3.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3．1　一元二次方程的概念 1．1.1　比例的基本性质 旧知回顾 1.一元一次方程的定义是什么？ 只含一个未知数、未知数最高次数为 1 的整式方程。 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 。 由题意列:, 一个正方形边长增加 后,面积变为 ,求原边长 ,请列出方程。 整理得 。 自学互研 知识模块一　一元二次方程的概念 思 考 已知一矩形的长为,宽为. 从中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的 ,如图所示. 若挖去的圆的半径为,如何列出应满足的方程 （其中圆周率取）？ 上面问题中涉及的等量关系为： 原矩形的面积 - 挖去的圆面积 = 原矩形面积的 . 根据这个等量关系,可以列出方程 . 移项,整理得 . ① 方程①中含有几个未知数,未知数的最高次数是多少？ 有一个未知数，未知数的最高次数是1. . ① 如果一个方程只含有一个未知数,经过整理后含未知数的项的最高次数是,那么这样的方程称为一元二次方程 . 归纳总结 一元二次方程的定义 一般地,关于的一元二次方程通过整理可以使右边为,它的一般形式是（是常数,）, 其中分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 例如,方程 中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 方法总结 判定三要素：只含一个未知数、最高次数为 2、整式方程。 一般形式： ，必须强调二次项系数不为0。 识别步骤：先整理成一般形式，再对照三要素判断。 【例1】下列方程是关于x的一元二次方程的有_______．(填序号) ①4x2＝21；②2x2－3x＝y－1；③2x2＋－1＝0；④－－1＝0；⑤3x(x－1)＝5(x＋2)；⑥x(x－2)＝x2；⑦ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)． ①④⑤ 【例2】若关于x的方程(k＋1)x|k|+1＋(k－1)x＋2＝0是一元二次方程，求k的值，并写出这个方程． 解：由题意，得|k|＋1＝2， 解得k＝±1. 又∵k＋1≠0， ∴k≠－1， ∴k＝1. ∴原方程为2x2＋2＝0. 知识模块二　一元二次方程的一般形式 例:方程是否为一元二次方程？若是,指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:将原方程去括号,得. 可以写成吗? 可以 移项,合并同类项,得, 这是一元二次方程,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 若关于的方程是一元二次方程,求常数应满足的条件. 你的结果与其他同学相同吗？ 解:移项,得。 做一做 方程是一元二次方程， 二次项系数，即。 整理步骤：去括号→移项→合并同类项→右边化为 0→二次项系数化正。 方法总结： 识别要点：分清二次项、一次项、常数项与对应系数，注意符号。 含参方程判定：先合并同类项，令二次项系数≠0。 一元二次方程的一般形式是_________________． 其中____是二次项，____叫作二次项系数，____是一次项，____叫作一次项系数，____叫常数项． 练 习 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 a bx b c 为什么要限制a≠0？b，c可以为零吗？ 限制a≠0是因为二次项系数不能为零 b，c可以为零． 【例3】把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0 若写成－5x2－8x＋2＝0，则不符合人们的习惯， 其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2 因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号. 点 拨 在求一元二次方程的各项及系数时，①要先把原方程化成一般形式(含去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤)；②二次项系数、一次项系数不要漏掉各项的符号． 【例4】一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项系数为1，一次项系数为－1，求m的值． 解：原方程可化为x2－mx＋1＝0. ∵一次项系数为－1， ∴－m＝－1，即m＝1. 随堂检测 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. D 2.若关于的方程是一元二次方程,则的取值范围是( ) A. B. C. D. A 3.已知是方程的一个根,求的值. 解:是方程的一个根, . , 又, 原式. 4.把方程化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. 解:, 所以它的二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 5.请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来: 2x²+5x=x² 3 一元一次方程 （ +1）² 1=x²+4 3x+5=2x 1 分式方程 一元二次方程 6.下列方程是否为一元二次方程?若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 4x²=49; (2) 5x²-2=3x; (3) 0.01y²=2y; (4)(9y一1)(2y+3)=18y²+1. 解：（1）是一元二次方程 （2）是一元二次方程 二次项系数：4，一次项系数：0，常数项：-49 二次项系数：5，一次项系数：-3，常数项：-2 （3）是一元二次方程 二次项系数：0.01，一次项系数：-2，常数项：0 （4）不是一元二次方程 7.已知一个数x与比它大2的数的积等于35.试根据题意列出方程，这个方程是一元二次方程吗? 解：列方程：x（x+2）=35 简化为 x²+2x=35 x²+2x-35=0 这是一元二次方程 课堂小结 1.一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为的整式方程。 2.一般形式：，其中。 3.各项名称：二次项、一次项、常数项；对应系数为a、b、c。 4.判定步骤：先化为一般形式，再验证三要素与。 5.建模思想：从实际问题中抽象出一元二次方程模型。 $