第2章 锐角的正弦、余弦、正切 小结与复习 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 第2章小结与复习 知识总结 【本章知识结构】 锐角的正弦、余弦、正切 正弦、余弦、正切的定义 特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值 已知锐角求三角函数值或已知三角函数值求对应的锐角 解直角三角形及其应用 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＋∠B＝ ____ ，a2＋b2＝____； sin A＝_______，cos A＝_______，tan A＝_______． 【基础知识梳理】 直角三角形的边角关系 90° c2 sin A＝cos ______________； cos A＝sin ______________ ． 互余两角三角函数间的关系 同角三角函数间的关系 sin2α＋cos2α＝____；tanα＝_______． (90°－A) (90°－A) 1 在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边，2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． 解直角三角形的基本类型 由直角三角形中已知的元素求其余 未知元素的过程叫作解直角三角形． 自学互研 知识模块一　锐角三角函数 锐角三角函数 定义 表示 图示 正弦 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦. sin A= = 锐角三角函数 定义 表示 图示 余弦 正切 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦. 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切. cos A= = tanA= = 【例1】计算：(1) sin 60°＋2sin 30°－tan 30°－tan 45°； 解：原式＝－. (2) sin 45°＋cos260°－tan 60°＋sin 30°·tan 45°； 解：原式＝－. 　(3)3tan 30°－＋cos 45°＋. 　解：原式＝2－1. 知识模块二　解直角三角形 (1) 三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理) (2) 两锐角之间的关系∠A+∠B=90° (3) 边角之间的关系 B A C a b c sin A== sin B== cos A== cos B== tan A== tan B== 解直角三角形的基本类型和方法 已知条件 图示 解法步骤 两边 两直角边 斜边和一直角边 （1）由tan A= （2）= （3）c= （1）由sin A= （2）= （3）b= 已知条件 图示 解法步骤 一边一角 一锐角和一直角边 两直 角边 斜边和一直角边 （2）由tan A= （1）= （3）由cos A =. （2）由tan A= （1）= （3）由cos A =. 已知条件 图示 解法步骤 一边一角 一锐角和一斜边 （2）由 A= （1）= （3）由cos A =. 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5.求∠B，b，c. 解：∠B＝90°－∠A＝60°. ∵tan B＝， ∴b＝a·tan B＝5×tan 60°＝5. ∵sin A＝， ∴c＝＝＝10. 【例3】已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，tan B＝，求sin ∠DAC的值. 解：过D作DE∥AB交AC于E， E 则∠ADE＝∠BAD＝90°， 由tan B＝，得＝， 设AD＝2k，AB＝3k， ∵D是△ABC中BC边的中点，DE∥AB， ∴DE＝k， ∴在Rt△ADE中，AE＝＝k， ∴sin ∠DAC＝＝＝. E 知识模块三　解直角三角形的应用 【例4】如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8 m，仪器高度CD＝1.5 m，求这棵树AB的 高度(结果精确到0.1 m， ≈1.732). 解：易得四边形DCEF，DCBG是矩形， 在Rt△AFG中，tan ∠AFG＝tan 60° ＝＝＝， ∴GB＝EF＝CD＝1.5 m，DF＝CE＝8 m. 设AG＝x m，GF＝y m， 在Rt△ADG中，tan ∠ADG＝tan 30°＝＝＝， 二者联立，解得x＝4，y＝4. ∴AG＝4 m. ∴AB＝AG＋GB＝4＋1.5≈8.4(m). ∴这棵树AB的高度约为8.4 m． 【例5】如图，海上有一小岛A，它的周围8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向，航行12 n mile到达点D，在点D测得 小岛A在北偏东30°方向， 如果渔船继续向正东方向 行驶，问是否有触礁的危 险？ 解：过点A作AC⊥BD交BD的延长线于点C. C 在Rt△ACD中，根据题意，得∠ADC＝60°，∠DAC＝30°， ∴∠BAD＝30°. 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝60°， ∴AD＝BD＝12 n mile. ∴AC＝AD·sin 60°＝6 n mile， ∵6＞8， ∴所以渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． C $