专题04 乘法公式、因式分解（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04乘法公式、因式分解 题型图谱导航总览 题型1运用平方差公式计算（高频） 基础固本强基 题型2运用完全平方公式计算（高频） 题型3判断是否是因式分解（高频） 题型4平方差公式与几何图形（重点） 提升·进阶突破 题型5通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型6分解因式（重点） 题型7完全平方公式在几何图形中的应用（难点） 拔高·压轴破难 题型8求完全平方式中的字母系数（难点） 题型9因式分解的应用（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1运用平方差公式计算（共5小题) 1.(2425七年级下-陕西西安期中)若x+16?=2126'则x+26x+6的值是 2.(25-26七年级上上海青浦期中)已知a+b=5,a-b=4,则a2-b2= 3.(24-25七年级下·安徽宿州期中)若有理数a、b满足(a2+b2+1)(a2+b2-1)=15,则a2+b2=() A.4 B.2 C.+4 D.±2 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.（25-26七年级上·上海普陀期中)运用乘法公式计算：20252-2024乙x202 7 8 8 5.（25-26七年级上·上海期中)计算：20242-2019×2029 题型2运用完全平方公式计算（共5小题） 6.(25-26七年级上上海青浦期中)已知x2-3x+1=0,那么x2+x+ 1 7.(25-26七年级上上海普陀期中)计算：-x-y川-x-y=一 8.25-26七年级上河南洛阳期中)已知2X-4?+x+2y-8=0:则x-y。一 9。(25,26七年级上海南行直精县级单位期中)当x=7y=4时。求代数式×2+2y+y的值。 10.(25-26七年级上上海金山：期中)解方程：-2x1-x=3x+2-x+4川x-4 题型3判断是否是因式分解（共5小题） 11.(25-26七年级上·上海金山期中)下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是() A.x3-x=xx-1川x+1 B.3x3-x+2=x3x2-1+2 C.a2a-1=a3-a2 D.a2-b2+1=a+ba-b+1 12.(25-26七年级上·上海金山期中)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.24=2×2×6 B.a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1 C.-4y2+4y-1=-(2y-1)2 D.m2-2m-1=m(m-2-1) m 13.(25-26七年级上·上海·期中)下列从左到右变形，是因式分解的有() 12xy3=2xy6y2;x2-6xy+5y=xx-6y+5y2:-2x+3yl2x+3y=-4x2+9y2: 3x-6y=3(x-2y:3x2y-xy=xy 3x-1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(25-26七年级上·上海浦东新·期中)下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是() A.4a+2=22a+1 B.a2-1=a+1la-1 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.a2+2ab+b2+1=a+b+1 D.{a+1la-2=a2-a-2 15.(25-26七年级上·上海崇明·期中)下列从左到右是因式分解的是() A.2m+4=2m+2 B.x+4x-4=x2-16 c.m2-=m+ 1 4 2 2 D.2y3-3y2+y=y2y-3y 提升进阶突破 题型4平方差公式与几何图形（共5小题） 16.(25-26七年级上四川广安·期中)如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2 是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.设图1中阴影部分的面积为$1，图2中阴影部分面积为S2. 图1 图2 (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与s的面积：S1=一，S2= (2)根据图1与图2的面积相等关系得到等式，运用这个等式可以简化一些乘法计算.例如，计算51×49，可 作如下变形：51×49=50+1×50-1=50-1=2500-1=2499 运用上述方法计算199×201. 17.(25-26七年级上·四川泸州·期中)如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为 b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）· 图1 图2 (1)将图1阴影部分的面积记为S1,图2的面积记为S2,若用含a、b的代数式表示S1和S2,则S1=一 S2= 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)根据简拼过程易得S1=S2,从而得到关于a、b的等式为 (3)利用(2)中的结论，求1052-952的值 18.(25-26七年级上·湖北荆州·期中)如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为 b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）， 6 图1 图2 (1)将图1阴影部分的面积记为S1,图2的面积记为S2,若用含a、b的代数式表示S1和S2,则S1三 S2= (2)根据简拼过程易得S1=S2,从而得到关于a、b的等式为 (3)利用(2)中的结论，求952-852的值. 19.(25-26七年级上·上海·期中)请完成以下题日： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为bb<的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影 部分的面积.方法① ；方法② 由此可以验证的乘法公式是 a (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为bb<的小正方体（如图），通过不同的方法计算图 中余下几何体的体积.方法①一；方法② 由此可以得某个多项式因式分解的等式是 并用所学过的知识说明这个等式成立. 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)结合并使用(2)得到的等式分解因式：8x3+y. 20.(25-26七年级上·北京·期中)在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的.当然，没有敏锐的观 察力是做不到的.我们往往是这样来研究问题的：观察一猜想一验证一应用.下面我们也来这样探索一个 问题.如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为b的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成 一个长方形（不重叠无缝隙） a a 图① 图② (1)图①中阴影部分的面积是_（用含、b的代数式表示）；图②中阴影部分长方形的长是_，宽是_，面积 是（用含a、b的代数式表示）. (2)根据图①和图②的面积关系，请你用含、b的等式表示出你发现的结论：-· (3)当a=-4,b=2时，请你验证你的结论是否成立， (4利用你发现的结论，完成下列问题：若a2-b2=6,且a+b=3,则a-b=_ 题型5通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 21.(25-26七年级上·上海普陀·期中)已知ab=2,a+b=5,求： (四(a-b)2 2ya2-1lb2-1 22.(25-26七年级上·四川成都期中)若x2-2x+1=0,则代数3x2-9x+1的值为 23.(25-26七年级上·上海期中)已知x-y=2,Xy=a+3,x2+y2=34,则a的值 24.（25-:26七年级上：上海期中)若x满足2024-x+2026-X2-4042则2024-x12026-x的值为 25.（25-26七年级上上海期中)已知数小z满足×2+y+2=4:则3x-y+3y-2P+13z-X2的 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最大值是 题型6分解因式（共5小题） 26.（24-25七年级下·浙江杭州期中)因式分解： (0四02x2-x (2②3x2-6xy+3y2 27.(25-26七年级上.上海青浦·期中)分解因式：m-n川x+3y-n-mx-y. 28.(25-26七年级上·上海期中)因式分解：c2-a2-b2+2ab 29.（25-26七年级上·上海·期中)下列因式分解正确的是() A.x(x-y)-y(x-y]=(x-yl(x+y) B.4x2+6x2-=2x2x+3x2 C.x2-xy+x=xx-y列 D.[x+2yP-(2x-yP=3x+yl(3y-x) 30.(25-26七年级上·上海期中)因为x2+2x-3=x+3川x-1,这说明多项式x2+2x-3有一个因式为 X-1,我们把x=1代入多项式，发现x=1能使多项式x2+2x-3的值为0. 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数α可以使该整式的值为0，那么这个 整式一定有一个因式为x-,进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解.例如因式分解 x2+8x+7,当x=-1时，原式的值为0，因此一定有因式x+1,设x2+8x+7=x+1川x+b, 因为x+1川x+b=x2+b+1x+b 解得，b=7 所以，x+8x+7=x+1x+7 利用上述规律，回答下列问题： (1)若x-3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值. (2)若x-3和x-4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解. (3)分解因式：2x3-x2-5x-2. 拔高压轴破难 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7完全平方公式在几何图形中的应用（共5小题) 31.(24-25七年级下山东·期中)数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片 如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形 b b 图1 图2 (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1：-： 方法2： (2)请直接写出三个代数式：(a+b),a2+b2,ab之间的一个等量关系 (3)若要拼出一个面积为a+2b川a+b的矩形，则需要A类卡片_张，B类卡片张，C类卡片_张 (4)已知m+n=5,m2+n2=20,根据(2)题中的等量关系，求mn的值. 32.(24-25七年级下·浙江绍兴期中)如图1是一个长为4、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分 成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2） 6 Q a a e 图1 图2 (①)观察图2请你写出a+b~a-b2~b之间的等量关系是 ②根据1)中的结论.若x+y5,Xy是，则x-y= 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)拓展应用：若2019-m?+m-2020P=7求2019-mm-20201的值. 33.(24-25七年级下·浙江丽水·期中)【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 |a+b2=a2+2ab+b2 abl+☒a 花 草 ab b B 图① 图② 图③ (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 (2)【应用】根据图②所得的公式，若a+b=15,ab=4,则a2+b2= 3)若x满足5-xx-1=2求5-x+x-1的值. (4)【拓展】如图③，某学校有一块劳动基地梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE 该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草.经测量种花区域的面积和 为109平方米，AC=18米，求种草区域的面积和. 34.(25-26七年级下·陕西宝鸡阶段检测)观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为 (a+b)2=a2+2ab+b2. ab 花 ab a 图1 图2 图3 (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式 (2)根据图2所得的公式，若a+b=8,ab=5,求a2+b的值； (3)如图3，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在三角形 AED和三角形BEC区域内种花，在三角形CDE和三角形ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为 102平方米，AC=18米，求种草区域的面积和， 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(25-26七年级上·上海青浦·期中)现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别 是a、b、c.用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4 张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为C的正方形）， 6 bc a 6 c 图1 图2 图3 图4 图5 (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和.所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示 为a+b2 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含a、b的代数式表示为： 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含a、b、c的代数式表示为： 结合结论②和结论③，可以得到等式： (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3, 且S1+S2+S3=30,求S2的值： (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中=3，b=4,c=5,求图中 阴影部分的面积之和。 题型8求完全平方式中的字母系数（共5小题) 36.(24-25七年级下四川成都期中)若关于x的多项式x2-4x+a（其中0是常数)是完全平方式，则c 的值是 37.(25-26七年级上·上海期中)已知关于x的整式x2-k+2x+16是某个关于x的整式的平方，则k的 值是 38.(25-26七年级上上海期中)关于x的整式9m2x2+x+是个完全平方式，则m= 4 39.(24-25七年级下·安徽宿州·期中)【问题提出】 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当多项式ax2+bx+ca0是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当a=1,b=-2,c=1时，x2-2x+1=(x-1)2,发现：(-2)2=4×1×1： 当a=1,b=6,c=9时，x2+6x+9=(x+3)2,发现：62=4×1×9： 当a=4,b=-12,c=9时，4x2-12x+9=(2x-3)2,发现： 【问题解决】 (2)当ax2+bx+c=(mx+n)a0时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论： 【拓展运用】 (3)若多项式4y+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式.小颍 是这样做的，请按照小颖的思路补全过程， 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为Py,… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为qy,… 40.(25-26七年级上上海期中)若关于x的整式9X2+kx+19是某个整式的平方，则常数k的值为 16 题型9因式分解的应用（共5小题） 41.(25-26七年级上·山西长治期中)小晋是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： a-b,X-y,X+y,a+b,x2-y,a?-b分别对应下列六个字：西、爱、我、山、游、美，现将 x2-y2a2-x2-y2b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.我爱美 B.美我山西 C.山西游 D,我爱山西 42.(25-26七年级上全国·期中)阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b及a-2ab+b叫做完全平方式， 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式， 再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法， 不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、 最小值等， 例1：因武分解：x2+2x-3=x2+2x+1-1-3=x+12-4=x+1+2川x+1-2=x+3川x-1 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2：求代数式2x2+4x6的最小值.由2x2+4x-6=2x2+2X-3=2x+12-8可知当x=-1时， 2x2+4x-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：m2-6m-16=: (2)若a,b满足a2+b2-4a+6b+13=0,求b的值： 43.(25-26七年级上·上海·期中)数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重 要理念.在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原 理：如多项式x-y因式分解的结果为x-yx+yx2+y2当x=9'y=9时，各因式的值是x-y=0 x+y=18,x2+y2=162,于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式9x3-Xy2,取x=12, y=12时，密码不可能为() A.124824 B.241248 C.122448 D.482124 44.(25-26七年级上·上海松江·期中)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,的平方差，且 m-n=2,则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当m=3,n=1时，8=32-12,8是一个“智慧优数”， 若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 45.（25-26七年级上·上海杨浦·期中)阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+X-2x-1x+2,这时就说x-1和x+2是x2+x-2的因式. 那么，不进行因式分解能不能判断x一这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+X-2我们分别计算： 当x=1时，原式=(1)+1-2=0；当x=-2时，原式=(-2)2+-2-2=0 当我们把x=1和x=-2分别代入x2+x-2,整式x2+x-2的值都等于0，那么x-1和x+2就是整式 x2+x-2的两个因式.通过归纳发现： 如果当x=a时，一个整式的值等于0，那么x-a就一定是这个整式的一个因式. 反过来，如果x-a是整式的一个因式，那么当x=a时，这个整式的值一定等于0. 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P=x4-x3-7x2+5x+10, (1)请判断x+1是否是整式P的一个因式： (2)当整式P的一次项系数变为k时，而x+1仍是它的一个因式.求此时k的值： 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)请尝试将整式P进行因式分解. 12/12专题04 乘法公式、因式分解 基础·固本强基 题型1 运用平方差公式计算（高频） 题型2 运用完全平方公式计算（高频） 题型3 判断是否是因式分解（高频） 提升·进阶突破 题型4 平方差公式与几何图形（重点） 题型5 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型6 分解因式（重点） 拔高·压轴破难 题型7 完全平方公式在几何图形中的应用（难点） 题型8 求完全平方式中的字母系数（难点） 题型9 因式分解的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 运用平方差公式计算（共5小题） 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是__________． 【答案】2026 【分析】把所求式子变形为，再由平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为平方差公式的形式计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】25 【分析】本题考查有理数的运算，平方差公式的应用，活用平方差公式进行运算是解题的关键．根据题意，将原式转化为，然后利用平方差公式计算出答案即可． 【详解】解： 题型2 运用完全平方公式计算（共5小题） 6．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）已知；则______． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 9．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：当，时， ． 10．（25-26七年级上·上海金山·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据乘法公式去括号，进而进行求解即可． 【详解】解：， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型3 判断是否是因式分解（共5小题） 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，符合题意； B、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 12．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 13．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 14．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、仅提系数，不属于因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不符合题意； 故选：B 15．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式，且通常要求在整数系数范围内进行． 选项A左边是多项式，右边是乘积形式，且系数为整数；选项B是整式乘法；选项C右边因式含有分数系数，不属于整数系数的因式分解；选项D左右两边不相等． 【详解】选项A：左边是多项式，右边是数字与整式的积，∴ A不是因式分解． 选项B：左边是乘积形式，右边是多项式，∴ B是整式乘法，不是因式分解． 选项C：左边是多项式，右边是乘积，∴ C是因式分解． 选项D：左边，右边 ，展开右边为 ，与左边不相等，∴ D错误． 故选：C． 提升·进阶突破 题型4 平方差公式与几何图形（共5小题） 16．（25-26七年级上·四川广安·期中）如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分面积为． (1)用含有字母和的式子分别表示与的面积：______，______ (2)根据图与图的面积相等关系得到等式，运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． 运用上述方法计算． 【答案】(1)， (2)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形． （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式；将原式变形为，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴； ∴ ． 17．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则______，______； (2)根据简拼过程易得，从而得到关于a、b的等式为__________ (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查列代数式和平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中阴影部分的形状和面积的计算方法，用代数式表示其面积即可； （2）由（1）可得结论； （3）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 所以，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 因此面积， 故答案为：，； （2）解：由（1）得； 所以有或， 故答案为：或， （3）解： ． 18．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）如图1是一张边长为α的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含α、b的代数式表示和，则________，________； (2)根据简拼过程易得，从而得到关于α、b的等式为________________． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)1800 【分析】本题考查列代数式和平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中阴影部分的形状和面积的计算方法，用代数式表示其面积即可； （2）由（1）可得结论； （3）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 所以，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 因此面积， 故答案为：，； （2）解：由（1）得； 所以有或， 故答案为：或， （3）解： ． 19．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2) 方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）略 故答案为：；；； （3）解： ． 20．（25-26七年级上·北京·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的．当然，没有敏锐的观察力是做不到的．我们往往是这样来研究问题的：观察—猜想—验证—应用．下面我们也来这样探索一个问题．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）． (1)图①中阴影部分的面积是 （用含、的代数式表示）；图②中阴影部分长方形的长是 ，宽是 ，面积是 （用含、的代数式表示）． (2)根据图①和图②的面积关系，请你用含、的等式表示出你发现的结论： ． (3)当，时，请你验证你的结论是否成立． (4)利用你发现的结论，完成下列问题：若，且，则 ． 【答案】(1)；；； (2) (3) 解：当，时，， ， ∴此时； (4) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积；图②的阴影部分是一个长方形，其长为两个正方形的边长之和，其宽为两个正方形的边长之差，据此可得面积； （2）根据图①和图②的阴影部分面积相等，即可得到答案； （3）根据（1）所求分别计算出两个图形的面积即可得到结论； （4）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分长方形的长是，宽是，则面积为； （2）解：∵图①和图②中的阴影部分面积相等， ∴； （3）略 （4）解：∵，且，， ∴， ∴． 题型5 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 21．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， 22．（25-26七年级上·四川成都·期中）若，则代数的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，根据已知式子，利用完全平方公式求解出x的值，然后将x的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由，得， 所以， 代入，得． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，，则的值______． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据，然后将代入求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·上海·期中）若x满足，则的值为________． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 25．（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是________． 【答案】52 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将目标表达式展开，利用约束条件化简，转化为求交叉项的最小值，通过平方和公式确定其范围，进而得到最大值． 【详解】解：设， 则 ， 由，得， ， 若求的最大值，即求的最小值， ， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 题型6 分解因式（共5小题） 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式法进行因式分解即可； （2）综合提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 27．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 28．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解： ． 29．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的方法，利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、 ， 故选：． 30．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先试根和，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型7 完全平方公式在几何图形中的应用（共5小题） 31．（24-25七年级下·山东·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)已知,，根据（2）题中的等量关系，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)． 【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）利用求解即可． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）解：∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）解：拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）解：根据（2）题可得， ∵,， ∴， ∴． 32．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)4或 (3) 【分析】（1）由面积公式和同一个图形面积相等列出等式即可； （2）由（1）可得，，求出即可； （3）将式子变形为，代入已知即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，大正方形的面积， 或大正方形的面积， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， 故答案为：4或； （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 33．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． (2)【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)若满足，求的值． (4)【拓展】如图③，某学校有一块劳动基地梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)平方米 【分析】（1）：由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，由题意得，由代入计算即可； （4）设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为： ， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：217； （3）解：设，则，， ∴ ； （4）解：设， 由题意得：， ，即， （平方米）， 即种草区域的面积和为53平方米． 34．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式__________； (2)根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)54 (3)种草区域的面积和为平方米 【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）设米，米，由题意得，米，，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ； （2）解：因为，， 所以； （3）解：设米，米， 由题意得，米，， 即， 因为， 所以，解得， 所以种草区域的面积和为（平方米）． 35．（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)，， (2) (3)6 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （2）根据结论求出，然后进行计算即可得解； （3）根据结论求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴， ∴ ∴结合结论②和结论③，可以得到等式； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：由（2）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 题型8 求完全平方式中的字母系数（共5小题） 36．（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可得到常数的值． 【详解】解：完全平方公式的结构为，将多项式变形可得，对比完全平方公式的结构，可得， ， 37．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【答案】或6 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 38．（25-26七年级上·上海·期中）关于的整式是个完全平方式，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式，将整式与的形式比较系数，求出与的关系，进而得到的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由整式是一个完全平方式， 设， ∴比较系数得，即，，即，又， ∴，即或， 当时，，当时，， 故答案为：或． 39．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【答案】(1) (2) 解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； (3) 解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 【分析】（1）根据示例可得到结果； （2）猜想规律为，利用完全平方公式展开后，可得到结果； （3）根据题意，分类讨论，可得到结果． 【详解】（1）解：根据示例可发现：； （2）略 （3）略 40．（25-26七年级上·上海·期中）若关于的整式是某个整式的平方，则常数的值为___________ 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解． 【详解】∵． ， ∴的值为或． 故答案为：或． 题型9 因式分解的应用（共5小题） 41．（25-26七年级上·山西长治·期中）小晋是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：西、爱、我、山、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我山西 C．山西游 D．我爱山西 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，将原式提取公因式后，进一步利用平方差公式因式分解，得到四个因式，分别对应“爱”、“我”、“西”、“山”四个字，组合后即为“我爱山西”． 【详解】∵ 原式   ， 根据对应关系： → 我， → 爱， → 山， → 西， ∴ 结果呈现的密码信息为“我爱山西”． 故选：D． 42．（25-26七年级上·全国·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． 43．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 44．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 45．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【答案】(1)是 (2)； (3) 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． $