专题03 整式的乘除运算（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03整式的乘除运算 题型图谱导航总览 题型1计算单项式乘多项式（重点） 基础固本强基 题型2计算多项式乘多项式（重点） 题型3多项式除以单项式（重点） 题型4多项式乘多项式一化简求值（重点） 提升进阶突破 题型5整式四则混合运算（重点） 题型6已知多项式乘积不含某项求字母的值（难点） 拔高压轴破难 题型7多项式乘多项式与图形面积（难点） 题型8多项式乘法中规律性问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1计算单项式乘多项式（共5小题) 1.(25-26七年级上上海宝山期中)计算：-3x2(2x-4y)+2xx2-x 2.62526七年级上全国期中)先化筒，再求值：子-4a+2a-8-}12,其中a= 3.(25-26七年级上·上海杨浦·期中)计算： 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26七年级上上海浦东新期中)计算：3x-2x2-x+1-x2x-3-41-x2 5.(25-26七年级上·上海闵行阶段检测)计算： 2 题型2计算多项式乘多项式（共5小题） 6.(25-26七年级上·上海普陀期中)计算：3x+y2x-y-2xx-2y. 7.（25-26七年级上·上海·期中)计算：2a-1+3bl1+2a-3b」 8.(25-26七年级上·上海期中)计算：2x-3y2x+3y-(2x-y2y+x. 9.(25-26七年级上·上海金山期中)计算：3x+2y2x+3y-2x-3y-3y-x. 10.(25-26七年级上·上海期中)已知2x-3x+1=2x2+bx+c,则b+c= 题型3多项式除以单项式（共5小题） 11.(25-26七年级上上海金山期中)计算：2x2-2x=2x-(-2x}=一 12.(2526七年级上上海浦东新期中)计算：3xy-2xy2xy片 13.（25-26七年级上·上海嘉定.期中)计算： (四0a+2b-3la-2b+3 2x-yP-(2x-ylly+2x)-4xy)+2y 14.（256七年级上上海阁行期中)计第：y层xy-6xy3xy3y 15.(24-25七年级上上海期中)计算：a×3-9ax:3ax 提升进阶突破 题型4多项式乘多项式—化简求值（共5小题） 16.（24-25七年级下-广西梧州：期中)先化简，再求值x-2x2-6x-xx2-2x-8其中x=-1 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26七年级上上海期中)先化简再求值， ✉2✉2 -0. 18.(25-26七年级上·上海期中)若a2-a-10=0,求6-a5+a的值是 19.(25-26八年级上全国课后作业)先化简，再求值：a+b3a-2b-bla-b,其中a=号，b=-1. 20.（24-25七年级下宁夏银川-期中)先化简，再求值：3x2+3x+号y号xy 73 9w-2x 其中x=3, y=-3. 题型5整式四则混合运算（共5小题） 21.(25-26七年级上·上海普陀期中)先化简，再求值：[a-3b}-a+2ba-2b小：-2b,其中a=号 b=-2. 2（25264缀上上房期种)设M是一个经式，且M-号×y=2xy+号x,则M= 23.(25-26七年级上四川泸州：期中)计算：2xy2-5x-4x-1+3xy-X, 24、（2526七年级上上海第中)先化商，再求值：言y-6y1+学×y号y子共中 3 2y=-3 25.（25-26七年级上·上海松江·期中)计算： 四4xy2-2xy+-2xy2 (2)a+6la-2-aa+3 (3)201+201×198+992 拔高·压轴破难 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6已知多项式乘积不含某项求字母的值（共5小题） 26.(25-26七年级上·上海青浦·期中)已知多项式x-b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且 常数项为-4，试求a的值. 27.(24-25七年级下·广东深圳·期中)若x+1x+m的计算结果中没有关于x的一次项，则m= 28.（25-26七年级上·江西景德镇·期中)已知关于x的多项式x2+x与mx2+x-1的乘积展开式中不含x4 项和x2项，求m-no5的值. 29.(25-26七年级上·上海杨浦·期中)关于x的整式x2+3x-与x2+bx相乘的积不含二次项和三次项， 求a与b的值. 30.(24-25七年级下.四川成都期中)关于x的整式mx-22x+1+x2+n化简后不含x的项和常数项. (1)分别求m、n的值： (②)求m2025n2026的值. 题型7多项式乘多项式与图形面积（共5小题） 31.(25-26七年级上·全国·期中)如图，某学校设计在长为ym,宽为36m的大长方形场地中，并排新建 三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为m,篮球场的宽为bm. b 36m (I)用含a,b的代数式表示一个篮球场的周长： (2)当a=4,b=15时，求整个场地的面积， 32.(河南省商丘市虞城县2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题)长方形的长为3a+2b,宽 为a-b(a>b>0). (1)求长方形的周长（用含4b的代数式表示）； (2)求长方形的面积（用含a、b的代数式表示）； 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当a=3,b=1时，求长方形的周长和面积. 33.(25-26七年级上·重庆璧山·期中)书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有 一本数学课本如图1所示，其长为28cm、宽为20.5cm、厚为1cm.小军用一张长方形纸包好了这本数学 书，他将封面和封底各折进去XCm,封皮展开后如图所示，求： 20.5cm 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (1)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含x的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去1.5cm时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少cm2？ 34.(25-26七年级上山西长治期中)如图，有一块长为3a+2米、宽为a-1米的长方形花园（阴影部 分)，因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园.请用含的 代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）， 1米 1米 1米 1米 35.(25-26七年级上·福建三明期中)如图1是一个燕尾槽榫端接，图2是它的一个截面图，是在一个长 方形上方正中间挖去一个等腰佛形。如果该长方形长为阳，窗b,测得棉形的下底a,上底为号a,腰 长为长方形堂的吃·梯形的商为长方形宽的 1 燕尾槽榫端接 a 图1 图2 (1)求截面图的周长（用含a,b的代数式表示）； 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②)为了保证燕尾槽榫端接的强度，必须保证挖掉的梯形面积不得超过长方形面积的后， 请问截面为图2的 工件是否符合要求？并说明理由。 题型8多项式乘法中规律性问题（共5小题) 36.（24-25七年级下山东·期中)观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1: (x-1)x2+x+1=x3-1 (x-1)x3+x2+x+1=x4-1 … 根据规律计算：22022-22021+22020-22019+··2-23+22-2+1的值是 37.(24-25七年级下：广东揭阳：期中)你能求x-1x2m5+×0m4+×2023++x+1的值吗？遇到这样的问 题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①x-1川x+1=x2-1: ②x-1川x2+x+1=x2-1 ®x-1x2+x2+x+1=x4-1′ … ()由此我们可以得到：x-1x25+x224+x2023++x+1= (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①2025+22024+22023+…+2+1： ②-21225+1-21204+1-2203+…+-2+1 38.(24-25七年级下·四川成都·期中)【观察思考】 x-1x+1=x2-1, 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1jx2+x+1=x3-1' x-1川x3+x2+x+1=x4-1' 【规律发现】 (1)根据规律可得x-1x1++x+1=- (其中n为正整数) 【规律应用】： (2)①计算：-22024+22023-22022++2-1： ②若x3+x2+x+1=0,求x2025-1的值. 39.(24-25七年级下·广东深圳·期中)观察下列各式的规律，解答下列问题. 第1个等式：a-b川a+b=a2-b2, 第2个等式：a-bla+b+b21=a2-b3 第3个等式：a-bla3+a2b+ab2+b到=a-b 第4个等式：a-ba+ab+a2b2+ab3+b=a-b (1)根据上述规律，请写出第5个等式： (②猜想：a-b川a+a-lb++ab+b= 3)利用(2)中的结论，求32025+32024++3+1的值. ④已知x1化简x-1x2025+2x2024+2x2023++2x+2 40.(25-26七年级上·上海宝山期中)观察下列各式 x-1川x+1=x2-1 x-1x2+x+1=x3-1 x-1x3+x2+x+1=x4-1 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1jx4+x3+x2+x+1=x5-1 计算：-2200+-2}29+-22018+…-23+-2+-2+1= 8/8专题03 整式的乘除运算 基础·固本强基 题型1 计算单项式乘多项式（重点） 题型2 计算多项式乘多项式（重点） 题型3 多项式除以单项式（重点） 提升·进阶突破 题型4 多项式乘多项式——化简求值（重点） 题型5 整式四则混合运算（重点） 拔高·压轴破难 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（难点） 题型7 多项式乘多项式与图形面积（难点） 题型8 多项式乘法中规律性问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 计算单项式乘多项式（共5小题） 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，先运算多项式乘单项式，再合并同类项，得． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练进行整式运算是解题关键；先去括号，再合并同类项完成化简，将代入求值即可． 【详解】解： 当时， ． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 5．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算积的乘方，再算单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型2 计算多项式乘多项式（共5小题） 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式． 通过观察表达式，将原式变形为平方差公式的形式，然后计算． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式和多项式乘以多项式的法则，进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，平方差公式，去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，能正确根据法则展开是解题的关键； 通过展开左边多项式，与右边多项式比较系数，求出和的值，再计算它们的和． 【详解】∵左边， 右边， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型3 多项式除以单项式（共5小题） 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据多项式除以单项式法则、积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为： 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）根据乘法公式计算即可； （2）先根据乘法公式计算，再计算加减，最后计算除法即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．先计算单项式乘以多项式和积的乘方，再计算多项式除以单项式即可． 【详解】解： 15．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，即多项式除以单项式．将多项式的每一项分别除以单项式，然后利用有理数运算和整式除法法则进行化简． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 提升·进阶突破 题型4 多项式乘多项式——化简求值（共5小题） 16．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 17．（25-26七年级上·上海·期中）先化简再求值，，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 根据平方差公式分别计算、，进而化简原整式，根据绝对值的非负性、平方的非负性求出x、y的值，进而代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 18．（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是________． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式； ∵， ∴原式． 20．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型5 整式四则混合运算（共5小题） 21．（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 22．（25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式除法的意义，被除数等于除数乘以商，通过分配律计算即可． 【详解】由题意可得： 故答案为：． 23．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，合并同类项，掌握运算顺序是解题的关键． 先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： = = = 24．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，同底数幂的乘除法，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 25．（25-26七年级上·上海松江·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），先计算整式的乘除，再计算整式的加减； 对于（2），先计算整式的乘除，再算加减； 对于（3），根据完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 拔高·压轴破难 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共5小题） 26．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 27．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解． 【详解】解： 若的计算结果中没有关于的一次项， 则， 解得：． 28．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 29．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 30．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 题型7 多项式乘多项式与图形面积（共5小题） 31．（25-26七年级上·全国·期中）如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求代数式的值和列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意找到篮球场的长即可求得周长； （2）找到整个场地的长，结合面积公式把a和b的值代入，求解即可． 【详解】（1）解：一个篮球场的周长为 （2）由图可知，， 整个场地的面积为， 当，时，， 答：整个场地的面积为 32．（河南省商丘市虞城县2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）长方形的长为，宽为 (1)求长方形的周长（用含a、b的代数式表示）； (2)求长方形的面积（用含a、b的代数式表示）； (3)当时，求长方形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为26，面积为22 【分析】本题考查了整式的运算及代数式求值，解题的关键是掌握长方形的周长、面积公式，并正确进行整式的加减与乘法运算． （1）根据长方形周长公式，代入长和宽计算； （2）根据长方形面积公式，利用多项式乘法展开计算； （3）将、代入（1）（2）的代数式求值． 【详解】（1）解：长方形周长公式为（长 + 宽）， 代入长、宽得， 故长方形的周长为； （2）解：长方形面积公式为长×宽， 代入长、宽得， 长方形面积公式为：； （3）解：当时 周长：代入，得， 面积：代入，得． 33．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去，封皮展开后如图所示，求： (1)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少？ 【答案】(1)包书纸的长是，宽是 (2)包书纸的面积是 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，注意计算的准确性即可，正确读懂题意是解题关键． （1）根据封皮的展开图长和宽列代数式即可得到答案； （2）将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：包书纸的长是， 包书纸的宽是， 答：包书纸的长是，宽是； （2）解：当时，， 答：包书纸的面积是． 34．（25-26七年级上·山西长治·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【答案】（平方米） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： （平方米）， ∴扩建后的长方形的花园面积为（平方米）． 35．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图1是一个燕尾槽榫端接，图2是它的一个截面图，是在一个长方形上方正中间挖去一个等腰梯形．如果该长方形长为，宽为，测得梯形的下底为，上底为，腰长为长方形宽的，梯形的高为长方形宽的． (1)求截面图的周长（用含，的代数式表示）； (2)为了保证燕尾槽榫端接的强度，必须保证挖掉的梯形面积不得超过长方形面积的，请问截面为图2的工件是否符合要求？并说明理由． 【答案】(1) (2) 截面为图2的工件符合要求，理由如下： 因为， 所以截面为图2的工件符合要求． 【分析】本题主要考查了列代数式、梯形的面积公式、多项式乘法运算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先求出然后再与长方形面积的比较即可． 【详解】（1）解：． （2）略 题型8 多项式乘法中规律性问题（共5小题） 36．（24-25七年级下·山东·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：的值是______． 【答案】 【分析】先观察给出的等式，归纳出一般规律：因为等式左边是与一个多项式相乘，右边是，所以可总结出的规律．分析待求式子的结构，待求式是正负交替的幂次和，可将其转化为符合上述规律的形式；将替换为，利用类似的规律进行转化．利用归纳出的规律，将待求式与规律式子对应，通过变形构造出可以直接套用规律的形式，进而求解． 【详解】解：根据题干给出的式子，归纳得到通用规律： ， 设， 观察符号规律，可将改写为：， 将，代入规律公式： ， 化简计算： ， ∴． 37．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察题干给出的等式，归纳一般性规律，直接写出结果． （2）①给原式乘以，式子的值不变，套用得到的规律计算． ②给原式乘以，套用规律算出乘积，再除以得到原式结果． 【详解】（1）解：探索规律： ， ， ， ， ∴可得规律：， 令，则 ； （2）解：① ； ②， ． 38．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴ ． 40．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察所给等式，发现，将和代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． $