4.3 二次函数的表达式的求法课件--2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的求法，涵盖顶点式、一般式、交点法三种核心方法。课堂导入通过回顾一次函数待定系数法，提出“如何确定二次函数表达式”的问题，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于采用探究式教学，通过三个探究活动引导学生推理不同条件下表达式的求法，步骤明确且例题练习结合。培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和模型意识，如用交点式解决与x轴交点问题。帮助学生结构化掌握知识，提升解题能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富素材。

4.3 二次函数的表达式的求法 1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？ 2 个（k和b） 2 个 待定系数法 (1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程（组） (4) 还原：写表达式 思考：如何才能确定一个二次函数的表达式呢？ 探究1 顶点式法求二次函数的表达式 能，因为把顶点坐标代入顶点式，就只剩a一个待定系数，代入另外一点刚好可以求出a的值. 活动：已知二次函数图象的顶点坐标是(-1，-6)，并且图象经过点（2,3).思考并回答下列问题. 问题1：二次函数y=ax²+bx+c如何变为顶点式？顶点坐标是什么？ 通过配方可化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标是(h,k). 问题2：已知顶点坐标和图象上另一点的坐标，能确定函数表达式吗？为什么？ 问题3：求这个二次函数的表达式. 解：因为二次函数图象的顶点坐标是(-1，-6), 所以可设该二次函数的表达式为y=a(x+1)2-6(a为常数，a≠0). 又因为图象经过点(2,3)，将该点的坐标代入上式，得 3=a(2+1)2 – 6， 解得a=1. 因此，所求二次函数的表达式是y=(x+1)2 −6. 这种已知抛物线的顶点坐标和另一点，求表达式的方法叫做顶点法. 顶点法求二次函数表达式的一般步骤： ①设函数表达式是 y = a(x - h)2 + k； ②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 一个二次函数的图象经点 ( 0， 1)，它的顶点坐标为( 8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为( 8，9)， 因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又由于它的图象经过点(0 ，1)，可得 1 = a(0 -8)2 + 9，解得 故所求的二次函数的表达式是 探究2 一般式法求二次函数的表达式 活动：我们知道一次函数需要两个点利用待定系数法就能求出函数表达式，那么二次函数图象上的三个点能否求出表达式，完成下列题目并尝试归纳其解题步骤. 问题：一个二次函数的图象经过 (0， 1)、( 2，4)、( 3，10) 三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c， 由于这个函数经过点 ( 0， 1)，可得 c =1. 又由于其图象经过 ( 2，4)、( 3，10) 两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 一般式法求二次函数表达式的一般步骤： ① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式. 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ （1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）； 解：（1）设二次函数 y = ax2+bx+c（a,b,c为常数,a ≠ 0）的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c= -5， a - b+ c = 3， 4a + 2b+c = -3， 解得 a = 2，b = -4，c = -3. 因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. （2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）. (2) 设二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组： a + b + c = -5， a - b + c = 3， 4a + 2b + c = -9， 解得 a =0，b = -4，c = -1. 由于a =0，因而不存在一个二次函数，其图象能经过 P，Q，M 三点. 思考：通过这两个问题，你能得到什么结论？ ①若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点. ②二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 探究3 交点法求二次函数的表达式 活动：选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， ∴可设其表达式为 y = a(x + 3)(x + 1). 代入点 (0，-3)，得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 解得 a = -1. ∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 -3 1 这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 交点法求二次函数表达式的一般步骤： ① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 写出表达式，并化为一般式. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A (－1，0)，B (1，0)，且过点 M (0，1)，求此抛物线的表达式． 解：由于点 A(－1，0)，B (1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， 故可设该抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1). 又因为抛物线过点 M (0，1)， ∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1. ∴所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1. ③已知三点坐标 ①已知顶点坐标或对称轴或最值 ②已知抛物线与x 轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2 + bx + c 用顶点法：y = a(x - h)2 + k 用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 1. 已知二次函数的图象过 ，， 三点， 那么它的对称轴是直线( ) A. B. C. D. D B 2.有一个二次函数，已知其图象过(2，0)，(5，0)两点，且与y＝2x2的形状 一致，那么该二次函数的表达式为(　 　) A．y＝x2＋14x＋10 B．y＝2x2－14x＋20 C．y＝2x2＋14x＋20 D．y＝x2－14x＋10 随堂小练 3.已知某二次函数的部分图象如图所示，若，则 的取值范围 为____________，其函数表达式为________________. 4. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)，求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c. 依题意得 ∴ 这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a－b＋c＝－5， 解得 b＝3， c＝－4. a＝2， 5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c 得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3. ∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5. ∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5. (2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称. ∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. 易得点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28. $