专题03 二次函数的实际问题8大题型33题（期中专项训练）九年级数学上学期沪教版五四制

专题03 二次函数的实际问题 基础·固本强基 题型一、增长率问题 题型二、拱桥问题（重点） 题型三、喷水问题（重点） 题型四、投篮问题（难点） 提升·进阶突破 题型五、销售问题（重难点） 题型六、图形问题 拔高·压轴破难 题型七、图形运动问题（重难点） 题型八、其他问题 基础·固本强基 题型一、增长率问题 核心是复利增长模型，基础量按每期固定增长率递增，累计量为各期量之和. 对应考法：单期终值直接用公式，累计总量则将各期相加列函数式；已知终值反求增长率，列一元二次方程求解，结合增长率为正舍去负根；月度、季度增长问题，注意期数与增长率对应，避免期数混淆. 1．据省统计局公布的数据，某市2026年第一季度总值约为千亿元人民币，若该市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．某地新茶上市，第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 4．[23-24九年级上·上海青浦·期中]某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 题型二、拱桥问题 核心是建立平面直角坐标系，设抛物线顶点式，代入已知点求系数. 对应考法：水位升降求水面宽度，代入对应高度求横坐标差；正方形支架问题，用边长表示点坐标，代入抛物线列方程求解；结合新定义的拱桥问题，先求抛物线解析式，再求特殊点坐标，对比水位判断是否达警戒线. 5．[25-26九年级上·上海杨浦·期末]已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 6．[26-27九年级上·上海金山·阶段检测]为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 7．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． (1)探究1：下列结论中，正确的是 （填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． (2)若一次函数（）的图象上存在相反点，则应满足的条件为 ． (3)探究2：小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． (4)探究3：如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 题型三、喷水问题 核心是设抛物线顶点式，落地对应，射程为正根的水平距离. 对应考法：求落地水平距离，令解方程，取正根；判断能否击中目标，代入目标横坐标算高度，与目标高度比较；双水柱相遇问题，分别求两条抛物线解析式，联立求交点高度；平移型喷水，抛物线形状不变，按平移规则改写解析式再计算. 8．[25-26九年级上·上海浦东新·期末]广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 9．[2026·甘肃中考]如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 10．飞机“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 11．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 12．[2026·武汉一模]如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 题型四、投篮问题 投篮问题是数学二次函数建模的一种热门考点，由实际情况，可知a一般是小于0，顶点常对应最大值，题设一般先问解析式，再求参数取值范围。求解析式用顶点式设法较多，求参数取值范围常用消元法解一元一次不等式。 13．[25-26九年级上·上海杨浦·期末]在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 14．[北京期中]如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 15．[26-27九年级上·上海金山·阶段检测]综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 16．[26-27九年级上·广东阶段检测]小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 提升·进阶突破 题型五、销售问题 核心是利润=单件利润×销量，销量为售价的一次函数，总利润为二次函数. 对应考法：求销量与售价的函数，两点用待定系数法求一次函数解析式；利润函数，单件利润乘销量，写出二次函数表达式；求最大利润，配方得顶点式，结合售价定义域确定最大值；已知利润反求售价，解一元二次方程，结合定价范围取舍根. 17．[24-25九年级上·上海·阶段检测]暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 18．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 19．某公司利用互联网技术，销售一批成本为30元/箱的精品水果，按销售单价不低于成本价，且不高于60元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)设每天的销售利润为w元，销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 题型六、图形问题 核心是用边长参数表示图形面积，转化为二次函数求最值. 对应考法：靠墙围栏问题，用总长表示长宽，写出面积函数求最值；三角形内接矩形，用相似三角形对应边成比例，表示矩形边长，写面积函数求最值；大棚抛物线支架问题，设点坐标代入抛物线，求水平距离或长度最值；多方案对比，分别求各方案面积最大值，再比较选最优. 20．[2026·杭州月考]某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围： (2)当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 21．[25-26九年级上·上海·期中]在四边形中，，，，，点在线段上，连接，过点作，与交于点，设的长为． (1)当时，求线段的长； (2)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 22．[24-25九年级上·上海静安·阶段检测]已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 23．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 24．综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 25．课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点． (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值． 26．【课本再现】 (1)九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 (2)兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？ 【深入思考】 (3)兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 (4)若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积． 拔高·压轴破难 题型七、图形运动问题 核心是设运动时间，用表示各线段长度，结合相似、勾股定理列函数式. 对应考法：动点相似问题，按相似对应边成比例列方程求；面积函数问题，用割补法表示面积，写出关于的二次函数；垂直平分线存在问题，利用垂直平分线上点到两端距离相等，结合勾股定理列方程求解. 27．[25-26九年级上·上海·阶段检测]如图，在中，，．设，，那么y关于x的函数解析式为_________． 28．[23-24九年级上·上海·阶段检测]如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． (1)写出关于的解析式； (2)当取何值时，． 29．[上海普陀阶段检测]如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． (1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？ (2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； (3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 题型八、其他问题 核心是将实际场景转化为二次函数模型，结合函数性质求解. 对应考法：截面宽度问题，代入纵坐标求横坐标差；成本费用总和问题，两个一次函数相加得二次函数，已知总费用列不等式求范围；行程加速问题，用二次函数表示路程，结合时间、速度条件列方程求解；灯具排布问题，先求抛物线跨度，除以间距得数量，用进一法取整. 30．[2026·松江一模]如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    31．[2026·长宁期中]某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 32．如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 33．[2025·深圳二模]综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． (1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． (2)如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． (3)如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个． 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的实际问题 基础·固本强基 题型一、增长率问题 题型二、拱桥问题（重点） 题型三、喷水问题（重点） 题型四、投篮问题（难点） 提升·进阶突破 题型五、销售问题（重难点） 题型六、图形问题 拔高·压轴破难 题型七、图形运动问题（重难点） 题型八、其他问题 基础·固本强基 题型一、增长率问题 核心是复利增长模型，基础量按每期固定增长率递增，累计量为各期量之和. 对应考法：单期终值直接用公式，累计总量则将各期相加列函数式；已知终值反求增长率，列一元二次方程求解，结合增长率为正舍去负根；月度、季度增长问题，注意期数与增长率对应，避免期数混淆. 1．据省统计局公布的数据，某市2026年第一季度总值约为千亿元人民币，若该市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 2．某地新茶上市，第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 3．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 4．[23-24九年级上·上海青浦·期中]某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 题型二、拱桥问题 核心是建立平面直角坐标系，设抛物线顶点式，代入已知点求系数. 对应考法：水位升降求水面宽度，代入对应高度求横坐标差；正方形支架问题，用边长表示点坐标，代入抛物线列方程求解；结合新定义的拱桥问题，先求抛物线解析式，再求特殊点坐标，对比水位判断是否达警戒线. 5．[25-26九年级上·上海杨浦·期末]已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 6．[26-27九年级上·上海金山·阶段检测]为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 【答案】 【分析】由题目已知条件正方形的边长和正方形的边长之比为，求出正方形MNPQ的边长． 【详解】解：设点B的纵坐标为， 四边形是正方形， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点B横坐标为． 点B坐标为． ∵正方形的边长和正方形的边长之比为， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点F横坐标为．点F纵坐标为． 点F坐标为． 抛物线的函数解析式为， 把点B坐标，点F坐标代入函数解析式，得 且， 解得， 抛物线的解析式为， 点F坐标为． 设正方形的边长为t，则N点坐标为． 将其代入， 整理，得， 解之，得，负根舍去． 所以，正方形的边长为． 7．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． (1)探究1：下列结论中，正确的是 （填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． (2)若一次函数（）的图象上存在相反点，则应满足的条件为 ． (3)探究2：小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． (4)探究3：如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 【答案】(1)③； (2)； (3)； (4)水位未达到警戒线． 理由：解：抛物线关于轴对称， 设， 由已知，，代入，得 ， 解得，， ， 由“相反点”满足，代入：， 解得，， 由题意，x轴上的相反点坐标为， ， 处水位在警戒线下方， 此时水位未达到警戒线． 【分析】(1) “相反点”满足，联立与判断交点个数，由定义直接判断③． (2) 联立与，方程有解即存在“相反点”． (3) 将代入抛物线得一个方程，再由“只有一个相反点”令判别式为零得另一个方程，联立求解． (4)设抛物线为，求出函数关系式再与联立，求相反点坐标，与水位高比较即可． 【详解】（1）解：设“相反点”为， ①②联立与：，得，矛盾， 直线上不存在“相反点”，①②均错误； 由定义，“相反点”的横纵坐标互为相反数，即， 所有“相反点”都在直线上，③正确； 正确的是③． （2）解：设“相反点”为，代入： ，即， ， 方程有解当且仅当，即． （3）解：将代入， ，即， ， “相反点”满足，代入抛物线：， 即， 有且只有一个“相反点”， ， 将代入：， ， ，， 抛物线解析式为． （4）略 题型三、喷水问题 核心是设抛物线顶点式，落地对应，射程为正根的水平距离. 对应考法：求落地水平距离，令解方程，取正根；判断能否击中目标，代入目标横坐标算高度，与目标高度比较；双水柱相遇问题，分别求两条抛物线解析式，联立求交点高度；平移型喷水，抛物线形状不变，按平移规则改写解析式再计算. 8．[25-26九年级上·上海浦东新·期末]广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 9．[2026·甘肃中考]如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 10．飞机“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 11．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意得出点的坐标为，进而设点所在抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）根据已知条件可得所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与轴交点的坐标，由于覆盖区域关于轴对称，用求出的横坐标的绝对值乘以，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】（1）解：，点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）解：当无人机的喷水口上升到距地面时， ∴点 点所在抛物线的函数表达式为 当时， 解得：或（舍去） ∴ 答：此时地面上喷洒覆盖区域的长为． 12．[2026·武汉一模]如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． （3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 题型四、投篮问题 投篮问题是数学二次函数建模的一种热门考点，由实际情况，可知a一般是小于0，顶点常对应最大值，题设一般先问解析式，再求参数取值范围。求解析式用顶点式设法较多，求参数取值范围常用消元法解一元一次不等式。 13．[25-26九年级上·上海杨浦·期末]在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】(1)①；②米 (2)不能投进 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得二次函数的表达式是解题的关键． （1）①根据题意，设抛物线为，将代入，即可求得抛物线表达式；②求得抛物线与y轴的交点坐标，即为球出手时离地面的高度，进而求得答案； （2）根据题意，设抛物线为，将代入，求得抛物线表达式，然后把代入表达式，求得y的值，即可判断． 【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得 ∴． ②当时，， ∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米， ∴他跳离地面的高度为：（米）． （2）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得， ∴． 当时，， ∵， ∴不能投进． 14．[北京期中]如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【答案】(1) (2) 当时，， 球不能射进球门． (3)1 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处． 【详解】（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数解析式为：； （2）略 （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 15．[26-27九年级上·上海金山·阶段检测]综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】(1)不能 (2) (3)不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【详解】（1）解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 16．[26-27九年级上·广东阶段检测]小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)解：当时， ， ， ， ， 此球能过网． 【分析】(1) 已知抛物线顶点坐标和经过的点，利用顶点式求抛物线表达式． (2) 将球网位置的水平距离代入抛物线表达式，求出对应高度，与球网高度比较． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且经过点， 设抛物线表达式为， 将代入得， 即， 解得， 抛物线表达式为． （2）略 提升·进阶突破 题型五、销售问题 核心是利润=单件利润×销量，销量为售价的一次函数，总利润为二次函数. 对应考法：求销量与售价的函数，两点用待定系数法求一次函数解析式；利润函数，单件利润乘销量，写出二次函数表达式；求最大利润，配方得顶点式，结合售价定义域确定最大值；已知利润反求售价，解一元二次方程，结合定价范围取舍根. 17．[24-25九年级上·上海·阶段检测]暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【答案】(1)（，且是整数） (2) (3)电影票价要定在每张87元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式， （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）当时，则，然后解一元二次方程即可求得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 18．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为 (2)当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【分析】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．掌握二次函数的性质也是关键． （1）根据题意可得，整理出一般式，最后再求出取值范围即可； （2）将（1）所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理，得：． ∵每件售价不能高于65元， ∴， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：将化为顶点式为：， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2560． ∴（元/件）， ∴当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元． 19．某公司利用互联网技术，销售一批成本为30元/箱的精品水果，按销售单价不低于成本价，且不高于60元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)设每天的销售利润为w元，销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，求出与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为 由图可得： 解得： 该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售， ， 与的函数解析式为； （2）由（1）得该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∴每天的销售利润为， ∴， ，， 当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元/箱时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 题型六、图形问题 核心是用边长参数表示图形面积，转化为二次函数求最值. 对应考法：靠墙围栏问题，用总长表示长宽，写出面积函数求最值；三角形内接矩形，用相似三角形对应边成比例，表示矩形边长，写面积函数求最值；大棚抛物线支架问题，设点坐标代入抛物线，求水平距离或长度最值；多方案对比，分别求各方案面积最大值，再比较选最优. 20．[2026·杭州月考]某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围： (2)当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式是解题的关键： （1）结合图形，根据三个矩形的面积相等，得到两个水平方向的矩形的长为竖直方向的矩形的宽的2倍，进而求出大矩形的长为，进而求出大矩形的宽，根据矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由图形和题意可知，竖直方向的小矩形的长为两个水平方向的矩形的宽的2倍，则两个水平方向的矩形的长为竖直方向的矩形的宽的2倍， ∴大矩形的长为，则大矩形的宽为， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，值最大为， 答：当时，矩形的面积最大为． 21．[25-26九年级上·上海·期中]在四边形中，，，，，点在线段上，连接，过点作，与交于点，设的长为． (1)当时，求线段的长； (2)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由三个角是直角证明四边形是矩形，得，，由等腰直角三角形得，进而得，从而得是等腰直角三角形，得，即可求长，得长，易得长，由勾股定理即可求出． （2）先由勾股定理得，再证明，由对应线段比例关系得，由三角形面积公式可得函数解析式，由点在线段上，可确定自变量范围． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，求函数关系式和自变量取值范围，解题的关键是通过构造辅助线将梯形转化为矩形和直角三角形，利用相似三角形的性质建立线段关系，进而求解线段长度和函数关系式． 22．[24-25九年级上·上海静安·阶段检测]已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 23．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)①两根支撑柱之间的水平距离为9米；②“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、求二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得、、，设抛物线的解析式为，将代入解析式求得a即可解答； （2）①根据题意可得，解方程即可得到，从而即可算出两根支撑柱之间的水平距离；②设N点坐标为，则，，进而得到，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴（米），， ∴点，点， 根据题意和图象可得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当时，，解得， （米）， ∴两根支撑柱之间的水平距离为9米； ②设N点坐标为，则，， ∴， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 24．综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 【答案】(1)方案一：，方案二： (2) (3)方案一，． ， ∴当时，S的值最大，最大值为147． 对于方案二，． ，， ， ， ∴当时，S的值最大，最大值为． ， ∴要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择方案一 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，根据方案一可知，然后可得面积S，再根据方案二可得，最后求出S即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）根据二次函数的性质分别得出方案一和方案二的最大值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设． 对于方案一，可知， ， ． 对于方案二，可知， ， ． （2）解：由（1）可令， 解得，． 由题意可知，即， ． （3）略． 25．课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点． (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设正方形的边长为，则，，通过证明，得到，求解即可得出答案； （2）设，用含的代数式表示出的长度，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）解：设，矩形的面积为， ， ， ，即， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，且S的最大值为， 即当时，这个矩形面积有最大值，且最大值为． 26．【课本再现】 (1)九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 (2)兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？ 【深入思考】 (3)兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 (4)若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积． 【答案】(1)， (2)576 (3) 解：不认可，理由如下： 如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值384 ∵ ∴按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更小， ∴不认可小亮的观点； (4) 【分析】（1）设为，则，然后表示出矩形的面积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （2）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （3）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （4）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】（1）解：设为，则， ∴窗户的面积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，S取得最大值， ∴，时，窗户的面积最大； （2）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值576； （3）略 （4）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值． 拔高·压轴破难 题型七、图形运动问题 核心是设运动时间，用表示各线段长度，结合相似、勾股定理列函数式. 对应考法：动点相似问题，按相似对应边成比例列方程求；面积函数问题，用割补法表示面积，写出关于的二次函数；垂直平分线存在问题，利用垂直平分线上点到两端距离相等，结合勾股定理列方程求解. 27．[25-26九年级上·上海·阶段检测]如图，在中，，．设，，那么y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，三角形角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作角平分线构造相似三角形，利用相似比建立边之间的关系． 作的角平分线交于D，利用得出，进而得；通过公共角证明，利用相似三角形对应边成比例列出关系式，化简得到y关于x的函数解析式． 【详解】解：作的角平分线，交于点D． ∵平分， ∴． ∴（等角对等边）． ∵（公共角），， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴ 设， ∵， ∴由得，解得． 则，故 由得， 化简得，即， ∴． 故答案为：． 28．[23-24九年级上·上海·阶段检测]如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． (1)写出关于的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，过点A作，垂足为H，由，求出，根据，证明，用x表示，根据，证明，用x表示，根据矩形的面积公式即可得出结果； （2）连接，利用勾股定理求出，当时，证明，得到，根据四边形是矩形，推出，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为H， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， 当时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 29．[上海普陀阶段检测]如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． (1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？ (2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； (3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)y＝t2﹣8t+40 (3)存在，t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上 【分析】（1）假设△APM与△ACB相似，根据相似三角形的性质得到PM∥BC，进而得到AP＝AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值； （2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP＝t，根据PQAC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP＝PQ＝t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE＝DF＝8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM＝2t，所以梯形的下底CM＝10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式； （3）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP＝MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值． 【详解】（1）∵△APM∽△ABC， ∴PMBC， ∴AP＝AM， ∴10﹣t＝2t， ∴t＝； （2）∵四边形PQCM为梯形，y＝， ∵PQ＝PB＝t，MC＝10﹣2t，BF：BD＝BP：AB ∴BF＝， ∴DF＝8﹣t， ∴y＝（t+10﹣2t）•（8﹣t）＝； （3）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H， ∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴，又AD＝＝6， ∴， ∴HM＝t，AH＝t， 即HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t， 在直角三角形HMP中，， 又∵， ∵， 即， 解得：＝，＝0（舍去）， ∴t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的． 题型八、其他问题 核心是将实际场景转化为二次函数模型，结合函数性质求解. 对应考法：截面宽度问题，代入纵坐标求横坐标差；成本费用总和问题，两个一次函数相加得二次函数，已知总费用列不等式求范围；行程加速问题，用二次函数表示路程，结合时间、速度条件列方程求解；灯具排布问题，先求抛物线跨度，除以间距得数量，用进一法取整. 30．[2026·松江一模]如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 31．[2026·长宁期中]某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 32．如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【答案】(1)该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间为，最快需要可以通过停车线． (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键． （1）先将限速单位化为，根据图3求得，代入求解即可；进而求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案； （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵限速为 由图3可知当时，，设，解得 s 由图2可知当时，，且，设 解得， ∵汽车从停车线出发加速到限速所需的时间s 则 以行驶的时间为 该汽车最快需要可以通过停车线 （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,即汽车加速到． 由（1）可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到的路程为，匀速所用时间为， 根据题意可得当路口绿灯亮起时通过则， 整理得： 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 可得当路口绿灯熄灭时候通过， 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 答：该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 33．[2025·深圳二模]综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． (1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． (2)如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． (3)如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个． 【答案】(1) (2)20 (3)27 【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可； （3）求出的长，进而求出的长，再除以间距即可． 【详解】（1）解：∵曲线最高点点坐标为 ∴设， ∵图象过原点， ∴， 解得：， ∴； （2）∵曲线由曲线平移得到，的长度为6， ∴曲线的解析式为：， 设， 由题意，可知：，关于对称轴对称， ∴， ∴矩形花园周长为： ， ∴当时，矩形花园的周长最大，为20； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到， ∴， ∵每个垂直灯具的水平间距为0.6， ∴， ∴至少需要安装垂直灯具个． 故答案为：27 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $