专题03 有理数的运算（期中专项训练）七年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03有理数的运算 题型图谱导航总览 题型1有理数加减的混合运算（重点） 基础固本强基 题型2有理数乘除的混合运算（重点） 题型3含乘方的有理数混合运算（重点） 提升进阶突破 题型4有理数混合运算错解复原问题（难点） 题型5程序流程图与有理数的计算（高频） 题型6算“24”点（重点） 拔高压轴破难 题型7混合运算中的新定义问题（重难点） 题型8有理数运算中规律性探究问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1有理数加减的混合运算（共5小题) 1.计算： (012--18+-7-20 a061-2410-号25 2.用简便方法计算： 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)0.85+0.75- +221.B5143: e++号}+1o吃-o.2-+1o-5 3.计算： w56-号 ②-1-1-0.51×3×1-5 4.计算： 0246号-6 @-345-74-2x号 题型2有理数乘除的混合运算（共5小题） 6.可可在计算-6+■时，由于不小心，后面的加数被墨水污染. (1)可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将-6后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为一2，则被墨水污 染的这个数为 (2)请你正确计算此题，结果为 7.小明做了如下一道有理数混合运算的题目： 3222n1a-g2 ()请把小明第一步计算中错误的地方用一部运算的方式摘抄下来，并写出错误的原因. (2)请给出这道题的正确解答！ 8.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进 2/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示： 老师 佳佳 -52+20÷(-4)-7×(-2) 25+20-(-4)-7×(-8) 琪琪 明明 76 25-5+56 (1)接力中，计算错误的学生是 ； (2)请给出正确的计算过程. 9.观察下列等式 x2111111e11 2’2×3233×434 将以上三个等式两边分别相加得： 11 +1=1- 1×22×33×4 1 (1)猜想并写出： nn+1、: (2)直接写出下列各式的计算结果： 1×22×33×4 2020×2021-: 1 1 ,1一十+ 1 1x2*2x33x4*nxn+1 (3)探究并计算： 1+11 1×44×77×10 2017×2020 10.计算：-6+-2+13号 提升进阶突破 题型3含乘方的有理数混合运算（共5小题） 11.计算下列各式. (0012+-18--7-20 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24-16 12.计算： (0012--5+-73 @-3号+125+-16251 13.计算： -3星0.75×-2兮9， a50个2 ⑧ 14.计算： 023ex到 a3号6a 15.计第：3×2 题型4有理数混合运算错解复原问题（共5小题） 16.计算 (0-40-28--19+-24 ②2x-32-4×1-3-15 17.计算：-1-1-0.5×左×2+-3 18.计算：-15+36×日5+0,75 96 19.计算： 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a6x个-6r- ②-1-1-05×号×1-5 20.下面是两位同学有理数运算的过程： 琪琪： 嘉嘉：+3+-9+-3 =+3+-3+-9引…步骤一 -168✉8 =+3+-3+-g…步骤二 16个 =0+-9…步骤 ② 三 =-16÷1 =一9…步骤 ③ 四 =-16. ④ (1)嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是 琪琪是从第 (填序号)步开始出现错 误的： (2)请你对琪琪的原算式重新进行正确计算. 拔高压轴破难 题型5程序流程图与有理数的计算（共5小题） 21.在一次数学课上，小明学习了有理数的混合运算，回家后，他拿出笔记本复习，发现这样一道计算题： 3+÷-23×-7 “■”处的数字被钢笔水污染了，小明查看计算用的草稿，发现他在计算时误把除以 -23,抄成了乘以-23， 得到的结果是35. (①)请计算出“”处的数字. (2)请计算出这道题的正确结果. 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22. 根据下列运算程序，若输入x=1,则输出的结果为() 输入x一 ×3→()→平方输出 A.4 B.2 C.-2 D.-4 23.小贤设计如图所示的程序，若a=-b=-3,则输出的结果为 输入a,b a>b 输出 否 > 24. 如图是一个数值转换机，若输入的数x为一3，则输出的数是 输入x ×(-3) -8 >0 输出 否 25.如图，把=-2，b=5分别输入数值转换器，则输出的结果是 输入a 输入b 平方 平方 相加 +2ab 输出①入 题型6算“24"点（共5小题） 26.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结 果为5，…，则第2024次输出的结果为· x为偶数 输入x 输出 x为奇数 x+3 27.“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可 以添加括号，使其运算结果等于24.现有3，-3,5,9，列出一个求“24点”的算式是·（写出一个即 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可) 28. 你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混 合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号)，使运算结果为24或一24，其中红色（红桃、 方块)扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J,Q,K,A分别代表11,12,13,1，小 明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：7×3+3÷7=24.如果抽到的是 黑桃A,方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或-24的其中一种方法： 29.小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并 完成下列问题： 3 24 (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子.（写出一种即可） 30.如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题. +1 -3 -1 +5 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值： (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值： (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次）， 请写出一种符合要求的运算式子. 题型7混合运算中的新定义问题（共5小题） 31.小徽有5张卡片，分别写有数字-9，-5,4,7,2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题， (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结 果为24，请写出其中一种算式： (②)()若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (i)若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 32.探究规律，完成相关题目，定义“”运算： +2*+4=+22+42 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4*-7=+-42+-721 -2*+4=--22++4 +5*(-7=-+52+-72 0*-5=-5)*0=-52 +3)*0=03=+32: 0*0=02+0=0: (①)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得_，异号得_（填“正”或“负”），并把两数的_相加 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的_· (2②)计算：+1*0-2川 (3)是否存在有理数m,,使得m-1*n+2=0?若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由， 3.定义一种新运算“，规定：x·y=X2-2Xy例如，3*5=32-2x3×5=-21求：2·-17升 34.定义新运算：a⑧b=a2-ab,则2⑧3= 35.定义新运算：m☆n=m2-2mn,例如：2女3=22-2×2×3=-8，则-1☆4=一 题型8有理数运算中规律性探究问题（共3小题） 36.在实数范围内定义一种新运算“@”，其运算规则为：a@b=1-ab,如：2@5=1-2×5=-9，则 2027 22026 1 @- 2 的值为() 思方 2 C. D. 37.阅读材料，根据材料回答： 例1：1-213×33=-2x-2×-2×3×3x3 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =|-2x3×-2x3×-2x3 =-2x33=-63=-216 例2：8×0.1256=8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125 =8×0.125×8×0.125×8×0.125×8×0.125×8×0.125×8×0.125 =8×0.125)6=1 (①)由上面的材料可总结出一个规律： (用字母表示)a”·b”= (2)仿照上面材料或规律计算： 12024 5 312025 6)根据(1)的规律计算：-043×3×号。 38.观察下列等式： 1=1 11_111_11 1×2 2,2x323'3x434 将以上三个等式两边分别相加得：。++，=1-1+-1+-1-11=3 1×22×33×4 22334 44 归纳猜想计算： nn+1 :1x22x33×4nn+1 利用上述结论，解决以下问题： (1)初步应用 ①把片拆成两个分子为1的真分数之差，即后一 6 ②2 2 2 1×22×33×41 9×10 ②深入探究：定义“◆”是一种新的运算，若1◆2号+，◆3=+十 262 61220 203042+56’则片◆9计算的结果是 3 (3)拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图)，在每个分点标上质数k,记2个数的和为：第二次将 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两数和的， 记4个数的和为a2;第三次将四个 圆分成名圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 记8个数的和为a:第四次将八个}圆分 成6圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的。记16个数的和为凡：…如此进行n次 4 (用含k、n的代数式表示)； @,0,号6日片的 k 10/10专题03 有理数的运算 基础·固本强基 题型1 有理数加减的混合运算（重点） 题型2 有理数乘除的混合运算（重点） 提升·进阶突破 题型3 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型4 有理数混合运算错解复原问题（难点） 拔高·压轴破难 题型5 程序流程图与有理数的计算（高频） 题型6 算“24”点（重点） 题型7 混合运算中的新定义问题（重难点） 题型8 有理数运算中规律性探究问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数加减的混合运算（共5小题） 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则，运算律计算即可； （2）把小数统一到分数上，再根据有理数加减混合运算法则，运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．计算： （1）； ②． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查有理数的计算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减法即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后算加减， 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．计算∶ (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先利用乘法分配律计算乘法，减法化为加法，再计算加法； （2）先计算乘方，绝对值，乘除法，再计算加减法 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 5．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 题型2 有理数乘除的混合运算（共5小题） 6．可可在计算时，由于不小心，后面的加数被墨水污染． (1)可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为，则被墨水污染的这个数为______． (2)请你正确计算此题，结果为______． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法以及有理数的乘除法． （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入加法算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）解：由题意得：被墨水污染的减数为：； （2）解：． 7．小明做了如下一道有理数混合运算的题目： (1)请把小明第一步计算中错误的地方用一部运算的方式摘抄下来，并写出错误的原因． (2)请给出这道题的正确解答． 【答案】(1)，丢了负号 (2) 【分析】（1）根据有理数的乘方，即，可得答案； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴原式错误的地方为，错误的原因是丢了负号； （2） ． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生是______； (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)佳佳 ； (2) 原式 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：由计算过程可知，佳佳的计算错误． 故答案为：佳佳； （2）解：略． 9．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据题意猜想得到结论，写出即可； （2）①②利用得出的拆项法化简各式，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1） ， ， ， ； 故答案为：； （2）① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，根据题中的等式得出相应的规律是解本题的关键． 10．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则，结合加法运算律计算，即可得答案． 【详解】解： ． 提升·进阶突破 题型3 含乘方的有理数混合运算（共5小题） 11．计算下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 （1）先算乘除，再算加减即可； （2）将除法化为乘法，然后利用乘法分配律展开并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 15．计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型4 有理数混合运算错解复原问题（共5小题） 16．计算 (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，明确运算顺序是解决问题的关键． （1）将减法转化为加法，写成省略括号和加号的形式，再按照从左到右的顺序计算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 17．计算： 【答案】 【详解】 ． 18．计算： 【答案】0 【详解】解： ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将带分数转化为假分数，分别计算两个乘法项，再算加法即可； （2）先算乘方、绝对值、括号内运算，再算乘法，最后进行减法计算． 【详解】（1）解： （2）解： 20．下面是两位同学有理数运算的过程： 嘉嘉： ……步骤一 ……步骤二 …………………步骤三 ………………………步骤四 琪琪： ………① …………② ………………………③ …………………………④ (1)嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪是从第________（填序号）步开始出现错误的； (2)请你对琪琪的原算式重新进行正确计算． 【答案】(1)加法交换律；② (2) 解： ． 【分析】本题考查了有理数的加法交换律、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）根据有理数的加法交换律即可得；琪琪正确的运算顺序是：先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法，由此即可得； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法即可得． 【详解】（1）解：嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是加法交换律； 琪琪正确的运算顺序是：先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法， 所以琪琪是从第②步开始出现错误的， 故答案为：加法交换律；②． （2）略 拔高·压轴破难 题型5 程序流程图与有理数的计算（共5小题） 21．在一次数学课上，小明学习了有理数的混合运算，回家后，他拿出笔记本复习，发现这样一道计算题：，“”处的数字被钢笔水污染了，小明查看计算用的草稿，发现他在计算时误把除以，抄成了乘以，得到的结果是35． (1)请计算出“”处的数字． (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)28 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 22．根据下列运算程序，若输入，则输出的结果为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解： . 23．小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方及程序框图，由，判断的关系，再代入计算输出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 24．如图是一个数值转换机，若输入的数x为，则输出的数是_____ ． 【答案】7 【详解】 解：由图可得， 当时，， ， ， ∴输出的结果为7． 25．如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 题型6 算“24”点（共5小题） 26．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，…，则第2024次输出的结果为___． 【答案】2 【分析】观察运算程序的结果发现，从第四次输出结果开始，每三次循环一次，依次为4、2、1，即可得解． 【详解】解：开始输入的值为7， 则第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， …… 观察发现，从第四次输出结果开始，每三次循环一次，依次为4、2、1， ， 第2024次输出的结果为2． 27．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 28．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 29．小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 30．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1)； (2)； (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； （2）解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； （3）解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 题型7 混合运算中的新定义问题（共5小题） 31．小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（i）抽取数字以及数字，最小值是．（ii）抽取数字以及数字，最大值是45， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）（i）根据2张卡片上的数字的差最小，则拿出最大的数为，拿出最小的数为，把最小的数减去最大的数，即可作答． （ii）根据2张卡片上的数字的积最大，则抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，所以抽取数字以及数字，运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 32．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 正；负；平方；平方 (2) (3) 存在，， 【分析】 （1）根据题干信息进行总结； （2）按照题干的运算法则，先计算的结果，结果为4，再根据同样的运算法则计算即可； （3）两个数的平方和为0，则这两个数都为0，即可计算出m，n的值． 【详解】（1） 解：略 （2） ； （3） 存在有理数m，n，使得； ； ， ，； 解得：，． 33．定义一种新运算“*”，规定：．例如，．求：． 【答案】 【分析】根据新运算的规定代入计算即可．注意先算括号里面的． 【详解】解：∵， ∴ ． 34．定义新运算：，则_____． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 35．定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 题型8 有理数运算中规律性探究问题（共3小题） 36．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 37．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 38．观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：． 归纳猜想计算：______；______． 利用上述结论，解决以下问题： (1)初步应用 ①把拆成两个分子为1的真分数之差，即______； ②______； (2)深入探究：定义“◆”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_____． (3)拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两数和的，记4个数的和为；第三次将四个圆分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记个数的和为；……如此进行了次． ①=__________（用含k、n的代数式表示）； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】归纳猜想：， ； （1）按照猜想归纳的结果计算即可； （2）寻找等号左边与右边的联系，，共有两项相加，分母是连续整数的乘积，，共有三项相加，首项分母是，，共有四项相加，首项分母是，根据这个规律可知，； （3）根据题意得到，，，，探索规律求出，求出k的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：①，，，， ，，，， 由此归纳可知：， ②， ， ， 是质数， ， 解得：， 将代入得， ， ． $