3.4 一元二次方程根与系数的关系课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

3.4 一元二次方程根与系数的关系 1. 方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0)根的情况？ 当b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. 当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. 当b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 思考：方程的两根 x1和 x2与系数a，b，c还有其他的关系吗？ 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+2x=0 x2-4x+4=0 x2-5x+6=0 -2 0 2 2 4 4 2 3 5 6 发现：若x²+bx+c=0的两个根为 x1， x2，则x1+ x2=____, x1 x2= ____ . -b c 探究1 一元二次方程根与系数的关系 活动：利用所学过的知识填表，仔细观察方程根与系数的关系，有什么发现 ？ 0 -2 问题1：如何证明以上的发现？ 证明：当二次项系数为 1 时，若方程x²+bx+c=0的两个根为x1， x2， 则方程左边的多项式可分解成x²+bx+c=(x-x1)(x-x2). 又 (x-x1)(x-x2)=x²-(x1+x2)x+x1 x2, 根据两个多项式相等，得 x1+ x2=-b，x1 x2= c . 发现：若x²+bx+c=0的两个根为 x1， x2，则x1+ x2=____, x1 x2= ____ . -b c 问题2：对于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)，当Δ≥0时，猜想该方程的根与它的系数之间有什么关系？利用所学的知识验证你的结论. 猜想：设一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的两根为x1， x2. 证明：当Δ≥0时，设方程x²+bx+c=0的两个根为x1， x2， 则 ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) =a[x²-(x1+x2)x+x1 x2]. 又 ax²+bx+c==a(x2+x+), 于是 x2+x+ = x²-(x1+x2)x+x1 x2. 根据两个多项式相等，得 =-(x1+x2)， =x1x2, 即 =-，x1x2= 这个关系通常被称为韦达定理 设一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的两个根为x1，x2，则 满足关系的前提条件： b2-4ac≥0. 特例：若x2 + bx + c = 0 ( b2 - 4c≥0 ) ，则x1 + x2 = -b， x1·x2 = c. 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比. 一元二次方程根与系数的关系（也称“韦达定理”） 活动1：不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积，并与同学比较你们的解答过程与结果是否相同以及需要注意的问题. . 探究2 一元二次方程根与系数的关系的运用 (1)2x2-3x+1=0; (2)x2-3x+2=10; (3) 7x2-5=x+8. 解：(1) =-=-=，x1x2==. (2)整理，得x2-3x-8=0，所以=-(-3)=，x1x2=-8. (3)整理，得7x2-x-13=0，所以=- = ，x1x2 = = -. 在使用根与系数的关系时，应注意以下问题： (1)注意运用的前提条件：b2-4ac≥0. (2)不是一般式的要先化成一般式ax2＋bx＋c = 0； (3)在使用 时，注意“－ ”不要漏写. （1）x2+3x+1=0； （2）2x2+3=5x2+x. 解：（1）Δ = 32 – 4 × 1 × 1 = 5 > 0. ∴方程有两个实数根. x1 + x2 = -3，x1 x2 =1. （2）原式整理得：3x2+x-3=0. Δ = 12 – 4 × 3 × (-3) = 37 > 0. ∴方程有两个实数根. x1 + x2 = x1 x2 = = -1. 求下列各方程的两根之和与两根之积.（不解方程） (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解：根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，可将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 活动2：设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x–3=0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值，并与同伴交流归纳解题方法. 方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值___________． －1或－3 解：根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1， ∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， ∴(－m－3)2－2(m＋1)＝4， 解得m1＝－1，m2＝－3， 并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解， ∴m的值为－1或－3. 一元二次方程根与系数的关系 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，则 注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 应用 不解方程，求两根的和与积 已知一根，求另一个根及参数的值 不解方程，求含两根的对称式的值 1.若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1x2的值是（　　） A．2 B．-2 C．4 D．-3 2.已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（　　） A．－3 B．2 C．3 D．－4 D C 3.已知，是方程的两根，则　 　. -1 随堂小练 4.已知关于x的方程3x2-19x+m=0的一个根为1，求它的另一个根及m的值. 解：设3x2-19x+m=0的一个根为 =1，另一个根为 则由根与系数的关系得1+x2= ，于是x2= . 又x1 x2 =1 × = ,于是m=16. 因此，方程的另个一根为，m的值为16. 还可以用其他的方法求出m的值吗？ 5.已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值． 解：（1）因为 关于x的一元二次方程有实数根 ， 所以，解得． （2）∵，∴． 解这个方程得． ∴k的值为. $