广东揭阳真理中学2026-2027学年九年级上学期第一次综合训练数学试题

《揭阳真理中学九年级（上）第一次综合训练数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D A B D D C C 11．（写2也对） 12． 4 13． 正方形 14． () 15． 5 16．（1）解：， （2）解：， ， ， ， 或， ，．………4分 ，．…………8分 17．(1)如图即为所求． (2)如图，点即为所求． …………………4分 …………………………8分 18．（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ，解得．………………………………3分 （2）∵为方程的两个根， ∴．………………………………4分 ∵， ∴，………………………………5分 ∴，………………………………6分 整理，得：， 解得：，，………………………………7分 由（1）知 ∴m的值为1．………………………………8分 19．(1)证明：点O是中点，． 四边形是平行四边形，，， ，∴，…………………2分 ，四边形是平行四边形，…………………3分 又， 四边形是菱形；…………………4分 （2）解：四边形是菱形， ，，，…………………5分 ， ，…………………6分 ， 即，…………………7分 菱形的面积为36． ， ，…………………8分 在中，由勾股定理可得：．…………………9分 20．（1）解：设这三天票房的平均增长率为，由题意得 ………………………………2分 解得：，（不合，舍去）………………………………3分 答：这三天票房的平均增长率为．………………………………4分 （2）解：设单价上涨了元，由题意得 ………………………………6分 解得：，………………………………8分 答：扛标旗单价上涨了2元或5元．………………………………9分 21．（1）解：原方程整理得 ，…………………1分 设，则原方程可化为，解得，，…………………2分 当时，，配方，得，解得，， 当时，，配方，得，解得， 原方程的解为，，．………………………………4分 （2）解：设最小数为， 由题意得，…………………5分 即，…………………6分 设， 则，即，，，…………………7分 为正整数，，即，…………………8分 解得， 舍去． 这四个整数为．……………………………9分 22．（1） ； ………………………………2分 （2）成立，………………………………1分 理由如下： 在上取一点，使，连接．………………………………2分 四边形是正方形， ，． ， ，是等腰直角三角形，…………………3分 ， ． 是的外角平分线， ， ， ．………………………………4分 ，． ， ，………………………………5分 ， ；……………………………………………6分 （3） ……………………………8分 （4）如图3，延长至，使，连接，，，． ，， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值是的长， ，，， ， ．………………………………12分 23．解：（1）(1) ； ．……………………………2分 （2）解：∵四边形是矩形，∴， 在中，，……………………………3分 即 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于；……………………………5分 （3）解：如图： ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴；……………………………6分 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴，……………………………7分 ∵在中，，， ∴，…………………………8分 ∵在中，，……………………………9分 ①当时，则， ，即 解得（舍去）或；……………………………10分 ②当时，则， ，即 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t；……………………………11分 ③当时，则， ，即 解得（舍去）或；……………………………12分 综上所述，符合条件的t的值为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳真理中学九年级（上）第一次综合训练数学试题 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程中为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍．若菱形的面积为16，则它的边长为（   ） A．4 B．2 C． D． 5．如图，四边形是正方形，和都是直角且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 第2题图 第5题图 第8题图 6．已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（     ） A． B． C． D． 7．揭阳市某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M、于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，射线交于点E，F为的中点，连接．，的周长是（    ） A．4 B． C． D． 9． 根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 12．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 13．如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形是______． 14．如图，八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计） 第14题图 第15题图 15． 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16．解方程： （1）； （2）． 17．如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）在图中将线段向右平移个单位长度得到线段，点在点的上方，连接； （2）点是平行四边形的边上一点，请你在边上找一点，使． 18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的面积为36，，求的长． 20．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 21．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22．探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $