1.4.2 相似三角形的判定定理3 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.4 相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 旧知回顾 1．判定两个三角形全等的方法有：____________________________． SAS，ASA，AAS，SSS，HL 2．任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？ 自学互研 知识模块一　相似三角形的判定定理3的证明 如图，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC的各边与△A'B'C'的各边对应成比例，即满足 =(常数) 。 △A'B'C'与△ABC 相似吗？ 为什么？ 思 考 A B C A′ B′ C′ 如果能在△A'B'C'中用平行于B' C'边的直线截得△A'DE，使它与△ABC全等， A B C A′ B′ C′ 思 考： 则△A'B'C' ∽△ABC . 猜 测：三边成比例的两个三角形相似. 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E. 因为 DE∥B'C'， 所以 △A'DE∽△A'B'C'， A B C A′ B′ C′ D E 从而 = 证明：如图在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB. 又A′D=AB， 从而 A'E=AC，DE=BC， 因此 △A'DE≌△ABC. 故 △ABC∽△A'B'C'. 于是 因此 A B C A′ B′ C′ D E 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 A B C A′ B′ C′ 所以 △ABC∽△A'B'C′. 归纳总结 符号语言： 因为 例1 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°， .求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ 证明：设=k， 则 AB = k·A′B′，AC=k·A′C′. 由勾股定理，得 BC===k 因此 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似). 所以=k. 从而= . A B C A′ B′ C′ 例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 解 在△ABC中，AB＞BC＞CA， 在△DEF中，DE＞EF＞FD. A B C D E F 3 3.5 4 2.4 1.8 2.1 =0.6, =0.6, =0.6, 因此△DEF∽△ABC. 所以= A B C D E F 3 3.5 4 2.4 1.8 2.1 证明：∵AB＝45，AC＝54，BC＝15，DE＝30，EF＝10，DF＝36， 【例1】如图，在△ABC中，已知AB＝45，AC＝54，BC＝15.在△DEF中，已知DE＝30，EF＝10，DF＝36.求证：△ABC∽△DEF. ∴＝，＝，＝， 应用举例 ∴＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 知识模块二　相似三角形的判定定理3的应用 【例2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应的线段，不必说明理由)． 解：(1)△ABC和△DEF相似． 根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2. ∵＝ ＝ ， ∴△ABC∽△DEF. (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． △P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD.(连接相应的线段略) 随堂检测 1.如图，已知点 D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，求证：△EDF ∽ △ACB. 证明 因为 D，E，F分别是△ABC三边的中点， 所以 △EDF∽△ACB. A C B D E F 所以D 所以＝=, 2. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 解 图中的两个三角形相似. 所以 ∠C=∠C′=90°. 又因为 AB = 5，BC =3，A′B′=10，A′C′=8， A B C 5 3 B' C' 7.5 6 A' 理由：因为△ABC和△A′B′C′都是直角三角形， 所以 AC = 4， B′C′ = 6. 所以 △ABC∽△A′B′C′. 所以＝ ＝ A B C 5 3 B' C' 7.5 6 A' 3. 如图，在方格纸上有△ABC和△DEF，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由. 解： △DEF∽△ABC. 设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得: 在ADEF中:DE== , DF= EF== , 在△ABC：AB==2 BC=6 AC==2 . ＝ ＝, ＝ ∴＝ ∴ △DEF∽△ABC(三边对应成比例的两个三角形相似) 4.如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的 点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形ABCD的边长为4a. 因为P是BC边上的点，且BP=3PC， 所以 PC = a， 因为 Q 是 CD 的中点， 所以 QC=QD=2a，AQ=a， QP=a， 所以△ADQ∽△QCP. 而＝ ＝ ＝ , 课堂小结 相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 数学语言 图示 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 因为 ＝ ， ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 所以 △ABC∽△A'B'C′. 因为 ＝ = ， $