3.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.4 一元二次方程根与系数的关系 情景导入 解下列方程，并填写表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－2x＝0 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 0 1 2 2 －4 3 2 －3 5 0 －4 6 观察上面的表格，猜想： 关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根是x1，x2，则x1＋x2＝___，x1·x2＝____． －p q 自学互研 知识模块一　一元二次方程根与系数的关系 知道一元二次方程的根由方程的系数来决定,除此之外,根与系数之间还有什么关系呢？ (1)填空: ①方程的两个根为= ,= ,所以 )( ),且 , ; ②方程的两个根为 , ,所以 )( ),且 , ; 做一做 2 ③方程的两个根为 ,= ,所以 )( ),且 , . （2）由（1）可发现：若方程的两个根为、，则 . 由本章3. 2节知识可知，若方程的两个根为 ， 则方程左边的多项式可分解成 又, 根据两个多项式相等，得, . 对于方程，当时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 当时,设方程的两个根为、， 思 考 则， 又()， 于是. 则,. 即, . 当时,方程的两个根为, ; 经计算可得, . 当时,一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比。 推导工具:借助一元二次方程求根公式,通过整式化简完成证明; 方法总结： 核心结论:若两根为,则,; 前提条件:方程必须是一元二次方程,且才有实数根; 简化形式:二次项系数为时, 满足,. 例1:根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程的两根的和与积:(1);(2);(3). 解:(1) . (2)整理,得, 所以. (3)整理,得, 所以. 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，该方程的两根x1，x2，求方程的两根之和与两根之积． 解：由题意，得x1＝， x2＝， 由此可得x1＋x2＝＋＝－， x1x2＝·＝＝＝. 一元二次函数的根与系数的关系： 归纳总结 当b2－4ac≥0时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数。 两根之积等于常数项与二次项系数的比，即x1＋x2＝－，x1x2＝. 【例1】不解方程，求下列各方程的两根x1，x2的和与积． (1)x2＋3x＋1＝0； (2)3x2－2x－1＝0； (3)2x2＋6x＋4＝0. 解：(1)∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴x1＋x2＝－＝－＝－3，x1x2＝＝＝1. (2)∵a＝3，b＝－2，c＝－1， ∴x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－. (3)∵a＝2，b＝6，c＝4， ∴x1＋x2＝－＝－＝－3，x1x2＝＝＝2. 知识模块二　一元二次方程根与系数的关系的应用 例2:已知关于的方程的一个根为,求它的另一个根及 的值. 解:设的另一个根为=0,另一个根为 由根与系数之间的关系得. . =. 于是m=16. 因此，方程的另一个根是，m的值为16. 还可用其它方法求出的值吗？ 基础求值步骤:先整理为一般式,确定,直接代入韦达定理计算; 方法总结： 含参题型思路:结合根的情况先保证、,再列等式求解参数; 代数式变形技巧:遇等式子,转化为后代入整体计算; 易错点:两根之和带负号,提取时保留自身正负符号. 解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝－. 【例1】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的 (1)平方和；　(2)倒数和． (1)∵(x1＋x2)2＝＋2x1x2＋， ∴＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝. (2) ＋＝＝3. 解决此类题，先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求的式子适当地变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可． 归纳总结 【例2】已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值． 解：设方程的另一根为x1，则－3x1＝， 解得x1＝. ∴x1＋(－3)＝＋(－3)＝－， 解得k＝3. ∴另一根为，k的值为3. 随堂检测 1.若是一元二次方程的两根,则的值为(　 　) A.-5 B.5 C.-4 D.4 2.已知是方程的两个根,则的值为(　　 ) A.5 B.10 C.11 D.13 A D 4.已知是一元二次方程的两个实数根,则的值是________. 3.若是关于x的一元二次方程的两个实数根,且,则等于(　　) A.-2 B.-3 C.2 D.3 B 5.不解方程，求下列方程两个根的和与积: (1) x2 6x+1=0; (2)2x2 x=6. 解：（1）a=1， b= 6 ， c=1 x1+x2＝， x1x2＝ （2）整理： 2x2 x 6 =0 a=2， b= 1 ， c= 6 x1+x2＝， x1x2＝ 6.已知一元二次方程x2+3x+m 0的一个根为3，求它的另一个根及m的值. 解：设方程另一个根为x2，方程x2+3x+m 0 x1 a=1， b= ， c=m 已知一根x1 +x2 x2 两根之积： x1 x2 答:另一个根是0，m=0。 7.已知关于的方程有实数根. (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根,分别为和,当时,求的值. 解:①当时,原方程为, 符合题意； 解得, ②当时,原方程为一元二次方程. 该一元二次方程有实数根, ,解得. 且. 综上所述,k的取值范围为. 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1，x2，那么 应 用 …… x1 x1 x2 ＋=（ x1 ）² 2x1x2 （ x1 ）² 4x1x2 = 知识点: 1.韦达定理内容:一元二次方程实数根的和、积与各项系数的固定等量关系。 2.定理成立双重条件:二次项系数不为0、判别式大于等于0。 3.两种标准形式对应的根与系数关系式,区分一般式与简化式。 4.整体代换变形公式:等常用代数式转化。 5.基础应用题型:不解方程求两根和与积、已知一根求另一根、根据根的条件求参数。 6.解题规范:先化为一般形式,准确识别带符号的。 7.数学思想:代数推理思想、整体代换思想、分类讨论思想（含参数问题）。 8.知识关联:串联求根公式、判别式,构建一元二次方程完整知识体系。 $