2.3 解直角三角形 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.3 解直角三角形 旧知回顾 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c. (1)Rt△ABC的三边之间有什么关系？ (2)Rt△ABC的锐角之间有什么关系？ 解：a2＋b2＝c2(勾股定理). 解：∠A＋∠B＝90°. (3)Rt△ABC的边和锐角之间有什么关系？ 解：sin A＝＝， cos A＝＝， tan A＝＝. 2．根据下列每一组条件，画直角三角形．你能画出多少个不同的直角三角形？ (1)斜边长为4 cm，一条直角边长为3 cm； (　　)个 (2)一个锐角为40°，它的邻边长为3 cm； (　　)个 1 1 (3)一个锐角为40°，它的对边长为3 cm； (　 　)个 (4)一个锐角为40°，斜边长为3 cm；(　 　)个 (5)一个锐角为40°，另一个锐角为50°. ( )个 1 1 无数 自学互研 知识模块一　解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c . 说一说 A B C a b c 1.直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 2.直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° A B C a b c 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ A B C a b c 解：sin A＝＝， cos A＝＝， tan A＝＝. 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 求∠B、b、c. 解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°. 因为tan B＝ 所以b= a·tan B=5·tan 60°=5 A B C a b c 30° 因为sin A＝ 因为＝ A B C a b c 30° 还可以用勾股定理求c. 在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边) ，就可以求出其余的 3 个未知元素. 像这样，由直角三角形中已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. A B C a b c 归纳总结 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， cos A= ，BC=5，试求 AB 的长. A B C 解：因为∠C=90°，cos A= ， 所以. 又AB2=AC2+BC2， 设AB=x，则AC= x. 所以AB的长为. 所以x²=（）²+5. 于是x²=×25. 因此x==. 在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素. 【例1】已知在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝3，∠A＝30°，求∠B，b，c. 解：∠B＝90°－30°＝60°， 由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形． b＝a·tan B＝3×＝9， c＝＝＝＝＝6. 【变例】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，a＝5，求∠B，b，c. 解：∵∠C＝90°，∠A＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝45°， ∴∠B＝∠A， ∴b＝a＝5， ∴c＝＝＝10. 知识模块二　已知两边解直角三角形 【例1】已知在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝6， b＝2，求∠A，∠B，c. 解：∵tan A＝=， ∴∠A＝60°. ∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∴c＝2b＝2×2＝4. 【变例】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2.解此直角三角形． 解：∵∠C＝90°，a＝，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝(2)2－()2＝2， ∴b＝(负值已舍去). ∵a＝， ∴cos B＝＝＝， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝90°－∠B＝60°. 随堂检测 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c. 解：∠A=90°－∠B=90°－45°= 45°. 所以 a = b = 3 cm. 因为sin A＝ 所以 C A B a c b 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， c=16cm，求a，b. 解：根据题意作Rt△ABC ， 因为sin A＝ 所以 a=c·sin A=16·sin30°=8 cm. 又因为cos A＝ 所以b=c·cos A=16·cos 30°=8. C A B a b c=16 3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a=6cm ，c=10cm，求b，∠A，∠B (可利用计算器求角度，精确到1°). 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知 所以 ∠A≈37°. 所以∠B=90°－∠A=90°－37°=53°. C A B a c b b= ==8. 因为sin A＝ 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B的 平分线BD的长为8，求这个三角形的三条边的长． 所以BC=BD·cos∠CBD=8×=, 解：如图所示，由题意可知： ∠CBD= ∠ABC= ×(90°－30°)=30° A 30° C B D 所以AB=2BC= ， 所以AC=AB·cos∠A= =12 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30° A 30° C B D 5. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C = 90°， AC=6，折叠该纸片，使点 C 落在AB边上的 D 点处，折痕 BE 与 AC 交于点 E，若 AD = BD，则折痕 BE的长为多少？ 解：因为△BDE是由△BCE翻折而成， 所以BC=BD，∠BDE=∠C=90°， 因为AD=BD， 所以AB=2BC，AE=BE， 所以∠A=30°， 在Rt△ABC中，AC=6， 所以BC=AC·tan30°=6×=2 因为BC=2+B 所以+, 解得x=4，即BE=4． 设BE=x，则CE=6-x， 在Rt△BCE中， 课堂小结 解直角三角形 由直角三角形中已知元素求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 两边：两直角边或斜边和一直角边 一边一角：一锐角个位斜边、一锐角个一直角边(邻边或对边) $