专题06 整式加减的应用问题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06整式加减的应用问题 题型图谱导航总览 题型1图形周长面积问题（重点） 基础固本强基 题型2数字问题（难点） 题型3新定义型问题（难点） 提升进阶突破 题型4方案问题（高频） 题型5日历问题（重点） 题型6无关型问题（难点） 拔高压轴破难 题型7顺水逆水问题（重点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1图形周长面积问题（共5小题） 1.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1)和 两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在 大长方形中.下列说法正确的是() 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 10 A 图1 图2 ①大长方形的长是m+4n;②阴影A的面积是10m-3mn: ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关：④阴影B的面积是40n-4m. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 2.(25-26七年级上·福建福州·期中)从一张大长方形纸片中剪去一个小长方形，剩下纸片的尺寸如图所 示. x-2 x+2 (1)根据图中数据，用含x的代数式表示图中的阴影部分面积S; (2)当x=8时，求阴影部分面积 3.(25-26七年级上河北沧州期中)三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形ABCD中，将图中 的两个空白小长方形分别记为S1、S2各长方形中长与宽的数据如图所示.则以下结论：①小长方形S1的 周长为a+m-b;②只需知道a和m的值，即可求出S1与S2的周长和.下列判断正确的是() B S 下a 2 S2 6 的 D m A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错 4.(25-26七年级上·陕西咸阳·期中)如图，长方形ABCD是一个花园的示意图，阴影部分种向日葵，其 他部分种月季花，其中花园的长为am,宽为5m. 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F b E B (1)用含α和b的代数式表示种月季花部分的面积： (2)若a=10,b=3,种向日葵的费用为每平方米80元，求种向日葵需要的费用. 5.(25-26七年级上·河南周口·期中)如图，用代数式表示下列阴影部分的面积，并求当=3cm, b=2cm时阴影部分的面积. -a- （1) (2) 题型2数字问题（共5小题） 6.(25-26七年级上·福建漳州期中)已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是b,个位数字是c, 交换百位数字与个位数字得到新的三位数 (I)求这两个三位数的和（用含a,b,c的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除， 7.(25-26七年级上·福建泉州期中)(1)设abcd是一个四位数，如果a+b+c+d可以被9整除，那么这 个数可以被9整除.为什么？ (2)设abcd是一个四位数，如果a+c=b+d,那么这个数一定是11的倍数.为什么？ (3)设abc是一个三位数，并且a=c,若这个三位数减去各数位上数字之和，所得的差能被l1整除，求 满足条件的三位数。 8.(25-26七年级上·吉林长春·期中)小学已经学过自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位 之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.在课堂中，同学们完成了三位数被3整除规律的证明， 证明过程如下： 设一个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,且这个三位数记为abc, abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c)=333a+3b+a+b+c, 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中333a+3b能被3整除， 所以，只要a+b+c能被3整除，那么abc就能被3整除， 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位数， 如182,364,576，…等，她发现了如下特征： 182能被7整除，则有18-2×2=14,14能被7整除： 364能被7整除，则有36-4×2=28,28能被7整除： 576不能被7整除，则有57-6×2=45,45不能被7整除： (1)类比例子中的特征，下列能被7整除的是： ①371：②457：③756. (2)小颖根据以上探究过程，猜想：一个三位数记为bc,如果 可以被7整除，那么abc就能被7整除 (请用含a、b、c的代数式表示)； (3)若三位数6m3能被7整除，直接写出m的值. 9.(25-26七年级上江苏南通·期中)【回顾书本】 在小学，我们知道像12,27,36,45,108，…这样的自然数能被3整除.一般地，如果一个自然数所有 数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.事实上，我们可以证明这个结论的正确性， 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为b,于是 ab=10a+b=9a+a+b, 显然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+a+b就能被3整除.即：ab能被3整除. 【类比证明】 (1)小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除 在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9 整除”的观点 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确. 【简单运用】 (2)当五位数10a5b能被9整除，求代数式a+b的值： 【拓展提升】 (3)①若两位数b能被11整除，则a,b满足的条件 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若三位数abc能被11整除，则a,b,c满足的条件： ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律. 提升进阶突破 题型3新定义型问题（共5小题） 10.(25-26七年级上·福建宁德·期中)(1)任意写一个两位数P,个位数字是ā，十位数字是b.交换这 个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数Q,请用含a,b的代数式表示P+Q,并说明P+Q 能否被11整除： (2)任意写一个三位数X,个位数字是，十位数字是b,百位数字是C.交换百位数字和个位数字的位置， 得到一个新的三位数Y,请用含a,b,c的代数式表示Y-X,并说明Y-X能否被99整除. 11.（25-26七年级上四川眉山期中)阅读材料： 若数对a,b是使得3a+b=10成立的一对数或整式，则数对a,b为和谐数对.如数对1,7，因为 3×1+7=10.所以数对1,7是和谐数对. 解决问题： (1)判断下列数对是否是“和谐数对”：（填“√”或者“×”） ①3,1止：®2m-1,-6m-13 (②已知数对a2-2ab+1,M是和谐数对，求M (3)已知x,y是和谐数对，求出43x+y-15x-5y+6的值 12.(25-26七年级上·安徽宿州期中)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数 字，则这个三位数叫做“皖韵数”，例如三位数352，因为5-2=3，所以它是“皖韵数”.设一个“皖韵 数”的百位、十位、个位数字分别为x,y,z (1)写出x与y,z之间的等量关系式： (2)若一个三位数3m4是“皖韵数”，求的值： (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由. l3.(25-26七年级上·重庆期中)一个四位自然数M=bcd,其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字 与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记FM=ab+cd,例如：四位数6193，因为 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6=2×3,1+9=10,所以6193是“倍和数”，F6193=61+93=154;四位数8154，.8=2×4,1+5≠10 ,所以8154不是“倍和数” (1)请判断6423,4552是否是“倍和数”，并说明理由： (2)若N是“倍和数”，FN的两倍与N的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数. 14.(25-26七年级上·四川成都期中)如果一个四位自然数bcd的各个数位上的数字互不相等且均不为 0,满足b-bc=bc-cd,那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∴.97-75=75-53， ∴.9753是“等差递减数”：又如四位数5681，，56-68≠68-81，.5681不是“等差递减数”，则最小的 “等差递减数”为一：对一个“等差递减数”M=abcd,记M=acdb,M=dbac,FM=M-M 99 若b+FM=28,则满足条件的M最大值为 15.(25-26七年级上·河南郑州·期中)定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数 字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”. 【理解定义】 四位数2651是否为“团结数”？ (填“是”或“否”) 【建模推理】 (1)设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为4，b,c,d,请用含b、c的代数式来 表示d: (2)任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 题型4方案问题（共5小题） 16.(25-26七年级上·重庆期中)为落实“五育并举”教育理念，学校为我们初一年级打造了“开心农 场”劳动实践基地.某班准备购买一些花卉和绿植来美化农场，已知花卉每株25元，绿植每株10元.计 划购买株花卉和b株绿植，并且绿植要比花卉多（即b>a),甲同学建议去学校附近的“熊奶奶的花园” 购买，那里所有商品都打六折；乙同学建议在网上商城购买，网上商城的优惠方式是：每株绿植的价格保 持不变，每株花卉便宜5元，且买一株花卉送一株绿植. 请解决以下问题： (1)请用含、b的代数式分别表示按甲、乙两位同学的建议购买需要付多少钱？ (2)如果该班要买15株花卉和20株绿植，请计算哪位同学的方案更省钱？ 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26七年级上·湖南衡阳·期中)某书店推出名著阅读促销活动，《西游记》每套定价80元，《水 浒传》每套定价60元，活动期间提供两种优惠方案： 方案一：买一套《西游记》送一套《水浒传》： 方案二：《西游记》和《水浒传》都按定价的85%付款. 现某学校要购买《西游记》10套，《水浒传》x套x>10: (1)分别用含x的代数式表示两种方案所需费用： (2)当x=20时，选择哪种方案更省钱？说明理由 18.（25-26七年级上·福建龙岩·期中)学校为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍， 通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球 每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙 店全部按定价的9折优惠.现学校急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）· (1)请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用为 元：去乙店购买所需的费用为 元 (2)当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算； (3)当购买40盒乒乓球时，综合两家商店的优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗，并计算需付款 多少元？ 19.(25-26七年级上江西上饶·期中)根据以下素材，探索完成任务. 素材1：某文具店销 售两种笔记本，A种 笔记本每本定价15 元，B种笔记本每本 素材2：学校计划购 定价8元，该文具店 买A种笔记本200本 在双十一活动期间， 和B种笔记本本( 向学校提供两种优惠 m>200) 方案： 方案一：每买一本A 种笔记本就赠送一本 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B种笔记本： 方案二：A、B两种笔 记本都按定价的85% 付款. 问题解决 【任务1】(1)请用含m的代数式分别表示 出两种方案的费用。 【任务2】(2)若m=400,分别计算两种方 案的费用. 【任务3】(3)在(2)的条件下，如果两种 方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省 钱的方案，并计算费用。 20.（24-25七年级上·广东东莞·期中)某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒 乓球每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案. 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款 某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒(x>20且为整数)， (1)用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？ (2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较合算. 题型5日历问题（共5小题） 21.(25-26七年级上·广东江门期中)观察某月日历，设十字框中间的数为，回答下列问题： 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 日 一 二 三 四 五 六 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)求带阴影的十字框中的5个数的和是多少？ (2)在该月的月历上用该十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由，如果能， 请求出十字框中间的数。 22.(25-26七年级上河南郑州期中)如图是2025年11月的日历图，“U形框”中7个数的和不可能是 () 星期日星期 星期二星期三 星期四星期五 星期六 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A.98 B.133 C.105 D.125 23.(25-26七年级上江苏徐州·期中)如图是某个月份的月历表，任意圈出月历表中一竖列或一斜排中相 邻的三个数，这三个数的和不可能是() 日 二 三 四 五 六 1 2 3 4 U 6 > 马 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A.72 B.30 C.27 D.50 24.(25-26七年级上·山东临沂·期中)如图是2025年10月的月历，在可框区域用正方形任意框出四个数， 若其中最小的数为a,则这四个数的和为 (用含a的代数式表示). October MON TUE WED THU FRI SAT SUN 1 23 45 国庆节十一十二十三十四 6 7 8 910 11 12 中秋十大 寒露十八十九二十廿 13 14 1516 1718 9 廿三 廿四五 七 20 3 2 26 26 甘九 九月大 0 五 27 28 30 31 初七 初八市阳节初十 十 25.(25-26七年级上·湖南长沙期中)如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中 框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为α，b,c,d(特别说明：去括号的依据是乘 法分配律，比如：-(x+y)=-1×(x+y)=-x-y,2(x-y)=2x-2y). 日一二三 四五六 234 567 8 9101112131415 16171819 202122 23242526272829 3031 2 图1 图2 (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期0的关系是_· (2)b=,c=_,d=(用含a的代数式分别表示). (3)当图2在图1的不同位置时，代数式a-2b+4c-3d的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是， 请说明理由、 拔高·压轴破难 题型6无关型问题（共5小题） 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(25-26七年级上全国期中)【问题背景】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：若代数式-x+y-3+2x+3y-7的值与x的取值无关，求m的 值.活动小组解答这个问题的方法是将x,y看作字母，看作系数合并同类项.因为代数式的值与x的取 值无关，所以含x项的系数是0.所以原式=-m+2x+4y-10.所以-m+2=0.所以m=2. D S S2 图1 图2 (1)请参照活动小组的解题方法，解答下面的问题：若代数式x-1a+2a-3x的值与x的取值无关，求 a的值. 【拓展应用】 (2)老师在上述问题的基础上，又提出了下面的问题：如图1是一个长是，宽是1的小长方形，将6个 图1中的小长方形按图2所示的方式不重叠地放进大长方形ABCD中.设大长方形中未被覆盖（阴影部 分)的左上角的长方形面积为S1,右下角的面积为S2.当AB的长变化时，若S1-3S2的值始终保持不变， 请求出a的值 27.(25-26七年级上·江苏南通期中)我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要 的文化遗产.数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入3×3的方格中，就得到了如图2 所示的一个“三阶幻方”. 河图 洛书 00-00000 000000000 ●●-0●e0 图1 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为 “中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍. 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和15是中心数5的3倍. 9 ) 3 7 8 1 图2 【尝试运用】 (1)在图3所示的三阶幻方中，幻方和为_，=_： 3 -1 a 图3 【深入思考】 (2)在图4所示的三阶幻方中，A=t-1,B=4-3t, A E B D 图4 ①若C=5t-3,求F所表示的代数式： ②若E=2kt+1,(k为常数)，且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和 28.(25-26七年级上·湖南衡阳·期中)历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f引x来表示. 例如fx=x2+3x-5,把x=某数时，多项式的值用f(某数)表示. 例如x=-1时，多项式x2+3x-5的值记为f-1=-1?+3×-1-5=-7 ()已知f到x=-2x2-3x+1,求f-1的值： (②)已知fx=ax3+bx6,当f2=2025,求f-2的值： (3)已知fx=4x2+ax+b,gx=2bx2-3x-1(a,b为常数)，若fx-2gx的值与x的取值无关，求 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代数式22-2ab--b20s的值. 29.(25-26七年级上·湖北荆州期中)窗户的形状如图1所示，其上部是半圆形，下部是长为、宽为b的 四个小长方形.（图中长度单位：m) a米a- 图1 图2 (1)窗户的面积为_m;如图2中，窗户的外框总长为_m.(结果保留π)： (2)现要在窗户上安装玻璃（窗户的内框虚线部分忽略不计），玻璃每平方米30元，窗户外框每米50元. ①若a=2,b=1,π取3，制作这样一个窗户共需费用多少元？ ②设窗户的外框与玻璃的费用差为W元，当b的长度发生变化时，W的值保持不变，直接写出α的值为_ 30.(25-26七年级上·福建泉州·期中)已知多项式A,B,且A+2B=8ab+3a-8b-14, 2B-A=4ab-3a-4b+18 阅读材料：我们可以利用整体思想通过添加括号的形式，求出多项式A和B。 如：4B=A+2B+2B-A就可以把A+2B,2B-A的值整体代入求解. (1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A. (2)若B-A的值与a的取值无关，求b的值. 题型7顺水逆水问题（共5小题） 31.(25-26七年级上·新疆喀什期中)一轮船先顺水航行2h,后逆水航行1h,已知轮船在静水中的速度 是xkmh,水流速度是ykmh,轮船共航行了多少千米？ 32.(24-25七年级上广东广州期中)某轮船先顺水航行4h,后逆水航行2.5h,已知轮船在静水中的速 度是akm/h,水流速度是bkm/h,轮船共航行了多少千米？ 33.(24-25七年级上湖北武汉·期中)某轮船先顺水航行3h,后逆水航行1.5h,己知轮船在静水中的速 度是akm/h,水流速度是bkmh,a>b>0. 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)轮船共航行了多少千米？ (2)此次航行中，轮船顺水比逆水多航行了多少千米？ 34.（24-25七年级上·青海西宁·期中)某轮船顺水航行了5h,逆水航行了3h,已知轮船在静水中的速度 为akmh,水流速度为bkmh (1)轮船在顺水中比在逆水中多航行了多少千米？ (2)轮船一共航行了多少千米？ 35.(25-26七年级上·浙江宁波·期末)已知甲、乙两船在静水中的速度都是20km/h,水流速度是xkm/h. (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则4h后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行2h到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了3h,求水流速度. 14/14专题06 整式加减的应用问题 基础·固本强基 题型1 图形周长面积问题（重点） 题型2 数字问题（难点） 提升·进阶突破 题型3 新定义型问题（难点） 题型4 方案问题（高频） 题型5 日历问题（重点） 拔高·压轴破难 题型6 无关型问题（难点） 题型7 顺水逆水问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 图形周长面积问题（共5小题） 1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）从一张大长方形纸片中剪去一个小长方形，剩下纸片的尺寸如图所示． (1)根据图中数据，用含x的代数式表示图中的阴影部分面积S； (2)当时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减以及代数式求值． （1）将阴影部分看成大长方形的面积减去小长方形的面积，即可求解； （2）将代入（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：        ； （2）解：当时， ； 答：当时，求阴影部分面积68． 3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为、，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论：①小长方形的周长为；②只需知道a和m的值，即可求出与的周长和．下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据图形找出长方形的边长并正确用代数式表示是解题关键． 根据题意及图形可得，，，，进而可表示两个小长方形的周长，进而可判断①②． 【详解】解：如图所示，根据题意及图形可得，，，， 则小长方形的周长为， 故①错误； ∵，， ∴小长方形的周长为， ∴与的周长和为： ， 故只需知道a和m的值，即可求出与的周长和． 故②正确， 故选：C． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方形是一个花园的示意图，阴影部分种向日葵，其他部分种月季花，其中花园的长为，宽为． (1)用含a和b的代数式表示种月季花部分的面积； (2)若，，种向日葵的费用为每平方米80元，求种向日葵需要的费用． 【答案】(1) (2)种向日葵需要的费用为1160元． 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方形，直角三角形的面积公式是解题的关键． （1）利用直角三角形的面积公式解答即可； （2）利用长方形，直角三角形的面积公式求得阴影部分的面积，再将数值代入运算即可． 【详解】（1）解：月季花部分的面积 ； （2）解：阴影部分的面积=矩形的面积 ， ∵，， ∴， ∵种向日葵的费用为每平方米80元， ∴种向日葵需要的费用（元）． 答：种向日葵需要的费用为1160元． 5．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，用代数式表示下列阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】本题考查的是列代数式及求代数式的值，掌握利用面积公式列代数式是解题的关键． 根据图形列出代数式，然后代入求解即可． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：， 当，时， 阴影部分的面积为：； 如图所示，将阴影部分分成八个相等的弧形， 1个弧形的面积为：， ∴图（2）中阴影部分的面积为：， 当时，阴影部分的面积为：． 题型2 数字问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 【答案】(1) (2) 证明：两数差为： ． 因为、为之间的整数，所以也为整数． 那么是9的整数倍，即这个差能被9整除． 【分析】（1）先表示出两个数，再求和解答即可； （2）整式的减法表示两数差，化简求解即可； 【详解】（1）解：依题意得：原三位数为，新三位数为 故两数和为： ． （2）略 7．（25-26七年级上·福建泉州·期中）（1）设是一个四位数，如果可以被9整除，那么这个数可以被9整除．为什么？ （2）设是一个四位数，如果，那么这个数一定是11的倍数．为什么？ （3）设是一个三位数，并且，若这个三位数减去各数位上数字之和，所得的差能被11整除，求满足条件的三位数． 【答案】 （1）解：设 = 因为，能被整除 所以能被整除； （2）解：因为： 所以 因为为整数 所以能被11整除 所以这个数一定能被11整除． （3） 【分析】本题考查了列代数式，新定义下的实数运算：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，整理得，结合能被9整除，可以被9整除，即可作答． （2）依题意，，因为，则，显然能被11整除，这个数一定是11的倍数． （3）根据，得到，根据能被11整除，得出，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）因为 所以 因为能被11整除， 由于是的倍数，所以必须是的倍数， 又因为是0到9的整数， 所以． 所以三位数为：． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小学已经学过自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．在课堂中，同学们完成了三位数被3整除规律的证明，证明过程如下： 设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且这个三位数记为， 因为， 其中能被3整除， 所以，只要能被3整除，那么就能被3整除． 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位数，如182，364，576，…等，她发现了如下特征： 182能被7整除，则有，14能被7整除； 364能被7整除，则有，28能被7整除； 576不能被7整除，则有，45不能被7整除； …… (1)类比例子中的特征，下列能被7整除的是______； ①371；②457；③756． (2)小颖根据以上探究过程，猜想：一个三位数记为，如果______可以被7整除，那么就能被7整除（请用含a、b、c的代数式表示）； (3)若三位数能被7整除，直接写出m的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)2或9 【分析】本题主要考查了运用类比的思想解决问题、有理数的混合运算、整式的加减运算． （1）根据阅读材料中提供的解题思路进行判断即可； （2）根据（1）中的规律可知：如果能被整除，那么就能被整除；设一个三位数的百位为，十位为，个位为，可得：，其中能被7整除，所以只要能被整除，那么就能被整除． （3）结合（2）的结论，且三位数能被7整除，进行列式计算，再根据，且为整数，进行分析计算，即可作答． 【详解】（1）解：，能被整除， 能被整除； ，不能被整除， 不能被整除； ，能被整除， 能被整除； 能被整除的是； （2）解：由（1）中的规律可知：如果能被整除，那么就能被整除，过程如下： 设一个三位数的百位为，十位为，个位为，且这个三位数记为， 其中能被7整除， 只要能被整除，那么就能被整除． （3）解：由（2）得只要能被整除，那么就能被整除． ∵三位数能被7整除， ∴， 即能被整除， ∵，且为整数， ∴， ∵， ∴或， 即或． 9．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 【答案】 （1）正确，证明：设三位数的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则这个三位数可表示为： ， ∵， 则上式变为， ∵是9的整数倍， 能被9整除，小明的观点正确； （2）或； （3）①；②或；③任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数 【分析】本题主要考查了数的整除特性的证明与应用，涉及3、9、11 的整除规律推导及实际运用．熟练掌握“用代数表示数并拆分变形，结合整除定义分析数字和与数的关系”是解题关键． （1）通过代数表示三位数，拆分变形为9 的倍数与数字和的组合，利用“数字和为9”推导其是9 的倍数，验证观点正确性； （2）根据能被9 整除的数的数字和规律，结合五位数的数字和，确定其为9 的倍数，进而求的值即可； （3）将数拆分为11 的倍数与数字组合的形式，通过整除条件推导不同位数下数字需满足的关系，归纳通用规律即可． 【详解】解：（1）略 （2）的各位数字和为， 由（1）的证明过程类比可知，若一个自然数各数位数字之和能被9整除，则该数能被9整除， 因此若五位数能被9整除，则能被9整除， 由题意可知， ∴或， ∴或； （3）①两位数，若能被11整除，则（k为整数）， ∵，， ∴，即； ②三位数 若能被11整除，则或11的倍数， 即或； ③根据②可得：若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件为（k为整数）， 四位数 ， 若能被11整除，则（k为整数）， 同理可得：若五位数能被11整除，则（k为整数）， 若六位数能被11整除，则（k为整数）， … 则任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数． 提升·进阶突破 题型3 新定义型问题（共5小题） 10．（25-26七年级上·福建宁德·期中）（1）任意写一个两位数，个位数字是，十位数字是．交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数，请用含的代数式表示，并说明能否被11整除； （2）任意写一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是．交换百位数字和个位数字的位置，得到一个新的三位数，请用含的代数式表示，并说明能否被99整除． 【答案】 （1）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴能被11整除． （2）解：根据题意，得， ∴ ∵， ∴能被99整除． 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，数字问题，掌握数字的表示方法及整式的加减法法则是解题的关键． （1）根据个位数字为，十位数字为表示出为，交换这个两位数的十位数字和个位数字得到，则为，再利用整式的加减法和合并同类项即可计算出和说明能被11整除． （2）根据百位数字为，十位数字为，个位数字是表示出为，交换百位数字和个位数字的位置得到，则表示为，再利用整式的加减法和合并同类项即可计算出和说明能被99整除． 【详解】解：（1）略 （2）略 11．（25-26七年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 若数对是使得成立的一对数或整式，则数对为和谐数对．如数对，因为．所以数对是和谐数对． 解决问题： (1)判断下列数对是否是“和谐数对”：（填“√”或者“×”） ① ；② ． (2)已知数对，是和谐数对，求M； (3)已知是和谐数对，求出的值． 【答案】(1)√；× (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算和代数式的求值，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． （1）根据定义进行验证即可； （2）是和谐数对，则，展开计算即可； （3）根据是和谐数对得到，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， 是和谐数对， ， 不是和谐数对， 故答案为：√；×； （2）解：是和谐数对， ； （3）解：是和谐数对， ， ． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：都能被11整除，理由如下： ∵， ∴ ； 故任意一个“皖韵数”都能被11整除． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出等量关系即可； （2）根据新定义，列式计算即可； （3）根据（1）中的结论，结合三位数的表示方法，列出代数式进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意，， ∴； （3）略 13．（25-26七年级上·重庆·期中）一个四位自然数，其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记，例如：四位数6193，因为，，所以6193是“倍和数”，；四位数8154，，，所以8154不是“倍和数” (1)请判断6423，4552是否是“倍和数”，并说明理由； (2)若是“倍和数”，的两倍与的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数． 【答案】(1)6423不是“倍和数”，4552是“倍和数”． (2)2551、4282、8734 【分析】本题考查新定义，整数的加减运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设，得到，根据的两倍与的各位数字之和能被11整除，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴6423不是“倍和数”， ， ∴4552是“倍和数”； （2）设， ∵是“倍和数”， ∴， ∵的两倍与的各位数字之和能被11整除， 又∵ ， ∴能被11整除， 由题意可知：，，且均为整数， ∴当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 综上：这个四位数可以为：2551、4282、8734． 14．（25-26七年级上·四川成都·期中）如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∴，∴9753是“等差递减数”：又如四位数5681，∵，∴5681不是“等差递减数”，则最小的“等差递减数”为______；对一个“等差递减数”，记，，，若，则满足条件的M最大值为______． 【答案】 1234 3581 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，理解“等差递减数”的定义是解题关键．设一个“等差递减数”是，根据“等差递减数”的定义得到，要使这个数最小，则应尽可能的最小，从小到大依次尝试数值，即可求出最小的“等差递减数”；题意得到，再结合，得到，则，，要使最大，则应尽可能的最大，从大到小依次尝试数值，即可求出满足条件的M最大值． 【详解】解：设一个“等差递减数”是， 则， ， 要使这个数最小，则应尽可能的最小， 先尝试，则， 此时尝试，则， 此时尝试，则， 、、、互不相等且均不为0， 满足“等差递减数”的定义， 即最小的“等差递减数”为； 由，， ∴， ∴， ∵， ∴代入得，即， ∵和为10的倍数，c为数字， ∴，且，即， 代入等差递减数条件：，即， ∵， ∴，即， ∴， a为3至9整数，需为1至9数字，尝试a值： ，非整数； ，非整数； ，非整数； ，非整数； ，非整数； ，非整数； ，整数， 此时，数字互异， ∴， 满足条件的M仅此一个，故最大值为， 故答案为：；． 15．（25-26七年级上·河南郑州·期中）定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】 四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】 （1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________； （2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 【答案】 【理解定义】是 【建模推理】（1）； （2）能，理由如下： 设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d， 则这个“团结数”为， 由（1）可知，， 代入，得 ， ∴ 该数能被11整除， 即任意“团结数”能被11整除． 【分析】本题考查了新定义，列代数式，整式的加减，理解新定义，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【理解定义】根据定义直接计算数字各位的关系判断即可； 【建模推理】（1）根据定义直接推导代数式即可解答；（2）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，则这个“团结数”为，代入（1）中d的表达式，化简后即可证明是11的倍数． 【详解】解：【理解定义】 四位数2651的千位数字为2，十位数字为5，和为； 百位数字为6，个位数字为1，和为； ∵， ∴四位数2651是“团结数”． 故答案为：是． 【建模推理】 （1）根据定义得，， ∴； 故答案为：； （2） 略 题型4 方案问题（共5小题） 16．（25-26七年级上·重庆·期中）为落实“五育并举”教育理念，学校为我们初一年级打造了“开心农场”劳动实践基地．某班准备购买一些花卉和绿植来美化农场，已知花卉每株25元，绿植每株10元．计划购买株花卉和株绿植，并且绿植要比花卉多（即）．甲同学建议去学校附近的“熊奶奶的花园”购买，那里所有商品都打六折；乙同学建议在网上商城购买，网上商城的优惠方式是：每株绿植的价格保持不变，每株花卉便宜5元，且买一株花卉送一株绿植． 请解决以下问题： (1)请用含、的代数式分别表示按甲、乙两位同学的建议购买需要付多少钱？ (2)如果该班要买15株花卉和20株绿植，请计算哪位同学的方案更省钱？ 【答案】(1)按甲同学的建议购买需要付元，按乙同学的建议购买需要付元， (2) 当时，， ， ∵， ∴甲同学的方案更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）把代入（1）所求两个代数式中，分别计算出两个代数式的值，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，按甲同学的建议购买需要付元， 按乙同学的建议购买需要付元， （2）略 17．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）某书店推出名著阅读促销活动，《西游记》每套定价80元，《水浒传》每套定价60元，活动期间提供两种优惠方案： 方案一：买一套《西游记》送一套《水浒传》； 方案二：《西游记》和《水浒传》都按定价的付款． 现某学校要购买《西游记》10套，《水浒传》x套． (1)分别用含x的代数式表示两种方案所需费用； (2)当时，选择哪种方案更省钱？说明理由． 【答案】(1)方案一：，方案二： (2)选择方案一更省钱 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是根据题意正确列出代数式． （1）根据所给优惠规则列代数式即可； （2）将代入（1）中结论，求出两个代数式的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款： 元， 按方案二购买，需付款： 元； （2）解：选择方案一更省钱，理由如下： 当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴当时，选择方案一更省钱． 18．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）学校为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现学校急需乒乓球拍5副，乒乓球盒（不少于5盒）． (1)请用含的代数式表示：去甲店购买所需的费用为__________元；去乙店购买所需的费用为__________元； (2)当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算； (3)当购买40盒乒乓球时，综合两家商店的优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)去乙商店购买较为合算 (3)方案：去甲商店购买5副球拍赠送5盒乒乓球，再去乙商店买35盒乒乓球，需付款元 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值， 对于（1），甲店所需费用等于5副乒乓球拍的费用加上购买盒乒乓球的费用，乙店所需费用等于5副乒乓球拍的费用加上x盒乒乓球的费用，再乘以； 对于（2），分别代入两个关系式，再比较得出答案； 对于（3），去甲商店购买5副球拍赠送5盒乒乓球，再去乙商店买35盒乒乓球，再算出总价，并比较得出答案． 【详解】（1）解：去甲店购买所需费用为（元）； 去乙店购买所需费用为（元）； 故答案为：，； （2）解：由题可知，当时， 甲商店购买的费用为（元）， 乙商店购买的费用为（元）， ， 去乙商店购买较为合算； （3）解：方案：去甲商店购买5副球拍赠送5盒乒乓球，再去乙商店买35盒乒乓球， 价钱为（元）． ， 该方案最省钱． 19．（25-26七年级上·江西上饶·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：某文具店销售两种笔记本，A种笔记本每本定价15元，B种笔记本每本定价8元，该文具店在双十一活动期间，向学校提供两种优惠方案： 方案一：每买一本A种笔记本就赠送一本B种笔记本； 方案二：A、B两种笔记本都按定价的85%付款． 素材2：学校计划购买A种笔记本200本和B种笔记本m本（） 问题解决 【任务1】（1）请用含m的代数式分别表示出两种方案的费用． 【任务2】（2）若，分别计算两种方案的费用． 【任务3】（3）在（2）的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案，并计算费用． 【答案】（1）方案一：元，方案二：元 （2）方案一：4600元，方案二：5270元 （3）最省钱方案：用方案一购买200本A种笔记本，用方案二购买200本B种笔记本，费用4360元 【分析】本题考查了代数式的表示与实际应用中的费用计算，解题的关键是根据两种优惠方案的规则，分别列出费用表达式并进行计算． （1）根据方案规则，用含的代数式表示两种方案的费用； （2）将代入（1）的表达式，计算两种方案的费用； （3）结合两种方案的优势，设计混合方案并计算费用． 【详解】解：（1）方案一：购买200本A种笔记本，赠送200本B种笔记本，还需购买本B种笔记本费用为（元）， 方案二：A、B都按定价的付款， 费用为（元）； （2）当时， 方案—费用：（元）， 方案二费用：（元）； （3）最省钱方案： 用方案一买200本A种笔记本（赠送200本B种笔记本）， 剩余本B种笔记本用方案二购买， 费用为（元）． 20．（24-25七年级上·广东东莞·期中）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（且为整数）． (1)用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． 【答案】(1)方案一需付费：元；方案二需付费：元； (2)按方案一购买较合算 【分析】本题考查列代数式及代数式求值问题，读懂题意是解决问题的关键． （1）方案一需付款：副乒乓球拍子的费用加上盒乒乓球的费用；方案二需付费：用副乒乓球拍的费用与盒乒乓球的费用之和乘以即可； （2）当时，按照两种优惠方案分别计算出付款额度，付款少的方案购买即可． 【详解】（1）解：方案一需付费：，即元； 方案二需付费：，即元； （2）解：当时： 方案一需付费：元； 方案二需付费：元； ∵， ∴按方案一购买较合算． 题型5 日历问题（共5小题） 21．（25-26七年级上·广东江门·期中）观察某月日历，设十字框中间的数为，回答下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)求带阴影的十字框中的5个数的和是多少？ (2)在该月的月历上用该十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由，如果能，请求出十字框中间的数． 【答案】(1) (2) 这个数的和不能为，理由如下： 假设这个数的和能为，则， 解得：， 号这天为周六，不能作为中间数， 假设不成立，即这个数的和不能为． 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解题意，列出相应式子是解题关键． （1）根据月历表述出上面的数字为，下面的数字为，左面的数字为，右面的数字为，然后求和即可； （2）利用假设法求即可． 【详解】（1）设十字框中间的数为，则上面的数字为，下面的数字为，左面的数字为，右面的数字为， 带阴影的十字框中的5个数的和是； （2）略 22．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是2025年11月的日历图，“形框”中7个数的和不可能是（   ） A．98 B．133 C．105 D．125 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据“形框”的特点，设U形框正中心的数为，则7个数分别为和，然后把每个选项的数进行计算，得出x是正整数，即有可能是框出的7个数的和，否则不是，即可作答． 【详解】解：设U形框正中心的数为，则7个数分别为和， ∴“形框”中7个数的和为： ， ∵， ∴“形框”中7个数的和不可能是125， 故选：D． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图是某个月份的月历表，任意圈出月历表中一竖列或一斜排中相邻的三个数，这三个数的和不可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A．72 B．30 C．27 D．50 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律、整式加减的应用，熟练找准规律是解题的关键． 任意圈出一竖列或一斜排中的三个数，其和均为3的倍数，逐项判断和是否是3的倍数即可． 【详解】解：根据题意得，一竖列每个数相差7，正斜线（左上到右下）相差为8，反斜线（右上到左下）相差为6， 设第一个数为， 那么竖列中三个数的和为， 正斜排中三个数的和为， 反斜排中三个数的和为， 则任意圈出一竖列或一斜排中的三个数，其和均为3的倍数， 选项A、B、C的和72、30、27均为3的倍数，可能成立； 选项D的和50不是3的倍数，不可能成立， 故选：D． 24．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图是2025年10月的月历，在可框区域用正方形任意框出四个数，若其中最小的数为a，则这四个数的和为______（用含a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查代数式；找出框出的四个数之间的关系，再用含a的代数式表示出这四个数，最后求出它们的和即可． 【详解】解：在月历中，同一列相邻两个数相差7，同一行相邻两个数相差1． ∵四个数中最小的数为a，那么它右边的数比它大1，即为； 它下面的数比它大7，即为；右下角的数比a大8，即为． ∴这四个数的和为：． 去括号得： 合并同类项得： 因此，这四个数的和为． 故答案为：． 25．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查月历中日期的规律及整式的化简求值，解题的关键是利用月历中日期的排列规律（横向相邻差1，纵向相邻差7）分析数量关系． （1）根据九方格中正中心的日期θ，推导空白日期和与正中心日期的关系； （2）利用月历日期的横向、纵向差，用表示、、； （3）将、、代入代数式，化简判断是否为定值． 【详解】（1）解：九方格中，正中心日期为，月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 空白日期， 故答案为：； （2）解：月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 由的位置，可得：（向下两排，）， （向右两列）， ， 故答案为：； （3）解：是定值，， 将、、代入代数式： ． 故代数式的值为定值． 拔高·压轴破难 题型6 无关型问题（共5小题） 26．（25-26七年级上·全国·期中）【问题背景】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：若代数式的值与x的取值无关，求m的值．活动小组解答这个问题的方法是将x，y看作字母，m看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数是．所以原式．所以．所以． （1）请参照活动小组的解题方法，解答下面的问题：若代数式的值与x的取值无关，求a的值． 【拓展应用】 （2）老师在上述问题的基础上，又提出了下面的问题：如图1是一个长是a，宽是1的小长方形，将6个图1中的小长方形按图2所示的方式不重叠地放进大长方形中．设大长方形中未被覆盖（阴影部分）的左上角的长方形面积为，右下角的面积为．当的长变化时，若的值始终保持不变，请求出a的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解：， 因为该代数式的值与x的取值无关， 所以含x项的系数是， 所以， 所以； （2）解：设， 根据题意，得，， 所以， 因为的值始终保持不变， 所以的值与x的取值无关． 所以， 所以． 27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1）；．（2）①；②，幻方和为． 【分析】本题考查了三阶幻方的性质（幻方和是中心数的3倍），解题的关键是利用幻方和与中心数的关系，结合行列和相等列算式求解． （1） 根据幻方和是中心数的3倍求幻方和，再利用列和相等求； （2） ①利用幻方和的性质，结合列与对角线和相等推导的代数式；②根据幻方和与无关，令的系数为0求及幻方和． 【详解】（1） 解：中心数为，故幻方和为； 由中间列和为，得， ． 故答案为：；． （2） ①解：幻方和为，由第1列：，代入，，，得， ，即． 由一列之和等于一对角线之和得：， ∴． ②解：设幻方和为，由题意得， 前二式相加再减去第三式得，， 上式代入，，得，， 整理得，， 因幻方和与t的取值无关，令的系数为0，得，则， 则． 即幻方和为. 28．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号来表示．例如，把某数时，多项式的值用（某数）表示． 例如时，多项式的值记为 (1)已知，求的值； (2)已知，当，求的值； (3)已知，（为常数），若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的加减，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入计算即可得解； （2）先根据求出，再表示出，整体代入计算即可得解； （3）先根据整式的加减运算法则计算得出，再结合的值与的取值无关，求出、的值，代入所求代数式即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 29．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）窗户的形状如图1所示，其上部是半圆形，下部是长为、宽为的四个小长方形．（图中长度单位：） (1)窗户的面积为 ；如图2中，窗户的外框总长为 ．（结果保留π）： (2)现要在窗户上安装玻璃（窗户的内框虚线部分忽略不计）．玻璃每平方米元，窗户外框每米元． ①若取3，制作这样一个窗户共需费用多少元？ ②设窗户的外框与玻璃的费用差为元，当的长度发生变化时，W的值保持不变，直接写出a的值为 ． 【答案】(1)， (2)①元② 【分析】本题主要考查代数式求值,列代数式，多项式的相关定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）窗户面积是大长方形的面积加上半圆的面积，窗户外框总长是半圆周长加上大长方形的三边长，据此进行作答即可； （2）①先写出总费用，再代入即可； ②先写出窗户的外框与玻璃的费用的代数式，再进行分析即可． 【详解】（1）解：面积为：， 周长为：． 故答案为：，； （2）解：①当取3时， （元， 答：制作这样一个窗户共需费用元． ② ∵的长度发生变化时，的值保持不变， ∴ 解得：． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知多项式A，B，且，． 阅读材料：我们可以利用整体思想通过添加括号的形式，求出多项式A和B． 如：就可以把，的值整体代入求解． (1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等整式的加减运算、整式的加减的无关性等知识点，掌握相关运算法则和运算方法是解题是关键． （1）根据整数的加减运算法则求解即可； （2）先根据整式加减运算法则求出，再根据与a的取值无关列出关于b无关列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵①，②． ∴①-②可得：， ∴，． （2）解：， ∵若的值与a的取值无关， ∴，即． 题型7 顺水逆水问题（共5小题） 31．（25-26七年级上·新疆喀什·期中）一轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，轮船共航行了多少千米？ 【答案】轮船共航行了千米 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，理解题意并正确列式是解题关键． 分别表示出顺水和逆水的速度，然后求出总路程即可． 【详解】解：由题意，可知顺水速度为， 顺水航行，航行了， 可知逆水速度为， 逆水航行，航行了， 一共航行了． 答：轮船共航行了千米． 32．（24-25七年级上·广东广州·期中）某轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，轮船共航行了多少千米？ 【答案】轮船共航行了千米 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，理解题意并正确列式是解题关键．分别表示出顺水和逆水的速度，然后求出总路程即可． 【详解】解：顺水的速度为，逆水的速度为， 则总航行路程． 答：轮船共航行了千米． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，． (1)轮船共航行了多少千米？ (2)此次航行中，轮船顺水比逆水多航行了多少千米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式以及整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解本题的关键． （1）根据静水速度水流速度顺水速度，静水速度水流速度逆水速度，分别表示出顺水与逆水速度，根据题意列出关系式，去括号合并同类项，进行化简，即可得到结果； （2）用顺水航行的路程-逆水航行的路程，去括号合并同类项，进行化简，代入值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 答：轮船共航行了； （2）解：根据题意得： ， 答：轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多． 34．（24-25七年级上·青海西宁·期中）某轮船顺水航行了，逆水航行了，已知轮船在静水中的速度为，水流速度为． (1)轮船在顺水中比在逆水中多航行了多少千米？ (2)轮船一共航行了多少千米？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】此题考查了整式加减的应用，根据逆水速度=静水中的速度-水流速度，顺水速度静水中的速度水流速度，表示出逆水与顺水速度： （1）求出顺水路程与逆水路程之差即可； （2）求出顺水路程与逆水路程之和即可． 【详解】（1）解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时， ∴轮船在顺水中速度为千米/时，轮船在逆水中速度为千米/时， 又∵船顺水航行了，逆水航行了， ∴， 答：轮船在顺水中比船在逆水中多航行了千米； （2）解：∵船顺水航行了，逆水航行了， ∴轮船共航行了（千米）， 答：轮船共航行了千米． 35．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者4小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 $