吉林省四平市第一高级中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由x2-x-2≤0，得-1≤x≤2，所以B=[-1,2],A∩B={-1,0,1,2}.故选C. 之A:-得十》4那=10去i=号+号放在复平面内，复数对应的点为（号，号），位于第一象限故选A (4+3i)(4-3i)25 3.D因为a与b共线，所以m(m十3)-(-2)×1=0，即m2+3m+2=0,解得m=-1,或m=-2.故选D. 4D由题意知%-厄，所以片方所以e√严-V什（安）-√1+-号故选D a 5.A由题意得F(号，0），C的准线方程为x=一号，放F关于准线的对称点为（一碧，0），所以-碧=一6，所以=4， 所以y=8x,所以8=16，所以=2，所以川EF=号十=4.故选A 6.C由a=-2,易得l1∥l2,故“a=-2”是“l1∥l2”的充分条件；由l1∥l2,得a(a-1)一2×3=0，且-2a-3(1一a)≠0， 所以a=一2，故“a=一2”是“1∥l2”的必要条件，故“a=一2”是“l1∥l2”的充要条件.故选C 7.B由题意知C为半圆，E为正方形，画出曲线C和曲线E(如图所示)，易知当a=2√2时， 2W2 曲线E与C有两个公共点，当a=2时，曲线E与C有三个公共点，当2<a<22时，曲线 E与C有4个公共点，当a∈(0,2)U(22,十∞)时，曲线E与C无公共点.故选B. 2x 8.C由g(x)=f(f(x))一t恰有5个零点，则关于x的方程f(f(x))=t恰有5个相异 (f(x)=m, 实根，令f(x)=m,问题转化为满足 的x恰有5个不同的解.作出函数 f(m)=t, f(x)的图象，如图所示，由图易得：当t2时，关于m的方程f(m)=t仅有一个实根m。,且o<0,此时f(x)=o仅 有1个实根，不合题意；当t=2时，f(m)=t仅有两个相异实根一√2,1，而f(x)=一2，f(x)=1各仅有1个实根，不 合题意：当2<t4时，f(m)=t仅有3个实根m1,m2,,且1≤02<1<s≤e,f(x)=m,(i=1,2)各仅有1 个实根，且两实根均小于一√3，则f(x)=3有三个实根，必有2<3≤4，所以ln2十2=f(2)<1≤f(4)=2ln2+2.又 2<t4,所以1n2十2<t≤21n2+2,此时的5个实根互不相等，即g(x)恰有5个零点：当t>4时，f(m)=t仅有2个相 异实根m,西，且0m<号m>心，此时了()=m仅有1个实根，)=防有2个实根，不合题意所以实数1的 取值范围为(n2+2,2n2+2].故选C. 1713 【高三12月质量检测·数学参考答案第1页（共6页）】 DB 9.BC 因为f(）=2sm元=0，所以f(D的图象关于点（受，0）对称，不关于直线x-要对称，故A错误：(-号) 2sn(一)=0，放fx)的图象关于点(-子，0)对称，放B正确：当x∈[-受，-吾]时，2x-号∈[-弩，-]，此 时2sim(2红-子)∈[-尽，w],所以f(x)的值域为[-尽，]故C正确：当x∈[-受，-号]时，2x-号∈ [经，-元]，因为y=smx在[一经，一x]上单调递减，所以f(x)在[-受，一吾]上单调递减放D错误故选C 10.AC用一x换方程中的x,化简后方程不变，故C关于y轴对称，同理可得C关于x轴对称，故AB均正确；由号+y =1,得y=1-千≥0，-2<x<2,同理-1<y<1,故C正确：0P=m+7=√厂4m+m+= √一(2r-》+需，当m=士时，OPl取得最大值>2，故D错误放选AC 11.ABD连接AE并延长交BC于F,连接FP并延长，易得交BB于B,连接AB,得截面，易得四边形AEPB为梯形 (如图1)，故A正确：若P为BC1上一点，如图2因为BC∥AD,易证BC∥平面ADE,所以点P到平面AD1E的距 离不变，又△ADE的面积固定不变，所以三棱锥P-ADE,即三棱锥D-PAE的体积为定值，故B正确：如图3，取 A1B的中点M,连接MC1,AM,则AE∥CM,显然平面ACE即为平面AEC1M,且A1P与平面AEC1M相交，故C错 误；如图4，若P为BCCB的中心，即为BC的中点，取CC的中点N,连接DN,AE,DE,AD,则DE⊥DN,PN∥ BC.易证BC⊥D1E,所以PN⊥DE,又DN∩PN=N,DN,PNC平面DPN,所以DE⊥平面DPN,所以DP⊥DE, 同理可证DP⊥AE,进而可证DP⊥平面AD1E,所以过E且与DP垂直的平面截正方体所得截面为△ADE,易求 DE=AE=5,AD,=22,所以△ADE的面积为2X22×√(W5)-(W2)=/6,故D正确.故选ABD. D 图1 图2 图3 图4 12.3B+4 10 因为0<a<受，所以吾<a+吾<子，又os(a+吾）=是，所以sin(a+吾)=告，所以cosa= o[(a+吾）晋]-w(a+吾)o吾+n(a+晋)sn音=是×号+号×3-3v 10 139设AB=,在△ABC中，am0=元·所以BC-号，同理在△ABD巾，BD=不在△BCD中，由余弦定理，得 DC=BD+BC-2BD·BCcos30°=x2+ 2-7-号，即25=3x,所以x=25V3≈389.25389. 14.2设x=3,小=的，由题意得x十y=2十y(红，>0)，即(x-号)）+(y2)=号(x>0,>0),在平面直角坐 标系中表示半圆，令x十y=t,画出图形如下： x+y=2 【高三12月质量检测·数学参考答案第2页（共6页）】 DB 当直线x十y=1经过圆心时，1=之十方=1：当直线x十y=1与半圆相切时，圆心（分，方）到直线十y=(的距离 +3- 1+1 号，解得1=2.1=0以会去.放x+y∈1.2.而r+=x十=1，所以=士》”2士2- 2 号，所以2+125=+y=(x+-30x+)=-3×号X1=-名+，令f0)=合+号， 2 2 则f()=-多+31=-受1(1-2)，易知当1,2]时，f)≥0，所以f)在(12]上单调递增，所以f(0m 3 =f(2)=2.综上所述，27十125的最大值为2. 15.解：(1)因为am+1=(+1)an+1, 所以号片-要十D-告+日即中-2， n+1 2分 所以数列十1为常数列， …4分 又+中=2，所以41=2，所以a=21-1. 1 6分 (2)由(1)得6，=211 30, …… …7分 =+是++子+…+3+2， 3-1 32 两边同乘以宁得分5=京十是十号+号+…+2一+一， 3 31 …9分 两式相减得号5子+++导+十一 12212 3+2X33 2-12 21十2 3 30+1 33+1 …11分 13 所以S,=1-+1 3. 13分 16.解：(1)由题意知所求抛物线的焦点在x轴的负半轴上，设其方程为y=一2px(p>0), 与x=一9联立，得y2=18p,…2分 因为所得线段长为9，所以2V8币=9，解得p=8, 9 故所求抛物线的方程为少=一. …4分 (2由题意知可设双前线的方程为号若-1(。>0.6>0》。 …5分 由双曲线的定义得2a=√/（一2-0）十[5-（一6）下一√（一2-0）2十(5-6)7，…7分 即2a=45,所以a=25.…8分 6=60-(2后)=16，故所求双前线的方程为芳一无=1… 10分 【高三12月质量检测·数学参考答案第3页（共6页）】 DB (3)设所求双曲线的方程为兰-2=A(以≠0)， 11分 将点(2,2)代入方程，得4-2=X… 12分 解得入=-1，放兰-x2=-1, 14分 故所求双曲线的方程为：-上 =1 4 15分 17.(1)证明：取棱PB的中点G,连接FG,CG,… 1分 因为FG为△PAB的中位线，所以FG∥AB,且FG号AB,…2分 因为四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，所以EC∥AB,且EC=AB, …3分 所以FG∥EC,FG=EC,所以四边形CEFG为平行四边形， …4分 所以EF∥CG. 又EF士平面PBC,CGC平面PBC, 所以EF∥平面PBC… …6分 (2)解：分别取棱AD,BC的中点O,M,连接OP,OM,则OM⊥AD. 因为PA=PD,O为AD的中点，所以POLAD,… …7分 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, G 所以POL平面ABCD,因为OMC平面ABCD,所以PO⊥OM,…8分 所以直线PO,OD,OM两两垂直，以O为原点，直线OM,OD,OP分别为x轴，y轴， D 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,一1,0)，C(2,1,0),E(1,1,0), A0,-1,0),P(00,2),所以F(0,-,1,庙=(1，-2,0)，萨=(-1，-号，1)，=(0,2,0)，Pi= (2,1,-2).… …9分 E市.m=0, 3 一x-2y十x=0 设平面BEF的一个法向量m=(x,y,之)，则 即 令=1，解得=28=子 E3·m=0, (x-2y=0, 所以m=(2,1,子） … 11分 PB·n=0,2a-b-2c=0 设平面PBC的一个法向量n=(a,b,c),则 即 令c=1,解得b=0,a=1, BC.n=0, 2b=0, 所以n=(1,0,1). 13分 11 记平面BEF与平面PBC的夹角为0，则cos0=|cos(m,m|=Tm:m= m·n =11/138 9×2 138 【高三12月质量检测·数学参考答案第4页（共6页）】 DB 即平面BEF与平面PBC的夹角的余弦值为 15分 18.解：(1)由题意知QP|=QF,|PC=4,点F在圆C内部， …1分 所以|QC+|QF|=|QC+|QP|=|PC|=4>|CF|=2,由椭圆的定义知，点Q的轨迹是以C,F为焦点，长轴长 为4的椭圆. 设其方程为后+芳=1(0心60).则2a=4,后-万=1,3分 所以d=4,=3放E号+号=1 ……4分 B元 (2)由(1)得A(一2,0)，B(2,0),当k=1时，直线1的方程为y=x一1，代入E的方程并化 简，得7x2-8x-8=0,… …5分 设M(n),N(n),则西十=号，d=-号， 64+32=122 所以|y-y|=1m-nl=√/(+2)2=412=√9+7 7 …7分 所以四边形AMBN的面积S=合AB1=号×4×12平_24 9分 (3)设l的方程为x=my+1(m≠0)，代入E的方程并化简，得(3m2+4)y2十6my-9=0, 显然判别式△>0，设M(x1,y),N(2,2),则D(一x,一少)， 61 9 少十为=一 30242三30+4’ 11分 所以直线AD的方程为一产2十2). 直线BN的方程为y=”2(x—2)，…产 12分 -2x+2), -4my2+2(边+2) y2一y1 由 解得 14分 22x-2), y2 4y1y2 y= y 2一少’ 4y12 -9 y2一 所以k:=-4y边十2(y+2） 一4X3n+4 3 4mX3w+2X平 -9 2m 16分 y2一y1 3 又=品所以哈-亚号，即哈为定值，且定值为2 17分 k1 1 n 19.解：(1)由f(x)=n(x+1)-2=1n(x+1)-2+20 a+a x+a 得∫(x)=市(x+a 1 2a …2分 当a=3时，f0)=1-号=3f0)=0, 【高三12月质量检测·数学参考答案第5页（共6页）】 DB 所以曲线y=寸(x)在点(0，f(0)处的切线方程为)一0=弓（红一0），即y=子 ，…4分 (2)因为f(x)在[0，十o∞)上单调递增，所以Vx∈[0，十o∞)，f(x)≥0.…5分 由1)知了(x)==千r0 -2a x2+a2-2a …6分 因为x+1>0,(x+a)2>0,所以x2+a2-2a≥0，即a2-2a≥-x2在[0，+o∞)上恒成立， 所以a2-2a≥0，又a>0,所以a≥2， 即a的取值范围为[2，十0∞).…8分 (3)①当a≥2时，(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)不存在极值，不合题意；… 9分 x2-1 x-1 ②当a=1时/(x)=x++=干)所以当-1<<1时f（x)<0:当>1时，f(x)>0,所以 f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)无极大值，不合题意；… …10分 ③当1<a<2时，f(x)的定义域为(-1，+o∞)，2a-a∈(0,1)， 令(x)=0,得x=-√2a-a,x2=2a-a,当x∈(-1，x)U(x2,十∞)时，f(x)>0,当x∈(x1,x2)时， f(x)<0,所以f(x)在（一1，x),(x2,十∞）上单调递增，在(，x2)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(x),极小值为f(2),且f()>f(2),不合题意；…11分 ④当0<a<1时，f(x)的定义域为(-1，-a)U(-a,+o∞)，2a-a2∈(0,1)，且√2a-a>a,…12分 令f(x)=0,得m=-V√2a-a,x2=√2a-a,且-1<x1<-a, 当x∈(-1，x)时，f(x)>0;当x∈(a,一a)时，f(x)<0:当x∈(-a,x2)时，f'(x)<0: 当x∈（x2,十o∞)时，(x)>0,… …13分 所以f(x)在(-1，)上单调递增，在(x,一a)上单调递减，在（一a,2)上单调递减，在(x2,十∞）上单调递增， 所以fx)的极大值为f(),极小值为f(2),且f()=1n(m+1)-2+2a x1+a1 f)=ln(2+1)-2+2a 72g………………………………15分 f(m）-f)=1n(n+1）-1n(+1)十24,2a=ln+2a） x1+ax2十a x2+千(x1+a)(x2+a)1 因为<-a<,所以1h<0,4。 _2a(）<0,所以f(a)-f(2)<0, 即f(x1)<f(2),符合题意. 综上所述，a的取值范围为(0,1).… …17分 【高三12月质量检测·数学参考答案第6页（共6页）】 DB高三数学 考生注意： 1.本试卷分进择题和非进择题两部分。满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水荟宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4本卷命题范国：集合，辽辑，不等式，画数，导数，三角函数，三角恒等变换，平面向量，复数，解三角 形，立体几何（含空问向量），数列（约占60%），直线与圆，圆维曲线（约占40%）。 一、进择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-2,-1,0,1,2),B={xx2-x-2≤0}，则A∩B= A[-1,2] B.(-∞，-2]U(3,+∞) C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2) 2在复平面内，复数：=牛对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C.第三象限 D,第四象限 3.已知向量a=(-2,m十3)，b=(m,1),若a与b共线，则实数m= A-1 B.2 C.-1或2 D.-1或-2 么若双曲线E后- -1(a>0,b>0)的实轴长为虚轴长的2倍，则E的离心率为 A/5 B.2 c n号 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F关于C的准线的对称点为（一6,0），则C上的点E(x,4)到 点F的距离为 A.4 B.6 C.8 D.10 6.已知直线k:ax十2y-a十1=0,2：3x十(a-1)y-2=0,则“a=-2”"是“4∥2"的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.若曲线C:y=√4-与曲线E:|x十|y川=a(a>0)仅有4个公共点，则实数a的取值范围为 A[2,22) B.(2,22) C.(w2,2) D.[2,22] 【高三12月质量检测·数学第1页（共4页）】 DB 8.已知函数∫(x)= 4一x2,x≤0,1 若函数g(x)=∫(f(x)一t恰有5个零点，则实数t的取值范 In1+2,>0, 围为 A.(2,e2] B.(n2+2,4] C.(h2+2,2ln2+2] D.(2,4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数fx)=2sin(2红-)，则 A的图象关于直线：=学对称 Bf(x)的图象关于点(-子，0）对称 Cfz)在[-受，-晋]上的值域为[-35] D.fx)在[-受，一]上单调递增 10.已知曲线C:芹+y=1,P(m,m)为C上一点，0为坐标原点，则 AC关于x轴对称 BC关于y轴对称 C.m,n的取值范围分别为[一2,2]，[-1,1] D.|OP的最大值为2 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A:BCD,中，E为棱CD的中点，P为侧 D 面BCC,B内一点（含边界），则 'A若P为棱CC,的中点，则平面AEP截正方体所得截面为梯形 B.若P为线段BC1上一点，则三棱锥D,-PAE的体积为定值 C.若P为BB1的中点，则AP/平面ACE D.若P为侧面BCC,B,的中心，则过E且与DP垂直的平面截正方体所得截面面积为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知0<a<受，且cos(e+晋）=号则cosa= 13.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水 平的地面上选择三个点B,C,D,点B作为测量基点，设大厦主体的最高点为A (AB与水平面垂直)，在点C和点D处测得点A处的仰角分别为60°和45°，测得 ∠DBC=30°，CD=225米，测角仪的高度不计，则紫峰大反主体的高度约为 米（精确到整数位）(W3≈1.73). 14.已知实数a,b满足3+5=9+25，则27+125的最大值为 【高三12月质量检测·数学第2页（共4页）】 DE CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在数列{a》中，a1=1,na+1=(n十1)a,+1. (1)求{a.}的通项公式： (2)若6.-，求数列(}的前n项和S… 16.(本小题满分15分) (1)求顶点在原点，对称轴为x轴，且与直线x=一9相交所得线段长为9的抛物线的方程： (2)求焦点为(0，一6)，(0,6)，且过点（一2,5）的双曲线的标准方程； (3)求与双曲线-2=1有相同的潇近线，且过点(W2,2)的双曲线的标准方程 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,E,F分别为棱CD 和PA的中点. (1)证明：EF∥平面PBC: (2)若AD=2,PA=PD=√5，求平面BEF与平面PBC的夹角的余弦值. 【高三12月质量检测·数学第3页（共4页）】 DB 18.(本小题满分17分) 已知圆C:(x十1)2+y=16,F(1,0),点P为圆C上的动点，线段FP的中垂线交线段CP于点Q, 当点P在圆C上运动时，点Q的轨迹为曲线E.设E与x轴交于点A,B(点A在x轴的负半轴上)， 过点F且斜率为k1(k1≠0)的直线L交E于点M,N (1)求E的方程； (2)当k1=1时，求四边形AMBN的面积： (3)若点M关于原点O的对称点为D,直线AD,BN交于点G,记直线OC的斜率为k:,判断完是否 为定值？若是定值，求出该定值：若不是定值，请说明理由， 19.(本小题满分17分) 已知函数f)=h(z+1)-年a(>0), (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)在[0，十∞)上单调递增，求a的取值范围： (3)若f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围. 【高三12月质量检测·数学第4页（共4页）】 DB Cs 扫描全能王 3亿人都在用的扫描App