精品解析：宁夏中卫市第一中学2026-2027学年第一学期9月份学情诊断评价高二数学(A卷)

中卫市第一中学2026-2027学年第一学期9月份学情诊断评价 高二数学（A卷） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的加法运算以及模长的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 2. 已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示，得，再解方程即可． 【详解】由题意得，解得． 故选：C． 4. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 5. 在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 6. 已知向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】夹角为锐角，则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 8. 在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 二、不定项选择题：本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 空间向量，若，则 B. 对空间中四点，若存在点，使，则四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 任意向量满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据向量数量积公式得到；B选项，由题目条件推出，从而四点共面；C选项，设，得到方程，方程无解，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】对于A选项，空间向量，若⊥，，夹角为， 则，故A正确； 对于B选项，若对空间中任意一点，有， 即， 所以，故， 则四点共面，故B正确； 对于C选项，是空间的一个基底，则不存在使得， 设，即，即，此等式不成立， 故不共面，则也是空间的一个基底，故C正确； 对于D选项，不妨设， 则， ， 此时，故D错误. 故选：ABC. 11. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:ACD． 12. 如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与所成角为30° C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间角的向量求法求解判断BD；利用空间距离的向量求法求解判断D. 【详解】取中点，连接，由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，设和所成角为，， 因此，B错误； 对于C，，设平面的法向量，则， 取，得，，点到平面的距离为，C正确； 对于D，令直线与平面所成角为，则，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 14. 的三个顶点分别是，，，则边上的高长为__________． 【答案】5 【解析】 【详解】分析：设，则的坐标，利用，求得，即可得到 ，即可求解的长度. 详解：设，则， 所以，因为， 所以，解得， 所以，所以. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 15. 在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可 【详解】解：在直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点， 所以, 所以 ， 所以, 故答案为： 【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题. 16. 已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. 【详解】因为点在直线上运动，所以存在实数使得， 所以，， 所以 ， 当且仅当时，上式取得最小值，此时点的坐标为． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，. （1）求的值； （2）若，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）根据向量坐标的线性运算计算和，利用即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以； 【小问2详解】 由（1）有，所以， ， 因为， 所以， 所以. 18. 已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面， 由于，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，要证明线面平行，可通过证明平面平面，进而证明结论. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，最后利用点到平面的距离公式求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则. 19. 某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图． （1）请估计参加高三数学模拟考试成绩的分位数； （2）用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个数据，求至少有个数据落在内的概率． 【答案】（1）134 （2） 【解析】 【分析】（1）使用频率分布直方图中百分位数的定义计算； （2）使用分层抽样的定义与古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由题意知，各组频率分别为 ， 故参加高三模拟考试的学生数学分数的分位数在这组内， 估计参加高三模拟考试的学生数学分数的分位数为：. 【小问2详解】 因为两组频率之比为， 由于采用分层随机抽样的方式在成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本， 所以需要在成绩落在这组抽取个， 记这个数据分别为；在成绩落在这组抽取个， 记这个数据分别为． 设事件“至少有个数据落在内”， 所以样本点一共有个，样本空间为： 事件包含其中的个样本点，记为： 所以． 20. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 21. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点． （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 【答案】（1）连接，如下图，因为，所以是等腰三角形， O为的中点，由等腰三角形三线合一的性质可知. 因为，所以， ， 在中，， 即是直角三角形，， 则有，，平面，且相交， 由线面垂直的判定定理可知平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证，由，可知，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则，最后由线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，写出三棱锥各点的坐标，分别求出平面和平面的一个法向量，已知二面角为，则可知两个法向量的夹角是或，利用向量的数量积求出点M的坐标，进而求出向量的模，即求出的长. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，，，. 则，设，，，，，. 设平面的一个法向量为，，则， 令，则有，， . 由（1）知，平面，则，则有平面，所以是平面的一个法向量， . ，，，由题设可知，则有，两边化简后平方，最后解出或（不符合，舍去）. 则，，即长为. 22. 如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】（1）是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，计算出的长后由勾股定理的逆定理得，再由线面垂直判定定理得证平面，从而可证得线线垂直； （2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，再求出，由直线与平面所成角正弦值等于与夹角的余弦值的绝对值求得正弦值，然后结合函数性质得最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2026-2027学年第一学期9月份学情诊断评价 高二数学（A卷） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 5. 在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择题：本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 空间向量，若，则 B. 对空间中四点，若存在点，使，则四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 任意向量满足 11. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线的距离是 12. 如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与所成角为30° C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量，，若，则________． 14. 的三个顶点分别是，，，则边上的高长为__________． 15. 在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________． 16. 已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，. （1）求的值； （2）若，求k的值. 18. 已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19. 某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图． （1）请估计参加高三数学模拟考试成绩的分位数； （2）用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个数据，求至少有个数据落在内的概率． 20. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 21. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点． （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 22. 如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $