第4章 4.2 二次函数的图象与性质-4.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册二次函数y=ax²的图象与性质，通过基础例题（如2026年长沙校级质检题）导入，衔接一次函数知识，以“刷基础-刷提升-刷易错”分层题目为支架，帮助学生逐步掌握开口方向、顶点、对称轴及增减性等核心内容。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观，如菱形与抛物线结合题）、数学思维（推理意识，如易错点分类讨论）和数学语言（模型观念，如格点问题坐标推导），通过各地质检真题和分层训练，培养学生抽象能力与创新意识。学生能夯实基础并提升综合解题能力，教师可直接利用丰富例题与分层资源优化教学。

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第4章 二次函数 4 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.1 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.二次函数 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 【解析】二次函数 的图象是一条过原点，且开口向上的抛物线，只有 A选项符合题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2026湖南长沙校级质检】对于函数 ，下列说法正确的是( ) C A. 的值总为正 B.图象开口向下 C.图象顶点为原点 D.随 的增大而增大 【解析】， 抛物线开口向上，顶点为原点，，当时，随 的增大而减小，当时，随 的增大而增大，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.【2025湖南常德期末】若点，，都在二次函数 图象上， 则( ) A A. B. C. D. 【解析】 二次函数的表达式为， 抛物线的开口向上，对称轴为 轴， 当时，随的增大而增大.又 点，， 都在二次函数 图象上，且， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2026湖南张家界校级期中】若二次函数有最小值，则 ____. 【解析】由函数是二次函数，且有最小值，可得 解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2 二次函数 的图象与性质 5.【2026湖南株洲质检】关于函数 ，下列说法正确的是( ) B A.无论取何值， B.其图象的对称轴是 轴 C.随 的增大而减小 D.其图象经过第二、四象限 【解析】A选项， 函数是二次函数，且， 抛物线开口向下， 顶点为， 无论取何值， ，故该选项不符合题意；B选项，函数 的图象的对称轴为轴，故该选项符合题意；C选项， 抛物线开口向 下，对称轴是轴， 当时，随的增大而增大，当时，随 的增大 而减小，故该选项不符合题意；D选项， 函数 的图象顶点为原点，且 开口向下， 其图象经过第三、四象限，故该选项不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 6.【2026江苏南京期中】有下列二次函数：； ； .在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排 列，正确的是( ) C A.①②③ B.①③② C.②③① D.②①③ 【解析】对于，；对于， ；对于 ，., 将它们的图象的开口按从大到小的顺序排列 为②③①.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 7.如图，边长为2的正方形 的中心为平面直角坐标系的原 点，轴，以为顶点且过,两点的抛物线与以 为顶点 且过, 两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分 的面积是___. 2 【解析】根据题图及抛物线、正方形的性质，可知 ．故答案为2． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 8.已知抛物线经过点 . （1）求此抛物线的表达式； 【解】将代入中，得，解得 ，所以抛物线的表达式 为 . （2）判断点 是否在此函数图象上； 【解】当时，，所以 不在此函数图象上. （3）写出这个二次函数的最大值或最小值； 【解】因为 ，所以函数图象开口向下，所以这个二次函数有最大值， 为0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （4）当时，随 的增大而怎样变化？ 【解】因为，所以函数图象开口向下，所以当时，随 的增大而 增大. 思路分析 判断点是否在函数图象上的方法 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 刷易错 易错点 对二次函数 的增减性把握不准而出错 9.已知二次函数 的图象在对称轴的某一侧函数值随自变量取值 的增大而减小，求 的值. 佳佳的解题过程如下：由题意可知 解得 .请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由,并给出正确 的解题过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 【解】佳佳的解题过程不正确.理由：少考虑了一种情况导致错误.正确的解题过 程如下：由题意可知且，解得或.当 时, 二次函数 的图象在对称轴的左侧部分，函数值随自变量取值的 增大而减小；当时,二次函数 的图象在对称轴的右侧部 分，函数值随自变量取值的增大而减小. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 易错警示 二次函数的图象是一条抛物线，当 时，抛物线的开口向下，对称轴是 轴，顶点是原点,抛物线左升右降，即图象在对称轴左侧的部分，函数值随自变量 取值的增大而增大，图象在对称轴右侧的部分，函数值随自变量取值的增大而减小； 当时，抛物线的开口向上，对称轴是 轴，顶点是原点，抛物线左降右升，即 图象在对称轴左侧的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，图象在对称轴右侧 的部分，函数值随自变量取值的增大而增大.本题需要考虑这两种情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.【2025河南新乡质检，中】已知关于的二次函数 ，若在其图象的对 称轴左侧，随 的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是( ) A A. B. C. D. 【解析】是二次函数，，解得. 在函数图象的 对称轴左侧，随的增大而增大， 抛物线开口向下，， ，即 .当时，，故不在其图象上， 在其图 象上；当时，，故在其图象上；当时， ，故 在其图象上.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2.【2026浙江杭州期中，中】已知函数 若， ， 则下列说法正确的是( ) C A.当时，有最小值 B.当时， 无最大值 C.当时，有最小值 D.当时， 有最大值 【解析】函数图象如图. 由图可知，当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大.当时，， ，当 时，， ， .当的值越小时， 的值越小，且无 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 限接近0，但不等于0，即没有最小值.当时，， ，当 时，.当时，，当时， ，则当 ，时，的值最大，为.综上,当时， 有最大值，无最小值，故选项A、B错误.当时，， ，当 时，， 当 的值越小 时，的值越大，即没有最大值.当时，， ，当 时，.当时，，当 时，当 和的函数值相同时，的值最小.综上，当时， 有 最小值，无最大值,故选项C正确，选项D错误.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.【2025湖南娄底期中，中】如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分 别为，，若抛物线与线段有交点，则 的取值范围是_____ ______. 【解析】当抛物线经过点时，，解得;当抛物线经过 点时， ，解得，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 4.［较难］已知的三个顶点为，，，将 向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在二次函数 的 图象上，则 的值为_________. 1或2或3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】的三个顶点为，，， 边的中点 的坐标为，边的中点的坐标为，边的中点的坐标为 将向右平移个单位，边的中点平移后的坐标为 ， 边的中点平移后的坐标为， 边的中点平移后的坐标为 二次函数的图象除顶点外都在 轴的下方，点 在轴的上方，边的中点不可能在二次函数 的图象上.把 代入，得，解得 .把 代入，得，解得，， 的值为1或2或3，故答案为1或2或3． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 5.【2025湖南株洲质检，中】在平面直角坐标系中，已知点在 轴正半轴上. 图（1） （1）如图（1），已知菱形的顶点，， 在二次函数 的图象上，且轴，求菱形 的边长. 【解】设交轴于点，菱形的边长为 ，则 .由题意可知,关于 轴对称， ,,, ， ，.把代入 ， 得 ，解得或（舍去）， 菱形 的边 长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （2）如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数 的图象上，点 ，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为， ，探究 是否为定值.如果是，求出这个值;如果不是，请说明理由. 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解】为定值.过点作轴于点，过点作 轴 于点，如图所示. 点，的横坐标分别为，，正方形 的顶点，在二次函数的图象上，, ， ,,, 四边形 是正方形， , ， ， ，,, , ， , 点，在 轴的同侧， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 刷素养 走向重高 6.思想方法 分类讨论 ［难］在平面直角坐标系 中，直线 与轴交于点，与抛物线交于， 两点 （在 的左边）. 图（1） 图（2） （1）求 点的坐标； 【解】对于，令，得，点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）如图（1），若点关于轴的对称点为点，当以点，， 为顶点的三角 形是直角三角形时，求实数 的值； 【解】联立得解得或2，，点关于 轴 的对称点为点，， ， ， .若 ，则 ， 即，（负值已舍去）；若 ， 则，即， （负值已舍 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 去）；若 ，则 ，即 ，此方程无实数根. 综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 ，等均为格点.如图（2），直线与抛物线 所围成的封闭图形即阴影 部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 【解】由（2）知点，， 直线 与抛物线 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在 轴 和直线上，如图.设直线与轴交于点，令 ， 则，.设直线 分别与抛物 线和直线交于点， ， 则，， 格点数恰好是26个， 落在 轴和直线 上的格点数各为13个， 点的纵坐标应满足，即 . ①当，即时，线段上的格点为，， ， ，，，当，即 ， 时，线段上的格点数正好为13个.综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 $