1.4.2 相似三角形的判定定理1 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.4 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1 情景导入 观察老师与你的三角尺，其中同样角度(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺，它们看起来是否相似？ 自学互研 知识模块一　相似三角形的判定定理1的证明 如图，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， ∠B'= ∠B. 这两个三角形相似吗？ A B C A′ B′ C′ 思考 A B C A′ B′ C′ 由于“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似” 将△ABC 放到 △A' BC 上面，使点 A 与点 A' 重合，且边 AB 落到边 A'B 上， A B C A B C 由∠A'=∠A，可判断边AC会落到边A'C上，又∠B'=∠B， 则BC//B'C'，于是可得△ABC ∽△A'BC. A B C A′ B′ C′ A B C A B C A B C A′ B′ C′ 证明：如图，在△A'B'C'的边A'B'上取一点 D，使A'D = AB. 过点D作DE∥B'C' ，交A'C'于点 E. 在△A'DE与△ABC中， D E 由此猜测：两角分别相等的两个三角形相似. 因为∠A'=∠A， A'D=AB， ∠A'DE=∠B'=∠B， 所以△A'DE≌△ABC. 又DE∥B'C' . 于是△A'DE∽△ A'B'C'. 因此△ABC∽△ A'B'C'. A B C A′ B′ C′ D E 两角分别相等的两个三角形相似. A B C A′ B′ C′ 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 相似三角形的判定定理 1 两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. 例 如图，在△ABC中，∠C=90°.过点 D 分别作边 AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H.求证：△DHE∽△ABC. 证明 因为∠C=90°，所以 BC⊥AC. 因为DF⊥AC，所以DF∥BC. 从而∠DHE=∠B. 又DE⊥AB，所以∠DEH = 90°=∠C， 因此 △DHE∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). A B C D E F H 【例1】如图，在△ABC中，∠C＝60°，D是线段BC上一点(不与端点B，C重合)，连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F.求证：△AEF∽△DCF. 证明：∵△ADE是等边三角形， ∴∠E＝60°. ∵∠C＝60°， ∴∠E＝∠C. 又∵∠AFE＝∠DFC， ∴△AEF∽△DCF. 知识模块二　相似三角形的判定定理1的应用 例 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF中，∠C=90°， ∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长. 解：因为∠C = 90°， ∠F = 90°，∠A =∠D， 所以 △ABC∽△DEF， 从而=. A B C D E F 又 AB = 5，BC = 4，DE = 3. 所以 EF = 2.4. 于是= A B C D E F 解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， 【例2】如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B，AC＝6，AD＝4.求BD的长． ∴△ACB∽△ADC. ∴=. ∵AC＝6，AD＝4， ∴=. ∴AB＝9. ∴BD＝AB－AD＝9－4＝5. 随堂检测 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相 似三角形共有( ) A. 1 对 　　B. 2 对 C. 3 对 　　D. 4 对 C 2. 如图，在△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C = ∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( ) A. B. C. D. A C A B D E A B D C 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠_____＝∠____(或 ∠______=∠______)时， △ACD∽△ABC； ACD ACB B ADC 4.如图，E 为□ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接AE，交CD 于点F.试指出图中有几对相似三角形，并说明理由. △ABE∽△FCE， 证明：因为 四边形ABCD为平行四边形， 所以 AB∥DC，AD∥BE. △FCE∽△FDA， △ABE∽△FDA A B C D E F 所以△ABE∽△FCE， △FCE∽△FDA 所以 △ABE∽△FDA. A B C D E F 5. 如图，AB⊥BD，ED⊥BD， C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE. 已知 ED=1，BD=4，求 AB 的长. 证明：因为 AB⊥BD，ED⊥BD， AC⊥CE， 所以∠B =∠D =∠ACE = 90°. 因为∠A+∠ACB= ∠ECD+∠ACB=90°， 所以 ∠A=∠ECD， A B C D E 所以△ABC∽△CDE. 所以 因为BD=4，C是BD中点， 所以BC=CD= 所以即AB=4. A B C D E 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE. 证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD， 所以 AD⊥BC， 因为 CE⊥AB， 所以 ∠ADB=∠CEB=90°， 又∠B=∠B， 所以 △ABD∽△CBE. 证明：因为∠A=36°，△ABC是等腰三角形， 7. 已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角 平分线，求证：△ABC∽△BCD. 所以 ∠ABC=∠C=72°， 又因为 BD平分∠ABC， 所以 ∠DBC=36°， 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°， 所以△ABC∽△BCD. 8. 已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上 的高. 求证：△ACD∽△ABC∽△CBD. 证明: 因为∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°， 所以△ACD∽△ABC，（两角分别相等的两个三角形相似） 同理△CBD∽△ABC， 所以△ABC∽△CBD∽△ACD. 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 1 A B C A′ B′ C′ 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. $