1.7.1 位似图形的概念及画法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.7 位似 第1课时　位似图形的概念及画法 1．在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的． 每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点． 2．图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征？ 自学互研 知识模块一　位似图形的有关概念、性质 思 考 图中是把幻灯片的一个小熊图案放映到屏幕上的示意图(点 O 表示光源)，幻灯片与屏幕上的两个小熊图案之间有什么关系？ O O A B B' A' 在图中的左边小熊的头顶上和尾巴尖上分别取点A，B，右边小熊的头顶上和尾巴尖上的A'，B'分别为点 A 和点 B 的对应点. 发现：点 A，A'与点 O 在一条直线上，点B、B'与点O也在一条直线上. 分别量出线段OA， OA′， OB， OB′的长度（精确到0.1cm），计算： ≈ 2.2 ≈ 2.2 O A B B' A' O A B B' A' 继续在左、右小熊上找出一些对应点，发现每一对对应点都与点 O 在一条直线上，且每一对对应点与点O所连线段的比与, 的值相等. 取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′，使得= 其中k是非零常数. 位似图形 O A B B' A' 当k > 0时，点P′在射线 OP 上，当k < 0时，点P′在射线OP的反向延长线上.特别地，点O对应到它自身. O A B B' A' 我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点. O A A' B' B 所以 △OA′B′ ∽△OAB. 因此 A′B′∥AB. 思考 在图中，连接AB，A' B' ，可以抽象出图，则= = 于是= 归纳总结 若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行（或在同一条直线上）. 如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行 (或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心，这时的相似比又称为位似比． 位似图形概念： 位似是一种具有特殊位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 注意事项 两个位似图形的位似中心只有一个； 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似． 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比) ． 相似比概念： 两个位似图形特征是：每对位似对应点与位似中心共线． 位似图形特征： 【例】如图，D，E分别是AB，AC上的点． (1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？ (2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 解：(1)△ADE和△ABC是位似图形． 理由如下：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. 又∵△ADE和△ABC的每组对应点的连线相交于点A， ∴△ADE和△ABC是位似图形． (2)DE∥BC.理由如下： ∴△ADE∽△ABC. ∴∠ADE＝∠B. ∴DE∥BC. 知识模块二　利用位似将一个图形放大或缩小 如图，要把△ABC放大为原来的 2 倍，可以怎样做? A A' B' B O C C' 任取一点O，连接OA，OB，OC，分别在线段OA， OB，OC的延长线上取点A'，B' ，C' ，使得===2 依次连接点A'，B' ，C' ，得到△A'B'C'. △ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比为2. 因此，△A'B'C'就是把△ABC放大为原来2倍的图形. A A' B' B O C C' 任取一点O，连接OA，OB，OC，分别在线段OA， OB，OC的反向延长线上取点A'' ，B'' ，C'' ，使得===2 依次连接点A''，B'' ，C'' ，得到△A''B''C''. A B C O A'' B'' C'' △A''B''C''也是把△ABC放大为原来2倍的图形.此时△ABC与△A''B''C''是位似图形，位似比为-2. A B C O A'' B'' C'' 画位似图形的一般步骤： 确定位似中心(可以在图形外部，可以在图形内部，也可以在图形的边上，还可以在某一顶点上)； 01 分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长； 02 根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点； 03 按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 04 （1）已知△ABC外一点O，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原图形的 ； A B C O A'' B'' C'' A' B' C' 做一做 取点A',B',C'使=== 取点A",B",C",使=== （2）若点O在△ABC内部，以点O为位似中心，分别将△ABC缩小为原图形的 、放大为原原图形的2倍. O A B C A' B' C' A'' B'' C'' 取点A',B',C'使=== 取点A",B",C",使=== O A B C A' B' C' A'' B'' C'' 取点A',B',C'使=== 取点A",B",C",使=== 【变例】把图中的四边形ABCD缩小到原来的. 解：作法一：①在四边形ABCD外任取一点O； ②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； ③分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得===； ④顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到四边形A′B′C′D′，如答图①. 作法二：①在四边形ABCD外任取一点O； ②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； ③分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′， 使得==； ④顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到四边形A′B′C′D′，如答图②. 作法三：①在四边形ABCD内任取一点O； ③分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得==； ②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； ④顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到四边形A′B′C′D′，如答图③. 利用位似将图形放大或缩小的步骤： 点 拨 首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； 确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； 确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； 符合要求的图形不唯一，所作的图形与所确定的位似中心的位置有关． 随堂检测 1.如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，则△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，找出它们的位似中心. 所以△ADE 与△ABC 是位似图形，位似中心是点A. A B C D E 因为 DE∥BC， 所以 △ADE ∽△ABC ， 又因为 BA、CA相交于点A， 2.如图，任取一点O为位似中心，菱形ABCD放大为原来的 2 倍. A B C D O A' B' C' D' 取点A',B',C' ,D ',使==== A B C D O A'' B'' C'' D'' 取点A'',B'',C'' ,D '',使==== 课堂小结 取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′，使得= , 其中k是非零常数. 当k > 0时，点P′在射线 OP 上，当k < 0时，点P′在射线OP的反向延长线上.特别地，点O对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比. $