3.2.1.2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 3.2.1.2 配方法（二次项系数为1） ## ✅知识点 ### 1. 配方法定义 把一元二次方程，通过变形，把左边配成一个**完全平方式**，右边是常数，再用直接开平方法求解，这个方法叫配方法。 > 本节只学：$\boldsymbol{x^2+px+q=0}$（二次项系数$\(a=1\)$） ### 2. 核心配方口诀（必考） **二次项系数化为1（本题已经是1，省略），移常数到右边\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)配方两边同加一次项系数一半的平方。** 完全平方公式： $$x^2+px+\boldsymbol{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2$$ ### 3. 解题步骤（$x^2+px+q=0$） 1. **移项**：把常数项移到等号右边 $\boldsymbol{x^2+px=-q}$ 2. **配方**：两边同时加上$\boldsymbol{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}$（一次项系数一半的平方） 3. **写成完全平方**：$\boldsymbol{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=-q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}$ 4. **开平方**：右边≥0才有实数根，$x+\dfrac p2=\pm\sqrt{\text{常数}}$ 5. **解一次方程**，写出两个根 > ⚠️关键点：**两边同时加！不能只加左边！** --- ## 专项练习 ### 一、选择题 1. 将$x^2\(+4\)x=5$配方，两边应加上（） A.$2$ B.$4$ C.$8$ D.$16$ 2. 把方程$x^2-6x-5=0$化成$(x+m)^2=n$形式，则$\(m,n\)$的值是（） A.$\(m=3,n=5\)$ B.$m=-3,n=5$ C.$m=-3,n=14$ D.$\(m=3,n=14\)$ 3. $x^2-8x+\underline{\quad}=(x-\underline{\quad})^2$，横线依次填（） A.$\(16,4\)$ B.$-\(16,4\)$ C.$16,-4$ D.$\(8,4\)$ 4. 方程$x^2+2x+5=0$配方后右边是负数，则方程（） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.一个实根 ### 二、填空题 5. $x^2\(+1\)0x+\underline{\quad\quad}=(x+\underline{\quad\quad})^2$ 6. 方程$x^2-4x=1$配方得：$\boldsymbol{(x-\underline{\quad})^2=}$________ 7. $x^2+3x-1=0$，移项：$x^2+3x=1$，两边加________。 ### 三、基础解答题：用配方法解方程 8.$x^2+2x-3=0$ 9.$x^2-4x-5=0$ 10.$x^2-6x+8=0$ ### 四、中档解答题 11.$x^2+5x-6=0$ 12.$x^2-3x-4=0$ 13.$x^2\(+4\)x+5=0$ ### 五、拓展题 14.求证：代数式$x^2-2x+3$的值恒大于0。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. **B** 解析：一次项系数$4$，一半是$2$，平方$2^2=4$，两边同加4。 2. **C** 解：$x^2-6x=5$，两边加$9$，$x^2-6x\(+9\)=14$，$(x-3)^2=14$，$m=-3,n=14$ 3. **A** $x^2-8x\(+1\)6=(x-4)^2$ 4. **C** 右边负数，平方不可能负数，无实数根。 ### 填空题 5.$\boldsymbol{25\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)5}$ （$10\div2=5,5^2=25$） 6.$\boldsymbol{2\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)5}$，$x^2-4x\(+4\)=1\(+4\) \Rightarrow (x-2)^2=5$ 7.$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$ 一次项系数3，一半$\dfrac32$，平方$\dfrac94$ ### 解答题 8.$x^2+2x-3=0$ 移项：$x^2+2x=3$ 配方：两边$\(+1\)$ $x^2+2x\(+1\)=3\(+1\)$ $(x\(+1\))^2=4$ 开方：$x\(+1\)=\pm2$ $x_1=1,\ x_2=-3$ 9.$x^2-4x-5=0$ 移项：$x^2-4x=5$ 配方：两边$\(+4\)$ $(x-2)^2=9$ $x-2=\pm3$ $x_1=5,\ x_2=-1$ 10.$x^2-6x+8=0$ 移项：$x^2-6x=-8$ 配方：两边$\(+9\)$ $(x-3)^2=1$ $x-3=\pm1$ $x_1=4,\ x_2=2$ 11.$x^2+5x-6=0$ 移项：$x^2+5x=6$ 配方：两边$+\dfrac{25}{4}$ $\left(x+\dfrac52\right)^2=6+\dfrac{25}{4}=\dfrac{49}{4}$ $x+\dfrac52=\pm\dfrac72$ $x_1=1,\ x_2=-6$ 12.$x^2-3x-4=0$ 移项：$x^2-3x=4$ 配方：两边$+\dfrac94$ $\left(x-\dfrac32\right)^2=4+\dfrac94=\dfrac{25}{4}$ $x-\dfrac32=\pm\dfrac52$ $x_1=4,\ x_2=-1$ 13.$x^2\(+4\)x+5=0$ 移项：$x^2\(+4\)x=-5$ 配方：两边$\(+4\)$ $(x+2)^2=-1$ $\because -1<0$ $\therefore$方程无实数根。 14.证明： $x^2-2x+3=(x^2-2x)+3$ 配方：$=(x^2-2x\(+1\))-1+3=(x-1)^2+2$ $\because (x-1)^2\ge0,\therefore (x-1)^2+2\ge2>0$ $\therefore x^2-2x+3$的值恒大于0。 ## 📌考试易错点 1. 配方时**等式两边同时加**一次项系数一半的平方，只加左边直接丢分\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\) 2. 一次项系数是负数时，括号里符号注意，如$x^2-6x$配方是$(x-3)^2$\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\) 3. 一次项系数是奇数，会出现分数，不要算错\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\) 4. 配方后右边负数：直接写**无实数根**。 > 答题模板：移项，配方，写成完全平方式，开平方求解。 下一节：**配方法（二次项系数不为1）**，要不要继续，或者给你一份不带答案的练习卷？ 湘教版（新教材）数学九年级上册 3.2.1.2用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一元二次方程 1 2 3 理解配方法的基本原理，知道“配方”的含义（重点） 掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤（重点） 体会“转化”的数学思想——将一元二次方程转化为可直接开平方的形式 学习目标 导入新课 我们已经学过哪种解一元二次方程的方法？ 直接开平方法 什么样的方程适用此法？ 方程能化为“完全平方式 = 非负数”的形式 左边是含未知数的平方项，右边是大于或等于0的常数。 你还记得完全平方式吗？ 导入新课 x2 +2xy + y2 = (x + y)2 完全平方式： 1、必须是三项式（三项）； 2、两项都能写成平方的形式（两个平方），符号相同 3、两底数乘积积的2倍放中间，符号既可以为正也可以为负。. 完全平方式在结构上有什么特点？ 探究新知 探究一：配方法 说一说:(1) . (2)把完全平方公式从右到左地使用，在下列各题中，填上适当的数，使等式成立: ①; ②; ③ 课堂小结 知识梳理 5 探究新知 探究一：配方法 探究:如何解方程? 前面已经知道，如果能把这个方程写成的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解. 因此，需要在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上；为了使等式仍然成立，应当再减去. 课堂小结 知识梳理 6 探究新知 探究一：配方法 探究:如何解方程? 于是，原方程可写成: ， 移项得. 即. 根据平方根的意义，得或, 解得. 课堂小结 知识梳理 7 探究新知 归纳总结： 一般地，像上面这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法． 配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 课堂小结 知识梳理 8 知识点1 二次三项式的配方 1. 若是一个完全平方式，则 ( ) C A. 4 B. C. D. 以上都不对 返回 举一反三 9 2. 填空： （1）_______ ； （2）_ ____ ； （3）____ ； （4）_ ____ . 25 5 返回 举一反三 10 知识点2 用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程 3. [永州模拟] 用配方法解一元二次方程 的过 程中，变形正确的是( ) C A. B. C. D. 4. [常德期末] 用配方法解一元二次方程 时,可将它转化为的形式，则 的值为( ) D A. B. C. . D. 1 返回 举一反三 11 探究新知 方法总结： 1.核心依据:完全平方公式的逆用，构造完全平方式。 2.配方操作:方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 3.配方法定义:通过配方将一元二次方程转化为可直接开平方的形式求解。 4.关键原则:等式两边同加同减，保证恒等变形。 课堂小结 知识梳理 12 探究新知 探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例3:用配方法解下列方程: (1); (2). 解:(1)移项，得, 配方，得, 因此. 由此得或. 解得. 课堂小结 知识梳理 13 探究新知 探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例3:用配方法解下列方程: (1); (2). 解:(2)移项，得, 配方，得, 因此. 由此得或. 解得. 课堂小结 知识梳理 14 探究新知 方法总结： 1.标准步骤:移项→配方→开方→求解。 2.易错提醒:开方必须写±，不漏负根；配方时左右两边同时加常数。 3.思想方法:降次思想、化归思想，将二次方程转化为一元一次方程。 课堂小结 知识梳理 15 基础巩固题 新知应用 1.填空： (1) x2+4x+1 = x2+4x+ - +1 = (x + )2 - ； (2) x2-8x-9 = x2-8x+ - - 9 = (x - )2 - ； (3) x2+3x-4 = x2+3x+ - - 4 = (x+ )2 - . 4 4 2 3 16 16 4 25         配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数 基础巩固题 新知应用 2.将一元二次方程 x2 - 8x - 5 = 0化成 (x + a)2 = b 的形式，则 b 等于( ) A. -13 B. 13 C. -21 D. 21 D 3.把多项式 进行配方，结果为( ) B A. B. C. D. 配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数 基础巩固题 新知应用 4. 用配方法解下列方程： (1) x²+4x+3=0; (2) x²+8x-9=0; (3) x²+8x=2； (4) x²-5x=6. 解:(1)配方，得 x2+ 4x ＋22-22+3=0, 因此 (x＋2 )2= 1. 由此得 x +2=1或x＋2 = -1. 解得 x1= -1，x2 = -3. 解:(2)配方，得 x2+ 8x ＋42-42-9=0, 因此 (x＋4 )2= 25. 由此得 x +4=5或x＋4 = -5. 解得 x1= 1，x2 = -9. 配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数 基础巩固题 新知应用 4. 用配方法解下列方程： (1) x²+4x+3=0; (2) x²+8x-9=0; (3) x²+8x=2； (4) x²-5x=6. 解：(3) 配方，得 x²+8x+4²-4²=2. 因此 由此得 (x+4)²=18. x+4=或x+4=. x1=-4+，x2=-4. 解得 (4) 配方，得 由此得 x或x. x1=6，x2=-1. 解得 因此 . 5. 用配方法解下列方程： （1） ; 【解】配方，得.所以 ， 解得， . （2） . ,, , 所以 . 返回 举一反三 20 6. 若方程 用配方法可转化 成的形式，则直线 不经过( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 举一反三 21 7. 欧几里得的《几何原 本》中记载了形如 的方程根 的图形解法：如图，画 ，使 AE ，，，以为圆心， 长为半 径画圆，交射线于点， ，则该方程较大的根是____的 长度. （填“”“”“”或“ ”） 举一反三 22 【点拨】 因为 ,所以 ,则 .所以 .所以 ,所以 , .所以.在 中， ，， ，所以 举一反三 23 .所以， 即方程较大的根是 的长度. 返回 举一反三 8. 如图，在用配方法解一元二次方程 时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看 成将一个长是、宽是 、面积是40的长方形割补成一 个正方形，则 ___. 3 返回 举一反三 25 9. 已知，为任意实数 ， 则， 的大小关系为_______. 返回 举一反三 26 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后直接根据开平方的意义求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法 配方法解系数数为1的一元二次方程 用直接开平方法求出它的解 移项：把方程的常数项移到方程的右边，将方程变形为 配方：加上一次项系数一半的平方减法一次项系数一半的平方式，使含未知项是完全平式。 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 二一教育 $