1.5.1相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版数学九年级上册 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 专项练习 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分，单选，注意区分对应线段比与面积比） 两个相似三角形的相似比为 2:3，则它们对应高的比为（　） A. 2:3　B. 4:9　C. √2:√3　D. 3:2 两个相似三角形对应中线的比为 1:4，则它们对应角平分线的比为（　） A. 1:2　B. 1:4　C. 1:8　D. 1:16 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为 1:2，△ABC 中 BC 边上的高为 5，则△A'B'C' 中 B'C' 边上的高为（　） A. 2.5　B. 5　C. 10　D. 20 两个相似三角形的对应角平分线长分别为 6cm 和 9cm，若较小三角形的对应中线长为 4cm，则较大三角形的对应中线长为（　） A. 6cm　B. 8cm　C. 10cm　D. 12cm 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，AM⊥BC 于 M，DN⊥EF 于 N，若 AM=3，则 DN 等于（　） A. 3/2　B. 3　C. 6　D. 12 两个相似三角形的对应高之比为 3:5，下列说法错误的是（　） A. 对应中线之比为 3:5　B. 对应角平分线之比为 3:5 C. 周长比为 3:5　D. 面积比为 3:5 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______。 两个相似三角形的相似比为 3:5，则它们对应高的比为______，对应中线的比为______。 若△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D' 分别是高，且 AD=4，A'D'=9，则相似比为______。 两个相似三角形对应角平分线长分别为 8 和 12，则它们对应中线的比为______。 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3，△ABC 的一条角平分线为 6cm，则△A'B'C' 对应角平分线为______cm。 两个相似三角形对应高分别为 5 和 15，周长之和为 60，则较大三角形周长为______。 三、解答题（共 52 分，需写过程） 13.（10 分）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:5，AD 是△ABC 中 BC 边上的高，A'D' 是△A'B'C' 中 B'C' 边上的高，若 AD=4cm，求 A'D' 的长。 14.（10 分）两个相似三角形的对应中线长分别为 6cm 和 8cm，较大三角形的一条角平分线为 12cm，求较小三角形对应角平分线的长。 15.（10 分）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3:4，AD, A'D' 分别是对应角平分线，若 AD+A'D'=21cm，求 AD 和 A'D' 的长。 16.（10 分）△ABC∽△DEF，BG,EH 分别是对应角平分线，BC=6cm，EF=8cm，BG=4cm，求 EH 的长。 17.（12 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD:DB=1:2，若△ABC 中 BC 边上的高 AM=9cm，求△ADE 中 DE 边上的高 AN 的长。 参考答案与解析 A　解析：对应高比 = 相似比。 B　解析：对应线段比 = 相似比。 C　解析：A'D'=10。 A　解析：相似比 2:3。 C　解析：DN=6。 D　解析：面积比 = 相似比平方。 相似比。 3:5，3:5。 4:9。 2:3。 9。 45。 A'D'=10cm。 较小角平分线 = 9cm。 AD=9cm，A'D'=12cm。 EH=16/3 cm。 AN=3cm。 湘教版（新教材）数学九年级上册 1.5.1相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1 2 理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质。（重点） 能运用相似三角形对应线段的比等于相似比解决相关的计算和证明问题。（难点） 学习目标 导入新课 前面，我们学了哪些相似三角形的性质？ 相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 回顾一下，我们学三角形时，三角形除了角和边这两种元素外，还有哪些元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 思考：如果两个三角形相似，那么，对应的这些元素有什么关系呢？ 今天，我们一起来研究相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的性质 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 前面已经知道,相似三角形对应边的比等于相似比,那么相似三角形对应边上的高(中线)、对应的角平分线等对应线段的比是否也等于相似比？相似三角形面积的比与相似比之间又有什么关系呢？下面我们来分别进行研究. 思考:如图,已知,分别为对应边上的高,那么吗？ 4 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 因为,所以. 又, 因此. 所以. 类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 5 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离. 解:因为,所以. 如图,过点作,交的延长线于点. 设交的延长线于点, 因此. 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得,. 6 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离. 解:又, 于是, 因此. 即点到直线的距离为. 7 探究新知 方法总结： 1.证明思路:利用相似得角相等，结合直角条件，再证小三角形相似，推出对应高成比例。 2.核心结论:相似三角形对应高的比等于相似比。 3.应用要点:找准对应边与对应高，依据性质列比例式求解长度。 8 探究新知 探究二：相似三角形对应角平分线的比 证明:因为, 所以. 又分别为对应角的平分线, 于是, 因此, 所以. 例2如图,已知,分别为,的角平分线.求证:. 9 探究新知 总结归纳： 类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 10 探究新知 方法总结： 1.证明思路:由原三角形相似得角相等，结合角平分线分得等角，证小三角形相似。 2.核心结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3.关键技巧:抓住角平分线分得的角为原角一半，构造相似条件。 11 知识点1 相似三角形对应线段的比 1. 若，相似比为 ，则对应高 的比为( ) A A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的对应边之比为 ，其中一 个三角形的一个内角平分线长为7，则另一个三角形对应角 平分线的长为( ) C A. B. C. 或 D. 无法确定 返回 举一反三 12 3. 如图，在中，,分别是, 上的点，且 ，,分别是, 的中点．若 ，，，则 的值为___． 返回 举一反三 13 探究新知 探究三：相似三角形对应角中线的比 议一议:已知,若分别为的中线,则成立吗？由此你能得出什么结论？ 如图,由可得,. 又,则,于是, 从而,所以. 14 探究新知 总结归纳： 类似地,我们可以得到另外两组对应边上的中线的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 综上所述,可得相似三角形的性质定理1:相似三角形对应线段的比等于相似比. 15 探究新知 方法总结： 1.证明思路:利用中线将边平分，结合相似比例，证含中线的小三角形相似。 2.核心结论:相似三角形对应中线的比等于相似比。 3.统一归纳:相似三角形所有对应线段的比都等于相似比。 16 基础巩固题 新知应用 1、两个相似三角形对应边比为8:9，那么相似比为 ，对应边上的高之比为 ，对应边上的中线比为 ，对应角的角平分线比为 。 2、两个相似三角形对应角的角平分线比为5:4，可直接得到对应边上的高之比为 ，对应边上的中线比为 。 8:9 8:9 8:9 8:9 5:4 5:4 相 似 三 角 形 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 都等于相似比. 基础巩固题 新知应用 3、已知△ABC与△DEF相似且相似比为4：1，则△DEF 与△ABC的对应边上的高之比为（　　） A．4：1 B．1：4 C．16：1 D．2：1 B 4．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3．若BE＝6，则B′E′的长为______． 　 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似比是有顺序的. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 基础巩固题 新知应用 6．两个相似三角形的相似比为2∶3，已知其中一个三角形的一条中线为12，那么另一个三角形对应的中线是________． 18或8　 5、在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________． 2 : 1 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 中线谁长谁短呢？ 要分类讨论. 知识点2 相似三角形对应线段比的应用 4. 图①是《墨 经》中记载的“小孔成像” 实验图，图②是其示意图， 其中物距 ，像距 C A. B. C. D. .若像的高度是，则物体的高度 为( ) 返回 举一反三 20 5. [石家庄桥西区模拟] 如图， 在中，直尺的一边与 重合，另一边分别交， D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 于点，，其中点，，， 处的读数分别为8，16， ，，已知直尺宽为3，则中 边上的高为 ( ) 返回 举一反三 21 6. 如图①，是的高，点， 分别 在边和上，且 .由“相似三角形对应高的比等于 对应边的比”可以得到以下结论： . 举一反三 22 （1）如图②,在中，， 边上的高为8，在 内放一个正方形,使其一边在上，点, 分别在,上，则正方形的边长 ___. 举一反三 23 （2）某葡萄酒庄欲在展厅 的一面墙上，布置一个腰 长为 ,底边长为 的等腰三角形展台， 现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔 分隔出一层， 再将每一层尽可能多地分隔成若干个开口为正方形的长方体 格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图③ 所示，将底边 的长度看作是第0层隔板的长度. 举一反三 24 ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行 于底边的隔板长度（单位： ）随着层数（单位：层）的变 化而变化，请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/ 120 _____ ____ ____ … 105 90 75 举一反三 25 高 相似三角形对应高的比等于相似比 角平分线 中线 相似三角形的性质 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 二一教育 二一教育 $