，， 所以． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，或， 则或，即. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，即， 则，解得或（舍去）， 则. 5. 已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 6. 设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复数的乘方运算法则及复数的对应点的坐标列得关于的方程，求得的值，从而求得. 【详解】设，则. 所以，所以， 所以， 由②得， 所以或. 当时，由①得，即， 因为，所以该方程无实数解； 当时，，所以， 所以. 综上所述，. 7. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 【答案】C 【解析】 【分析】先将7条航线分成3组，为保证每个中心至少分到一条航线，共有四种情况.因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以分甲分配到条航线进行分析可得. 【详解】因为每个调度中心至少分到1条航线， 所以把7条航线分成3组，有四种情况. 因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以可分甲分配到四个类型进行分析， 所以有以下分配方案： 若甲中心分配5条航线，则其中必包括航线1与航线2，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，且其中包括航线1与航线2，则从除1、2两条航线外的5条中再选2条给甲， 再将剩余3条分成两组分配给乙、丙，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，但其中不包括航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选4条给甲， 再将1、2两条航线作为一组，剩余1条单独作为一组，分配给乙、丙共有种方案； 甲中心分配2条航线，即航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配2条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选2条给甲，选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，且包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给甲， 此时可从其余航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可选两条给乙，其余航线给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选3条给甲， 此时可从剩余2条航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可将剩余2条航线给乙，将航线1与航线2作为一组给丙，共有种方案； 也可将航线1与航线2给乙，其余航线给丙，共有种方案； 综上所述，共有种方案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 当与的夹角为锐角时， C. 若与共线，则的最小值为 D. 若在上的投影向量为，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由可判断；B选项，且与不同向共线，得到不等式，得到答案；C选项，设，由共线得到方程，由模公式得到，求出最小值；D选项，根据投影向量得到方程，求出，分，和三种情况，由基本不等式求出最值，得到答案 【详解】A选项，，显然，故，A正确； B选项，与的夹角为锐角，故且与不同向共线， 且，解得且，B错误； C选项，设，则， 与共线，故，所以， ， 故当时，取得最小值，最小值为，C正确； D选项，在上的投影向量为，故，所以， 即，令，则， 所以， 当时，，， 当时，， 当时，，当且仅当，，时，等号成立， 此时， 当时，，当且仅当，时，等号成立， 故， 综上，，的最大值为，D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，，且当时，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 函数为周期函数 D. 曲线的对称中心有无数个 【答案】ACD 【解析】 【分析】A求出的解析式即可；B先证明，得出即可判断；C先求证得出，其中为常数，再利用得出，求出，得出即可求证；D利用对称性和求证关于中心对称. 【详解】若，则，则， 因为， 所以， 则在上单调递增，故A正确； 因为，所以关于中心对称， 则， 因为，所以， 则，得， 若，则，则， 因为在上恒成立，且关于中心对称， 所以在上恒成立， 故，则在上单调递增，故B错误； 因为， 所以， 则，其中为常数， 因为，所以，其中为常数， 则，，得，， 则，则， 函数为周期函数，故C正确； 因为，且关于中心对称， 所以， 则关于中心对称， 故曲线的对称中心有无数个，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可得， 则，则，所以. 13. 已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 14. 已知函数（，）的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数的单调性及周期求得，利用特殊点求得，即可求出解析式，从而利用余弦函数单调性求解即可. 【详解】记的最小正周期为， 显然，得. 由，且得. 可得. 由，，，. 所以函数的单调递减区间为，， 单调递增区间为，. 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增. 故的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项积，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，求的通项公式． 【答案】（1）由题可得， 因为， 所以， 所以数列是公差为3的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由，代入，得到，即可证明； （2）利用等差数列通项公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得 ，则， 当时，， 所以. 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）证明：在上单调递减． 【答案】（1） （2）由（1）可知， 则，， 所以， 设，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在处的切线方程. （2）明确函数的解析式，判断导函数的符号，可得函数的单调性. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 即． 【小问2详解】 略 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围． 【答案】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以为原点建系，设，，，根据得，即可计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，， 则，，． 因为点在侧面内（含边界），所以可设，，， 则，所以． 由，得， 即，即，所以， 由，得，则． ， 因为，所以，则，所以， 所以，所以长度的取值范围为． 18. 在某双通道通信实验中，系统每次独立输出一个信号对，其中状态指示值，．工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中值的总和为140，值的总和为150．设该样本中信号对出现的频数为（，），并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值． （1）补全列联表（可用表示）； 合计 合计 100 （2）若按样本频率得到的与相互独立． （ⅰ）求的值，并计算单次输出时的概率； （ⅱ）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对的个数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 【答案】（1） 合计 60 40 合计 50 50 100 （2）（ⅰ）， （ⅱ）的分布列为： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）利用与数值总和建立方程组，求出各行、各列合计频数，再用表示四类信号对频数完成填写； （2）（ⅰ）等价于变量独立，从而求出，统计总频数，除以样本总数得对应概率； （ⅱ）服从二项分布，即，套用二项分布公式写分布列、求期望. 【小问1详解】 设这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意得解得，． 设出现的频数为，出现的频数为， 依题意得解得，． 因为信号对的频数为，所以当时，与的频数分别为，， 当时，与的频数分别为，， 补全列联表如表： 合计 60 40 合计 50 50 100 【小问2详解】 （ⅰ）根据相互独立条件，必有，则， 化简可得，解得． （或根据相互独立条件，信息对的频率等于的频率与的频率之积，即，解得．） 信号对的频数为，则样本中满足的总频数为， 所以单次输出时满足的概率为． （ⅱ）由（ⅰ）可知每次输出时满足的概率均为，则． 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 则． 19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． （1）证明：直线与的斜率之积为定值； （2）直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】（1）由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． （2）6 （3）设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设，，可得，结合斜率公式分析证明； （2）设直线：，，结合（1）中结论可得，，再利用基本不等式求最小值； （3）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，设外接圆的方程为，代入点结合韦达定理分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级教学质量评估数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 3与9的等比中项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（ ） A. B. C. D. 6. 设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 当与的夹角为锐角时， C. 若与共线，则的最小值为 D. 若在上的投影向量为，则的最大值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，，且当时，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 函数为周期函数 D. 曲线的对称中心有无数个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则_____． 13. 已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 14. 已知函数（，）的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项积，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，求的通项公式． 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）证明：在上单调递减． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围． 18. 在某双通道通信实验中，系统每次独立输出一个信号对，其中状态指示值，．工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中值的总和为140，值的总和为150．设该样本中信号对出现的频数为（，），并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值． （1）补全列联表（可用表示）； 合计 合计 100 （2）若按样本频率得到的与相互独立． （ⅰ）求的值，并计算单次输出时的概率； （ⅱ）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对的个数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． （1）证明：直线与的斜率之积为定值； （2）直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $