1.1.1 比例的基本性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1．1　线段的比 1．1.1　比例的基本性质 情景导入 1．求两个数的比时最后结果应约分、化简． 2．两个数的比的一般形式：a∶b＝k，说明a是b的____倍． 3．如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数_______． 知识回顾 k 成比例 把一张图片放大或缩小就得到另一张图片，直观上把这样的两个图形称为相似图形。 自学互研 如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例． 知识模块一　比例的基本性质 如果＝ 那么称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项． a∶b = c∶d ×bd ×bd ad = bc 比例的基本性质： 如果如果四个数 a，b，c，d 成比例， 即 ，那么 ad = bc 吗？ 如果=，那么ad = bc。 【例1】下列数字中，成比例的一组是 ( ) A．1，2，3，4　　　　　　　　　　　　 B．16，8，10，5 C．8，5，6，10 D．5，5，6，7 B 比例的基本性质是：如果＝，那么ad＝bc； 归纳小结 1 2 若＝，则＝，＝． 【例2】(1)已知3∶＝x∶2，则x＝____； (2)已知＝，则＝___，b＝____． 15 3 3a 知识模块二　比例的基本性质的应用 (1) 4a = 5b； (2) =； 解：(1) 由于 4a = 5b，因此由比例的基本性质得， (3) 例1 根据下列条件(其中 a，b 为非零实数)，求 的值： (2) 由于= ，因此 8a = 7b，即= (3) 由于= ，因此 2(a - b) = b，即 2a = 3b， 从而= 例 2 已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即=下面各式成立吗？若成立，请说明理由. 解：（1）由于两个非零实数相等，则它们的倒数也相等， （1）= （2）= 因此，由= 可以得到= . 还能推出= 吗？ （2）由 = 得ad = bc.在上式两边同时除以 cd，得= . （3）在 = 两边都加上1，得= +1 . 由此得到=. 还能推出 = 吗？ 解：在= 两边都减上1， 由此得到= . -1= （1）若 a∶b = 1∶2， b∶c = 1∶2，求 a∶b∶c. 解：由于 a∶b = 1∶2， b∶c = 1∶2，将 b∶c = 1∶2 的前项和后项同时乘以 2，可得 b∶c = 2∶4 . 此时 a∶b = 1∶2， b∶c = 2∶4， 所以 a∶b∶c =1∶ 2∶4. （2）若 a∶b∶c = 2∶3∶4，则=成立吗？ 为什么？ 解：由于 a∶b∶c = 2∶3∶4 设 a = 2k，b = 3k，c = 4k. 所以= 所以= 成立. 例 3 已知== ，且 b + d + f ≠ 0 ， 求 的值. 解：因为== ， 所以a= 于是=== 【例1】若＝3，则的值为 ( ) A．1　　　　　B．2　　　　　　　　 C．3　　　　　D．4 根据以上例题，完成下面例题。 D 【例2】若＝，求m∶n的值． 解：∵＝， ∴3(2m－n)＝n，即6m＝4n. ∴＝＝，即m∶n＝2∶3. 【例3】＝＝，且5x－3y＋6z≠0，求 的值． 解：设＝＝=k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k. ∴＝＝－＝－. 遇到连等式时常利用设“k”法，即引入参数解题． 点 拨 具体步骤如下： ①设这些相等的比值为k； ②转化为每个比的前项等于后项的k倍； ③代入求有关比例式的值． 随堂检测 1. 已知四个数 a， b， c，d 成比例. （1）若 a =－3，b = 9，c = 2，求 d； （2）若 a=－3，b= ，c =2，求d. 解：（1）因为ad = bc， 所以 －3d =2×9， 所以 d = － 6 （2）因为ad=bc， 所以 － 3d =2 ， 所以 d=- 2. 已知 x∶y = 2∶3 ， y∶z = 4∶7，求 x∶y ∶z. 解：由于 x∶y = 2∶3， y∶z = 4∶7，将 x∶y = 2∶3 的前项和后项同时乘以 4，可得 x∶y = 8∶12 ； 将 y∶z = 4∶7 的前项和后项同时乘以 3，可得 y∶z = 12∶21 此时 x∶y = 8∶12， y∶z = 12∶21， 所以 x∶y∶z =8∶ 12∶21. 3. 如果 x∶y = 2∶3 ， 则下列各式中成立的 有_______ (只填序号). ①② ①② 4. 若 x∶y = y ∶z ，则 y 叫作 x 和 z 的比例中项.已知 a =30，b=60，c =120，那么 b 是 a 和 c 的比例中项吗？为什么？ 解：由 x∶y = y∶z ，得 y2 = xz. 因为a =30，b=60，c =120， 所以 b2=602=3600， ac = 30×120=3600， 所以 b2 = ac，即a∶b = b∶c 所以 b 是 a 和 c 的比例中项。 5. 已知 = ，且 b + d + f ≠ 0 ， 求证 = . 所以 a = kb，c = kd，e = kf . 解：设 ==k 由于= 所以 = 于是= 课堂小结 比例的基本性质： 如果ad=bc，其中a，b，c，d为非零实数，那么 成立. 如果那么ad=bc $