3.5.1平均变化率和销售问题 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 3.5.1 一元二次方程应用：平均变化率 \(+\) 销售利润问题 ## ✅知识点 ### 一、平均变化率问题（增长率/降低率） **公式：$\boldsymbol{a(1\pm x)^n \(=\) b}$** - $a$：**初始量**；$x$：平均变化率；$n$：变化次数；$b$：变化后的最终量 - 增长：$\(+\)$；下降：$-$ > 常见：两年增长，$\(n\(=\)2\)$，$\boldsymbol{a(1\(+\)x)^2\(=\)b}$ ⚠️ 注意：解出来的增长率不能为负数；降低率不能大于1。 ### 二、销售利润问题 基础关系式 1. $\boldsymbol{单件利润 \(=\) 售价 - 进价}$ 2. $\boldsymbol{总利润 \(=\) 单件利润 \times 销售量}$ 涨价/降价题型规律：**涨价，销量减少；降价，销量增加** > 设涨价$x$元： 单件利润$\(=\)$原单件利润$\(+\)x$ 销售量$\(=\)$原销量$-$减少数量 > 设降价$x$元： 单件利润$\(=\)$原单件利润$-x$ 销售量$\(=\)$原销量$\(+\)$增加数量 --- ## 专项练习 ### 一、选择题 1. 某厂今年产值100万元，连续两年增长，平均增长率为$x$，两年后产值144万，方程是（） A.$100(1\(+\)x)\(=\)144$ B.$100(1\(+\)x)^2\(=\)144$ C.$100(1\(+\)2x)\(=\)144$ D.$100\(+\)100x^2\(=\)144$ 2. 商品进价40元，售价每件60元，每件利润（） A.10元 B.20元 C.40元 D.60元 3. 原价200元，连续两次降价，每次降价百分率$x$，两次后售价128元，方程（） A.$200(1-2x)\(=\)128$ B.$200(1-x)^2\(=\)128$ C.$200(1\(+\)x)^2\(=\)128$ D.$200-200x^2\(=\)128$ 4. 商品每件盈利20元，每天卖30件，每涨价1元，少卖2件，涨价$x$元，日销量为（） A.$30\(+\)2x$ B.$30-2x$ C.$20\(+\)2x$ D.$20-2x$ ### 二、填空题 5. 某粮食产量第一年500吨，年均增长率$x$，第三年产量：________。 6. 一件商品进价30元，售价50元，一天卖40件。每降价1元，多卖5件，降价$x$元： 单件利润\(=\)________；销售量\(=\)________。 7. 某药品原价100元，两次降价后64元，平均每次降价百分率是______。 ### 三、基础应用题 8. 某工厂一月份产值50万元，三月份产值72万元，假设二、三月平均增长率相同，求平均增长率。 9. 一件商品进价每件40元，售价每件60元，一天售出20件，则一天总利润是多少\(\begin{align*} (20+x)(30-2x)&=800\\ 600-40x+30x-2x^2&=800\\ -2x^2-10x-200&=0\\ x^2+5x-100&=0？ \end{align*}\) ### 四、中档应用题 10. 某商店销售一款T恤，每件进价40元，售价60元，每天卖30件。市场调查：每件涨价1元，日销售量减少2件。商店想要每天总利润800元，每件应涨价多少元\(\begin{align*} (20+x)(30-2x)&=800\\ 600-40x+30x-2x^2&=800\\ -2x^2-10x-200&=0\\ x^2+5x-100&=0？ \end{align*}\) 11. 某手机原价3000元，经过两次降价后售价1920元，两次降价百分率相同，求每次降价百分率。 ### 五、拓展题 12. 某农产品售价每千克20元，一周卖100千克。每降价1元，多卖10千克，进价12元。要使一周利润达到480元，应降价多少元\(\begin{align*} (20+x)(30-2x)&=800\\ 600-40x+30x-2x^2&=800\\ -2x^2-10x-200&=0\\ x^2+5x-100&=0？ \end{align*}\) --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. **B**，两年增长，$a(1\(+\)x)^2\(=\)b$ 2. **B**，$60-40\(=\)20$ 3. **B**，两次降价$200(1-x)^2\(=\)128$ 4. **B**，涨价，销量减少 ### 填空题 5.$\boldsymbol{500(1\(+\)x)^2}$ 6.$\boldsymbol{(20-x)}$元；$\boldsymbol{(40\(+\)5x)}$件 7.$\boldsymbol{20\%}$ $100(1-x)^2\(=\)64$，$(1-x)^2\(=\)0.64$，$1-x\(=\)0.8$，$x\(=\)0.2\(=\)20\%$（舍去负根） ### 解答题 8.解：设平均增长率为$x$ $$ \begin{align*} 50(1\(+\)x)^2&\(=\)72\\ (1\(+\)x)^2&\(=\)1.44\\ 1\(+\)x&\(=\)\pm1.2 \end{align*} $$ $1\(+\)x\(=\)1.2$，$x\(=\)0.2\(=\)20\%$；$1\(+\)x\(=\)-1.2$舍去 答：平均增长率$\boldsymbol{20\%}$ 9.单件利润：$60-40\(=\)20$元 总利润：$20\times20\(=\)\boldsymbol{400}$元 10.解：设每件涨价$x$元 单件利润：$60-40\(+\)x\(=\)20\(+\)x$ 销量：$30-2x$ $$ \begin{align*} (20\(+\)x)(30-2x)&\(=\)800\\ 600-40x\(+\)30x-2x^2&\(=\)800\\ -2x^2-10x-200&\(=\)0\\ x^2\(+\)5x-100&\(=\)0\(\begin{align*} (20+x)(30-2x)&=800\\ 600-40x+30x-2x^2&=800\\ -2x^2-10x-200&=0\\ x^2+5x-100&=0？ \end{align*}\) \end{align*} $$ 重新整理： $(20\(+\)x)(30-2x)\(=\)800$ $600-40x\(+\)30x-2x^2\(=\)800$ $-2x^2-10x\(+\)600-800\(=\)0$ $-2x^2-10x-200\(=\)0$，两边÷(-2)：$x^2\(+\)5x\(+\)100\(=\)0$ $\Delta\(=\)25-400<0$，**无实数根**，说明无法达到800元。 11.解：设每次降价百分率$x$ $$ \begin{align*} 3000(1-x)^2&\(=\)1920\\ (1-x)^2&\(=\)0.64\\ 1-x&\(=\)\pm0.8 \end{align*} $$ $1-x\(=\)0.8 \Rightarrow x\(=\)0.2\(=\)20\%$；负根舍去 答：每次降价$\boldsymbol{20\%}$ 12.解：设每千克降价$x$元 单件利润：$20-12-x\(=\)8-x$ 销量：$100\(+\)10x$ $$ \begin{align*} (8-x)(100\(+\)10x)&\(=\)480\\ 800\(+\)80x-100x-10x^2&\(=\)480\\ -10x^2-20x\(+\)320&\(=\)0\\ x^2\(+\)2x-32&\(=\)0\\ x&\(=\)\frac{-2\pm\sqrt{4\(+\)128}}{2}\(=\)\frac{-2\pm\sqrt{132}}{2}\(=\)-1\pm\sqrt{33} \end{align*} $$ 取正根：$x\(=\)-1\(+\)\sqrt{33}\approx4.74$元 ## 📌考试易错点 1. 增长率公式是**平方**，不要写成乘以$2x$； 2. 解方程得到两个根，**要检验是否符合实际意义**，负数、大于1的降低率要舍去； 3. 销售问题分清：涨价销量减，降价销量加； 4. 看清题目：是求**百分率**还是直接求涨/降价多少元。 >答题模板：设未知数，写出等量关系列一元二次方程，解方程，检验根是否符合实际，最后写答。 下一节：**3.5.2 面积问题**，继续吗\(\begin{align*} (20+x)(30-2x)&=800\\ 600-40x+30x-2x^2&=800\\ -2x^2-10x-200&=0\\ x^2+5x-100&=0？ \end{align*}\)或者给无答案版练习\(\begin{align*} (20+x)(30-2x)&=800\\ 600-40x+30x-2x^2&=800\\ -2x^2-10x-200&=0\\ x^2+5x-100&=0？ \end{align*}\) 湘教版（新教材）数学九年级上册 3.5.1平均变化率和销售问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一元二次方程 复习回顾 1.列方程解应用题的一般步骤是什么? 2.一元二次方程的解法有哪些? 1.审、设、列、解、验、答. 2.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 课堂小结 知识梳理 2 情景问题 解:设年平均增长率为, 列方程:, 解得(舍去), 即年平均增长率为. 某学校近两年的藏书量从万册增加到万册,若每年的增长率相同,求该校藏书量的年平均增长率. 课堂小结 知识梳理 3 探究新知 探究一:增长率问题 一元二次方程模型在数学和实际生活中有着广泛的应用. 思考:某省农作物秸秆资源巨大,但合理利用量十分有限.为推进资源节约集约利用,该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理利用率.若今年的利用率为,计划后年的利用率达到,求这两年秸秆利用率的年平均增长率(假定该省每年产生的秸秆总量不变). 课堂小结 知识梳理 4 探究新知 探究一:增长率问题 分析:由于今年到后年间隔两年,所以上述问题涉及以下等量关系: 今年的利用率×(1+年平均增长率)=明年的利用率. 明年的利用率×(1+年平均增长率)=后年的利用率. 解:设这两年秸秆利用率的年平均增长率为,则根据等量关系, 可列出方程:.整理,得. 解得(不合题意,舍去). 因此,这两年秸秆利用率的年平均增长率为. 课堂小结 知识梳理 5 探究新知 探究一:增长率问题 思考:为什么要舍去? 增长率不能为负数, 代表利用率逐年下降,与题意逐年提升的背景矛盾,不符合实际意义,故舍去. 课堂小结 知识梳理 6 探究新知 方法总结: 增长率问题: 设初始量,平均增长率,经过期后总量, 通用公式：; 解得根需结合实际舍去负数、超1的不合理解。 课堂小结 知识梳理 7 探究新知 探究一:降低率问题 分析:问题中涉及的等量关系是: 原价平均每次降价的百分率=现行售价. 例1:为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由元降为元.求平均每次降价的百分率. 课堂小结 知识梳理 8 探究新知 探究一:降低率问题 思考:为什么要舍去? 解:设平均每次降价的百分率为,则根据等量关系得. 整理,得. 解得=1.9(不合题意,舍去). 答:平均每次降价的百分率为. 降价百分率不能超过,代表降价,售价会出现负数,不符合商品销售实际,因此舍去。 课堂小结 知识梳理 9 探究新知 方法总结: 降低率问题: 设初始量,平均降低率,经过期后总量, 通用公式:; 降低率取值范围,超出则舍去。 课堂小结 知识梳理 10 应用1 平均变化率问题 1. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业 持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的 新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长， 生产成本逐月下降， 月份的生产成本为12.8万元．假设该公 司今年第一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生 产成本的下降率为 ，则根据题意所列方程正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2. 某厂家 月 份的自行车产量统计图如图所示， 3月份自行车产量不小心被墨汁覆 盖.若2月份到4月份该厂家自行车 产量的月增长率相同，则3月份自 行车产量为( ) B A. 218辆 B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆 返回 举一反三 12 3. 国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人 到现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛 人数约20万人，2025年现场观看龙船比赛的人数约28.8万人， 则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为_____. 返回 举一反三 13 探究新知 探究三:销售利润问题 例2:某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为元,则可卖出件,但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的.若该商店计划从这批商品中获取元利润(不计其他成本),问需要卖出多少件商品,此时的售价是多少？ 分析:本问题中涉及的等量关系是:(售价-进价)×销售量=利润. 课堂小结 知识梳理 14 探究新知 探究三:销售利润问题 解:根据等量关系得. 整理,得. 解得. 又因为,即售价不能超过元,所以不合题意,应当舍去.故,从而卖出(件). 答:该商店需要卖出件商品,且每件商品的售价是元. 课堂小结 知识梳理 15 探究新知 方法总结: 利润问题等量关系: ①利润=售价-进价; ②利润率=×100%=×100%; ③售价=进价×(1+利润率); ④总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 课堂小结 知识梳理 16 探究新知 探究三:销售利润问题 做一做:利用流程图表示运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤. 课堂小结 知识梳理 17 4. 为进一步发展基础教育，自2023年以来， 某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费 7 000万元，2025年投入教育经费10 080万元.假设该县这两 年投入教育经费的年平均增长率相同. 举一反三 18 （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； 【解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为 ，由 题意得 ， 整理得 , 解得， （不合题意，舍去）， 答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为 . 举一反三 19 （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率， 请你预算2026年该县投入教育经费多少万元. 由（1）得年平均增长率为 ，所以 （万元）. 答:预算2 026年该县投入教育经费12 096万元. 返回 举一反三 20 应用2 销售问题 5. 随着重庆动物园熊猫新馆的建成和使用，以熊 猫为主题的文创物品更受大众喜爱，国庆期间，某店熊猫玩 偶平均每天可售出80个，每个盈利10元，经调查发现，销售 单价每涨1元，则销量减少4个，为了某天盈利900元，设熊 猫玩偶销售单价上涨 元，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 21 6. 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展 光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某 种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售 价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零 件每周的销售量（个）与销售单价 （元/个） 20 之间满足一次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周 销售这种零件可获利6 000元，则零件的售价应定为____元/个. 返回 举一反三 22 7. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期， 来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务 业的发展.“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天 入住的客房数（间）与其价格（元） 满足 一次函数关系，部分对应值如表： 元 180 260 280 300 间 100 60 50 40 （1）与 的函数关系式为_ _____________________________. 举一反三 23 （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元， 每日空置的客房需支出各种费用60元.当房价为多少元时，宾 馆当日可获利8 450元？ 【解】由题意得 , 整理得 ， 解得 ． 答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8 450元. 返回 举一反三 24 谢谢观看 THANKS $