2.4 解直角三角形的应用（第3课时方位角问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用——方位角问题”，核心知识点为方位角概念及运用解直角三角形解决相关实际问题。课堂导入通过回顾直角三角形的勾股定理、两锐角互余及三角函数关系，搭建新旧知识桥梁，为方位角问题转化为解直角三角形提供学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，通过构造直角三角形培养几何直观（数学眼光），运用方程思想和三角函数推理发展推理能力（数学思维），总结解题流程提升数学表达（数学语言）。如例3求灯塔最短距离，设未知数列方程求解，帮助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 第3课时 方位角问题 2.4 解直角三角形的应用 导入新课 1、直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 2、直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° 3、直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 知二推一 cos A= sin A= tan A= 直角三角形中除了直角其它5个元素有什么关系呢？ A B C a b c 学 习 目 标 1 2 了解方位角的概念，能正确识别图形中的方位角 能运用解直角三角形的知识解决与方位角有关的实际问题，体会数形结合和方程思想（重难点） 从正北或者正南方向线与目标方向线所成的锐角α叫做方位角。(0°<α<90°)。 通常表达成： 北偏东 XX 度、北偏西 XX 度、 南偏东 XX 度、南偏西 XX 度． 新知探究 那什么是方位角呢？ 北偏东45° 南偏西30° 南偏东60° 南偏东45°：东南方向， 北偏东45°：东北方向， 北偏西45°：西北方向， 南偏西45°：西南方向. 例3 如图，一艘船以20km/h的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东45°方向上，继续航行 0.5 h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔 C 的 20km 内有礁．问这艘船继续向东航行是否安全？ 典例分析 A C B 45° 30° 北 东 这道题到底求什么呢？ 小组合作 问题1：如果这艘船航行到与灯塔最短的距离大于20km，是否安全？ 问题2：如果这艘船航行到与灯塔最短的距离小于20km，是否安全？等于20km呢？ 安全 不安全 求灯塔到航线的最短距离 D 过C点作垂线 解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km. 在Rt△ACD中， 因为 所以 同理，在Rt△BCD中， 因为 AB=AD－BD， 所以 解得x = . 又 因此，这艘船继续向东航行是安全的． A C D B 45° 30° 北 东 典例分析 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程 一般过程 图示 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 实际问题 数学问题(解直角三角形) 数学问题的解 实际问题的解 抽象 (转化) 求解 得到 得到 解决 新知探究 总结归纳 新知探究 总结归纳 方法总结： 解决与方位角有关的实际问题时： 必须在每个位置中心建立方向标 2.根据方位角标出图中已知角的度数 3.构造直角三角形（通常作垂线），将实际问题转化为解直角三角形问题 基础巩固题 新知应用 1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是(　　) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里 C 2海里 55° 55° ? 基础巩固题 新知应用 2．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，且CD＝6 km，则AB＝ ____km. 3 3．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行____分钟可使渔船到达离灯塔距离最近位置． 15 30° 6km E D 基础巩固题 新知应用 4.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(       ) A．10海里/小时  B．30海里/小时 C．20海里/小时  D．30海里/小时 D 20海里 ?海里 基础巩固题 新知应用 5.如图，小明一家自驾车到古镇游玩，到达 地后，导航显示车辆应 沿北偏西 方向行驶至地，再沿北偏东 方向行驶一段距离 到达古镇.小明发现古镇恰好在地的正北方向，他过点作 于点，则_____，_____，_____ . 基础巩固题 新知应用 6. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说 B 船在它的正东方向，C 船在它的北偏东60°方向；B船说C船在它的北偏西45°方向；C船说它到 A 船的距离比它到 B 船的距离远 40km. 求A，B两船的距离( 结果精确到0.1km). 东 60° 45° 北 B C A 解：作CD⊥AB于点D. 所以 由图易知∠CAB=30°， ∠CBA=45°. D 基础巩固题 新知应用 又 CA－CB=40， 东 60° 45° 北 B C A D 又因为 答：A，B两船的距离为186.2 km． 能力提升题 新知应用 7.如图所示,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时,测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东30°方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东70°方向航行20 n mile到达码头C.求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1 n mile.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈ 0.643,tan 50°≈1.192). 能力提升题 新知应用 解:如图所示,过点B作BD⊥AC于点D, 由题意,可知∠ABE=30°,∠BAC=30°, 则∠C=180°-30°-30°-70°=50°, 在Rt△BCD中,∠C=50°,BC=20 n mile, ∴BD=BCsin 50°≈20×0.766=15.32(n mile). 在Rt△ABD中,∠BAD=30°,BD≈15.32 n mile, ∴AB=2BD≈30.64≈30.6(n mile). 答:货轮从A到B航行的距离约为 30.6 n mile. 能力提升题 新知应用 8. 如图(a)，A，B和C是三个小岛.一艘船由A处出发向正东方向航行 4km 到达 B 处，然后向正北方向航行3 km到达 C 处. (1) 求由 A 处测得 C 处的方位角的大小(tan37°≈ 0.75，结果精确到1°). (2) 如图(b)，直升机由 C 处飞往 A 处，其飞行高度一直保持在海平面以上h km.当直升机飞到P处时，由P处测得C 处和 A 处的俯角分别是 48°和65°.已知 A，C，P 和海平面上一点M都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(tan48°≈1.11， tan65°≈2.14，结果精确到0.1km). C A B 北 3km (a) P A C M h 48° 65° (b) 能力提升题 新知应用 解：（1）在Rt△ABC中， 所以 ∠CAB ≈ 37°， 答：由 A 测得C的方位角的大小为北偏东53°. 90°－37°= 53°， C A B 北 3km (a) P A C M h 48° 65° (b) （2）由题意得，∠PAM=65°，∠PCM=48°， 在Rt△ABC中，因为AB=4 km，BC=3 km， 在Rt△APM中， 能力提升题 新知应用 P A C M h 48° 65° (b) 因为 AC = AM+CM， 即 5 = 0.47h+0.90h， 所以 h ≈ 3.6(km). 答： h 为 3.6 km. 在Rt△PCM中， 课堂小结 方位角问题 方位角的概念 运用解直角三角形解决方位角问题 必须在每个位置中心建立方向标 2.根据方位角标出图中已知角的度数 3.构造直角三角形（通常作垂线），将实际问题转化为解直角三角形问题 感谢聆听! $