3.1一元二次方程的概念 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的概念”，涵盖定义、一般形式及应用。课堂导入先复习一元一次方程，通过正方形边长、矩形挖圆等实际问题引入，搭建新旧知识支架，引导学生从已知过渡到新知。 其亮点是以数学建模为主线，结合汽车降价、植物分支等现实情境培养抽象能力与模型意识，通过归纳总结、分层练习提升推理能力。学生能增强数学应用能力，教师可高效落实教学目标。

3.1一元二次方程的概念 第一章 图形的相似 初中数学 1 学习目标 能将一元二次方程化为一般形式,正确指出二次项、一次项、常数项及对应系数。 02 理解一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的一般形式,明确的必要性,能准确识别一元二次方程。 01 经历从实际问题抽象为方程模型的过程,提升数学建模、数学抽象与整式运算能力。 03 通过与一元一次方程对比,体会方程知识的内在联系,形成系统的方程认知结构。 04 2 复习回顾 1.一元一次方程的定义是什么？ 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 1.只含一个未知数、未知数最高次数为 1 的整式方程。 2.。 3 情景问题 由题意列:, 整理得 。 一个正方形边长增加 后,面积变为 ,求原边长 ,请列出方程。 4 探究新知 探究一：一元二次方程组的概念 思考：已知一矩形的长为,宽为. 从中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的 ,如图所示. 若挖去的圆的半径为,如何列出应满足的方程（其中圆周率取）？ 5 探究新知 探究一：一元二次方程组的概念 上面问题中涉及的等量关系为： 原矩形的面积 - 挖去的圆面积 = 原矩形面积的 . 根据这个等量关系,可以列出方程 . 移项,整理得 . ① 议一议：方程①中含有几个未知数,未知数的最高次数是多少？ 有一个未知数，未知数的最高次数是1. 6 探究新知 探究一：一元二次方程组的概念 归纳：如果一个方程只含有一个未知数,经过整理后含未知数的项的最高次数是,那么这样的方程称为一元二次方程 . 一般地,关于的一元二次方程通过整理可以使右边为,它的一般形式是（是常数,）, 其中分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 例如,方程 中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 7 探究新知 方法总结： 1.判定三要素：只含一个未知数、最高次数为 2、整式方程。 2.一般形式： ，必须强调二次项系数不为0。 3.识别步骤：先整理成一般形式，再对照三要素判断。 试试看，你掌握一元二次方程的概念了吗？ 8 探究新知 探究二：一元二次方程的概念的应用 例:方程是否为一元二次方程？若是,指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:将原方程去括号,得. 移项,合并同类项,得, 这是一元二次方程,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 注意:可以写成吗? 可以 9 探究新知 探究二：一元二次方程的概念的应用 做一做:若关于的方程是一元二次方程,求常数应满足的条件. 你的结果与其他同学相同吗？ 解:移项,得。 方程是一元二次方程， 二次项系数，即。 10 探究新知 方法总结： 1.整理步骤：去括号→移项→合并同类项→右边化为 0→二次项系数化正。 2.识别要点：分清二次项、一次项、常数项与对应系数，注意符号。 3.含参方程判定：先合并同类项，令二次项系数≠0。 11 课堂练习 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2.若关于的方程是一元二次方程,则的取值范围是( ) A. B. C. D. D A 12 课堂练习 3.已知是方程的一个根,求的值. 解:是方程的一个根, . , 又, 原式. 13 课堂练习 4.把一元二次方程化为一般式,当二次项为3x2时,一次项和常数项分别为( ) A. B. C D 5.把方程化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. D 解:, 所以它的二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 14 课堂练习 6.近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是( ) A.　　　 B. C. D. 7.把一元二次方程化成一般形式是　 　.  8.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为　 　. B 15 课堂练习 9.一元二次方程化为一般式后为,试求的值的算术平方根. 解:整理, 得, 因为化为一般式后为, 所以,解得, , 的值的算术平方根是5. 16 课堂练习 10.已知关于的方程. (1)为何值时,此方程是一元一次方程? (2)为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 解:(1)根据一元一次方程的定义可知: , 解得:, 所以当时,此方程是一元一次方程; (2)根据一元二次方程的定义可知:, 解得:. 一元二次方程的二次项系数为,一次项系数为,常数项为. 17 课堂小结 知识点： 1.一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为的整式方程。 2.一般形式：，其中。 3.各项名称：二次项、一次项、常数项；对应系数为a、b、c。 4.判定步骤：先化为一般形式，再验证三要素与。 5.建模思想：从实际问题中抽象出一元二次方程模型。 知识梳理 18 课后提升 基础作业： 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D.0 2.将方程化成的形式,则的值分别为( ) A.1,6,10 B.1,－6,－10 C.1,－6,10 D.1,6,－10 3.将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是____,其中,一次项系数是____,常数项是____. D B -2 -15 19 课后提升 基础作业： 4.若关于的方程的一个解为,则的值为______. 5.当k______时,方程是关于的一元二次方程. 6.某蔬菜种植基地年的蔬菜产量为吨,年的蔬菜产量为吨,设每年蔬菜产量的年平均增长率都为,则年平均增长率应满足的方程为( ) A. B. C. D. -1 B 20 课后提升 能力提升： 7.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.如果设羊的只数为,则根据民歌的大意,你能列出的方程是____________. 8.根据下列问题,列出关于的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式. (1)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数.(设十位数字为) (2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为,面积为,求它的两条直角边的长. 21 课后提升 提升作业： 解:(1)因为十位数字为,则个位数字为,百位数字为, 根据题意得：, 化简为； (2)设其中一条直角边的长为,则另一条直角边的长为, 根据题意得：, 整理得：. 22 课后提升 9.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 10.如图,一长为、宽为的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为,道路宽度为,则题中涉及的等量关系式为( ) A. B. C. D. 提升作业： D D 23 课后提升 提升作业： 11.方程的二次项系数与一次项系数及常数项之积为( ) A. B. C. D. 12.若关于的一元二次方程的常数项为0,则的值等于____________. 13.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步,它的宽比长少步,问它的长与宽各多少步？利用方程思想,设宽的步数为x,则依题意列方程为____________. D -2 24 课后提升 拓展作业： 14.某商店经销的某种商品,每件成本为元,经市场调研,售价为元,可销售件,售价每上涨元,销售量将减少件,如果这种商品全部销售完,那么该商店可盈利元,设这种商品的售价上涨元,根据题意,可列方程为_________________. 15.如果方程与方程有且只有一个公共解,求的值. 解:两个方程有且只有一个公共解, , 当时两个方程完全相同,故,, 当时,代入第一个方程可得,解得:. 25 二一教育 $