精品解析：山东省青岛市城阳区中央民族大学附中青岛学校2026-2027学年高一上学期阶段性学情诊断数学试题

中央民族大学附中青岛学校2026-2027高一上学期阶段性学情诊断 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【详解】由，集合，可分类讨论： 当时，，集合，不满足集合的互异性，舍去； 当时，，集合，满足集合的互异性，成立； 综上所述，. 2. 设命题：，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【详解】命题：，使得， 则为，使得. 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由为正整数写出全集的全部元素，再根据补集定义，在全集中去掉属于集合的元素，筛选剩余元素得到结果即可. 【详解】，为正整数， ， 又∵， . 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对代数式配凑变形，构造出和为定值的两项，利用基本不等式求最小值，同时验证等号可取． 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 5. 已知，则集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由， 可得，集合中有个元素，故子集个数. 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A. B. 17 C. 21 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质结合条件可得 的取值范围. 【详解】， ，又 ， ∴， . 8. 若x>1，则有（ ） A. 最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D. 最大值-1 【答案】A 【解析】 【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答. 【详解】因x>1，则1，当且仅当，即时取等号. 所以有最小值为1. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．部分选对得部分分． 9. 已知集合，，若，则实数的值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【详解】方法一：因为集合，，若， 所以，且，故或； 方法二：对于A选项，当时，，，满足，故A正确； 对于B选项，当时，，，满足，故B正确； 对于C选项，当时，，，不满足，故C错误； 对于D选项，当时，，不满足集合的互异性，故D错误； 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，若， 此时满足，，但，，故A错误； 对于B，若，当时，，故B错误； 对于C，若，， 由不等式性质可知成立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确； 11. 若，，且，则下列不等式不一定恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】取特殊值、一并否定A、B、C，再由基本不等式求得的最小值证明D恒成立. 【详解】取、，它们满足、且. 此时，于是，，， 所以A、B、C都不恒成立. 对于D，由，而， 得，故恒成立，当且仅当时等号成立. 所以不一定恒成立的是A、B、C. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，正确结论的序号是______． ①，②，③ 【答案】② 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对①：由，则，，则， 故，即有，即，故①错误； 对②：由，则，又 故，故②正确； 对③：由，则，故③错误. 13. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 得到，解得， 所以不等式的解集是． 14. 若，则有最大值______． 【答案】1 【解析】 【详解】已知，则， ， 令，则， ， 由基本不等式：，当且仅当，即取等， ，，满足条件， 所以最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 全集， 由，得 或， 故， ，所以； 【小问2详解】 由题意得，， 所以. 16. 已知集合，，且． （1）当时，求. （2）若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将代入集合的表达式，确定集合的区间范围，再根据并集的定义合并两个集合的区间即可求解； （2）将全称真命题转化为集合是集合的子集，结合非空的前提，列出不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，，又， 所以； 【小问2详解】 由命题：“，”是真命题，得，且，需同时满足以下不等式 ，得， 故实数的取值范围是. 17. 已知，且． （1）求的最小值及对应的a，b的值； （2）求证：． 【答案】（1）最小值为12，对应a，b的值分别为；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）利用作差法，两式相减，配成完全平方式，进而可得结论. 【详解】（1）∵，且， ∴， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为12，对应a，b的值分别为； （2）∵，且， ∴ ， ∴ 18. 已知命题：，，命题：，． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)命题是存在量词命题，要使存在满足为真，只需大于区间内的最小元素，即可得到的取值范围. (2)先求出为真时的范围，再分“真假”和“假真”两种情况分别计算的范围，取并集后得到最终结果. 【小问1详解】 存在使得，等价于大于集合中的某个元素. 只需大于该集合的最小值即可满足条件，因此, 即为真时，的取值范围是. 【小问2详解】 首先求命题为真的条件：对任意，恒成立. 二次函数开口向上，要对所有实数函数值恒正，只需判别式小于： , 因此为真时，它的否定（即“”）为真时，. 根据题意，p和一真一假，分两种情况讨论： 真，假：真即，假即真即，取交集得； 假，真：假即，真即，取交集得. 合并两种情况，最终的取值范围是. 19. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中央民族大学附中青岛学校2026-2027高一上学期阶段性学情诊断 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 1或2 2. 设命题：，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A. B. 17 C. 21 D. 25 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若x>1，则有（ ） A. 最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D. 最大值-1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．部分选对得部分分． 9. 已知集合，，若，则实数的值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 若，，且，则下列不等式不一定恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，正确结论的序号是______． ①，②，③ 13. 不等式的解集是______． 14. 若，则有最大值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求． 16. 已知集合，，且． （1）当时，求. （2）若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知，且． （1）求的最小值及对应的a，b的值； （2）求证：． 18. 已知命题：，，命题：，． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围． 19. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $