4.5 二次函数的应用 专题12 二次函数与几何图形的综合-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦二次函数与几何图形的综合应用，涵盖面积计算、特殊三角形、特殊四边形三大类型问题，通过典例导入连接二次函数平移、顶点坐标等旧知，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于“典例+变式训练”搭配“学霸说”方法总结，以分类讨论（如等腰三角形腰的分类、菱形边与对角线的分类）培养数学思维中的推理意识，借助图形分析提升几何直观与空间观念。学生能深化知识综合应用能力，教师可直接利用系统资源高效开展专题教学。

2 第4章　二次函数 专题12　二次函数与几何图形的综合 3 典例1　若把二次函数y=a（x-4）2的图象向左平移6个单位长度后得到二次函数y=-3（x-h）2的图象，且二次函数y=a（x-4）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，二次函数y=-3（x-h）2的图象的顶点为M，则S△MAB=________. 类型1　与几何图形面积相关的问题 144 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 4 -2 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 5 1. 如图，二次函数y=a（x+2）2+3（a<0）的图象与y轴正半轴交于点A，过点A作AB⫽x轴交二次函数的图象于点B，对称轴交二次函数的图象于点M，交x轴于点N，连接MA，MB，NA，NB，求四边形ANBM的面积. 【变式训练】 解：由题意，得二次函数y=a（x+2）2+3的图象的顶点M的坐标为（−2，3）， 对称轴为直线x=−2，所以MN=3. 因为AB⫽x轴， 所以AB=2×2=4. 所以S四边形ANBM=AB·MN=×4×3=6. 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 6 典例2　如图，已知二次函数y=ax2+bx−3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是二次函数图象的顶点，对称轴与x轴交于点E. （1）求二次函数的表达式. （2）如图，点P是x轴上的动点，过点P作x轴的垂线分别交二次 函数的图象和直线BC于点F，G，连接CF，使△FCG是等腰三角 形，直接写出点P的横坐标. 类型2　与特殊三角形相关的问题 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 7 【规范解答】（1）将（1，0），（3，0）代入y=ax2+bx-3， 得 解得 所以二次函数的表达式为y=−x2+4x−3. （2）点P的横坐标为5或4或3+或3-. 提示：由（1）可知C（0，-3），易得直线BC的函数表达式为y=x-3. 设点P的横坐标为m，则F（m，−m2+4m−3），G（m，m−3）， 所以FG2=（−m2+4m−3−m+3）2=（m2−3m）2，FC2=（m2−4m）2+m2， GC2=2m2. 当FG=FC时，（m2−3m）2=（m2−4m）2+m2，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=4. 当FG=GC时，（m2−3m）2=2m2，解得m3=0（不合题意，舍去），m4=3+，m5=3-. 当FC=GC时，（m2−4m）2+m2=2m2，解得m6=0（不合题意，舍去），m7=5，m8=3（不合题意，舍去）. 综上所述，点P的横坐标为5或4或3+或3-. 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 3 FC GC GC 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 2. （永州宁远阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+x+c（c>0）的图象交y轴于点C. 点A为x轴负半轴上一点，过点A作AB⊥x轴交二次函数的图象于点B，当△ABC为等边三角形时，AB的长为________. 【变式训练】 2 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 10 典例3 　（湖南中考改编）如图，一次函数y=x-的图象与坐标轴交于点A，B，二次函数y=x2 +bx+c的图象过A，B两点. （1）求二次函数的表达式. （2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一 动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的 四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 类型3　与特殊四边形相关的问题 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 11 【规范解答】（1）对于y=x-，当x=0时，y=-；当y=0时，x-=0，解得x=3，所以A（3，0），B（0，）. 把A（3，0），B（0，）代入y=x2+bx+c，得 解得 所以二次函数的表达式为y=x2-x-. （2）存在. 由（1）知抛物线的对称轴为直线x==1，所以设P（1，p）， Q（m，n）. ①如图1，当BC为菱形对角线时. 因为点B，C关于对称轴对称， 且对称轴与x轴垂直，所以BC与对称轴垂直，且BC⫽x轴. 在菱形BQCP中， BC⊥PQ，所以PQ⊥x轴. 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 因为P（1，p），所以m=1，所以n=×12-×1-= -，所以点Q的坐标 为. ②如图2，3，当BC为菱形的一边时. 因为四边形BCQP（或四边形BCPQ）为菱形，所以BC⫽PQ，且BC=PQ. 因为点B关于对称轴x=1的对称点为点C，B（0， -），所以C（2，-）， 所以BC=2. 因为PB=BC=2，所以12+（p+）2=4，解得p1=0，p2=-2（不 合题意，舍去）. 所以P（1，0）. 因为PQ=BC=2，所以点Q的坐标为（-1，0） 或（3，0）. 把x=-1和x=3分别代入y=x2-x-，可以验证（-1，0）和 （3，0）均在抛物线上，符合题意. 综上所述，点Q的坐标为或 （3，0）或（-1，0）. 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 P Q 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 14 3. （永州阶段练习）将抛物线C1：y=−x2+沿x轴翻折，得到抛物线C2，如图所示. （1）请直接写出抛物线C2所对应的二次函数的表达式. （2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为点A，B. 将抛物线C2向右平移m个单位长度， 平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为点D， E. 在平移过程中，是否存在以A，N，E，M为顶点的四边形是矩形 的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练】 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 15 解：（1）由题意及翻折的性质可知，抛物线C2所对应的二次函数的表达式为y=x2−. （2）存在. 根据题意，得抛物线C1平移后得到的新抛物线所对应的二次函数的表达式为y=-（x+m）2+，抛物线C2平移后得到的新抛物线所对应的二次函数的表达式为y=（x-m）2-，所以M（−m，），N（m，−），A（−1−m，0），E（1+m，0），即点M，N关于原点O对称，点A，E关于原点O对称，所以OM=ON，OA=OE. 所以四边形ANEM为平行四边形. 因为AM2=（−m+1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（-）2=4m2+4m+4，AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，所以令AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，解得m=1， 此时△AME是直角三角形，即∠AME=90°，所以▱ANEM为矩形，所以当m=1时，以A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. 变1 典例2 变2 典例3 变3 典例1 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $