上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期第二次学科检测（12月）数学试卷

2025学年第一学期高二第二次学科检测（数学） 一、填空题 1. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 2. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 3. 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为______． 4. 已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 5. 把一个底面半径为4，高为的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为__________. 6. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 8. 已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 9. 已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是____________________.（写出一个满足条件的值即可） 10. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______． 11. 已知曲线，是曲线上任意一点，则的最大值为_____. 12. 已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为___________. 二、单选题 13. 已知，为两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 15. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18. 如图，在长方体中，已知. （1）证明:平面平面； （2）已知点是线段上的动点，求四面体的体积. 19. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 20. 已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）若点的坐标为，求 的面积； （3）证明：. 21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，求； （2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 2025学年第一学期高二第二次学科检测（数学） 一、填空题 【1题答案】 【答案】3 【2题答案】 【答案】16 【3题答案】 【答案】或 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】4 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】（答案不唯一） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、单选题 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1） （2），的最小值为 【18题答案】 【答案】（1） 在长方体中，， 所以底面是正方形，则 又因为平面，平面 所以 由于， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面 （2）2 【19题答案】 【答案】（1）； （2）或. 【20题答案】 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为 （2） （3）证明:设，过该点切线方程为， 则，可得， 联立方程，可得， 由，即，解得， 因为，所以， 由抛物线的定义知，， 所以. 【21题答案】 【答案】（1） （2），， （3） 证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程， 得到 ， 设，由韦达定理 ，所以， 代入，得到，所以， 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到， 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即， 点到直线的距离为 ， 所以的面积为. 因为点在椭圆上，所以， 所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $