精品解析：辽宁省朝阳市朝阳一中联盟校 2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

九年级数学学科作业反思调研 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故该选项错误； B、，当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误； C、化简后得，故该选项错误； D、时一元二次方程，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据相关性质定理逐一判断选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意. 3. 如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（ ） A. 28 B. 56 C. 112 D. 224 【答案】B 【解析】 【分析】菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，此菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 4. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 5. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，由等边三角形的性质可得，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 6. 若是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 7. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据平均增长率的公式，分别表示出11月、12月的营业额，再结合第四季度总营业额的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元， ∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元， ∴， 故选：B． 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 9. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 10. 如图1，在边长为4的正方形中，点，分别是正方形的边，上的点，且，若，求的长．利用旋转的方法，把绕点逆时针旋转，得到，参考图2，可得的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据旋转的性质，确定与全等，得到对应边、对应角相等，明确、的长度，以及与的等量关系．因为，，所以推导与的角度关系，判断和是否全等．设的长度为未知数，用含未知数的式子表示、的长度，结合正方形边长表示出、的长度，利用勾股定理在中建立方程求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， 由旋转性质得：，，． 因为正方形中，， 所以，即， 因此． 又为公共边， ， ． 设，则，即． 正方形边长为， ，．  是直角三角形，由勾股定理得： ， 即 ， 解得， ． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义可得，再将代入方程计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得． 12. 如图，在矩形中，E是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为___________． 【答案】48 【解析】 【分析】先得出矩形的面积等于，，，，再得出是直角三角形，且，然后求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，矩形的面积等于， ∵，分别是，的中点，且，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴矩形的面积为． 13. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0；方程有实数解则根的判别式大于等于0，列出两个不等式求解，合并得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即 ，得 ， ∵原方程有实数解， ∴根的判别式， 解得， 综上可得的取值范围是且． 14. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，据此解方程得到或（舍去），则． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，，，再延长至点，使得，连接，，则，进而可得，然后得出当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，，， ∵是的中点， ∴， 如图，延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长， 即的最小值为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 17. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，当售价是15元时，能卖600本．通过前几天的销售发现，每涨价一元就少卖20本．设该书每天的销售量为y（单位：本），销售单价为x（单位：元/本） （1）请写出y关于x的函数关系式，不用写x的取值范围； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 【答案】（1） （2）20元 （3）销售该书每天的利润不能达到8000元，理由如下： 根据题意得：，即，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴销售该书每天的利润不能达到8000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意即可建立函数关系式； （2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可； （3）根据题意可列出关于x的一元二次方程，根据其根的判别式小于0，可判断其无解，即说明销售该书每天的利润不能达到8000元． 【小问1详解】 解：由题意得，， 整理得， 【小问2详解】 解：根据题意得：，即，， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：该书的销售单价为20元； 【小问3详解】 略 18. 如图，菱形的对角线交于点O，且，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形是矩形．理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴， 即， ∴四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到，得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质等知识点．熟记相关定理内容是解题关键． 19. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长是的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，各留一个宽的门． （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为； （2）所围矩形猪舍的面积能是吗？请说明理由． 【答案】（1）所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为 （2）解：所围矩形猪舍的面积不能是，理由如下： 设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为， 由题意得：， 解得或， ∵猪舍的一边利用长是的住房墙， ∴， ∴和均不符合题意， ∴所围矩形猪舍的面积不能是． 【解析】 【分析】（1）设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为，利用矩形面积公式建立方程，解方程求出的值，再结合解答即可； （2）设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为，利用矩形面积公式建立方程，解方程求出的值，再结合解答即可． 【小问1详解】 解：设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为， 由题意得：， 解得或， ∵猪舍的一边利用长是的住房墙， ∴， ∴， ∴， 答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． 【小问2详解】 略． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴菱形的面积＝． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 21. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； （3）【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 【答案】（1） （2）证明：， ∴， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 该方程的衍生点M的坐标为； （3）， 【解析】 【分析】（1）先利用因式分解法得出一元二次方程的根，然后根据题中新定义即可得出结果； （2）利用一元二次方程根的判别式即可证明；再由求根公式得出方程的解即可确定衍生点M的坐标； （3）将一次函数变形得出直线过定点，确定的两个实数根为，再由根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∵ ∴， ∴根据题意得该方程的衍生点M的坐标为； 【小问2详解】 证明见答案； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， 当时，， ∴直线过定点， ∵的衍生点G始终在直线上， ∴的衍生点G为， ∴的两个实数根为， ∴，， ∴，． 22. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法： 项目背景 901班在社团活动时，研究了教材第40页的“一元二次方程的几何解法”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．这种构图法有我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家花剌子米两种不同方法．该社团以方程为例，分别展示． 材料一 赵爽构图法可以看成是一个长为，宽为x，面积为39的矩形．用4个长都是，宽都是 x的相同矩形构造成图(1)的大正方形． 材料二 花剌子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决： （1）任务一：材料一中，大正方形的面积可以表示为(用含 x的代数式表示)；另一方面它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ．故可得到方程 （2）任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为 （3）任务三：请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程：．你选择的是 构图法(填写①或②，①为赵爽构图法，②为花剌子米构图法)．请你构造出相应图形，并在图中标注出相关线段的长；并根据所画图形，求方程 的解．最后列出方程为 ． 【答案】（1），，， （2）5，25 （3）选择①，图形为： 方程的解为，，； 或选择②，图形为： 方程的解为，， 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积列出方程； （2）大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个正方形的面积列出方程； （3）根据（1）或（2）两个任务的解答，即可求解． 【小问1详解】 解：材料一中，由图可得，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积可以表示为， 由图可得，中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∴大正方形的面积可以表示为， ∴方程为． 【小问2详解】 解：材料二中，图2的矩形面积可以表示为，图3中右上角的小正方形面积为，大正方形面积可以表示为， 由（1）可知，， ∴得到的方程为． 【小问3详解】 解：选择 解一元二次方程：，即， 可以看成是一个长为，宽为，面积是55的矩形，用4个相同的矩形构造如图1的大正方形，则方程为 解得，． 选择 解一元二次方程：，即， 用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，3的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形，则方程为， 解得，． 23. 我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______. 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3）存在， 理由：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及已知条件得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （3）类似（2）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科作业反思调研 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 3. 如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（ ） A. 28 B. 56 C. 112 D. 224 4. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( ) A. B. C. D. 5. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 6. 若是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 7. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 10. 如图1，在边长为4的正方形中，点，分别是正方形的边，上的点，且，若，求的长．利用旋转的方法，把绕点逆时针旋转，得到，参考图2，可得的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 12. 如图，在矩形中，E是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为___________． 13. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 14. 若，则的值是__________． 15. 如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，，则的最小值是___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，当售价是15元时，能卖600本．通过前几天的销售发现，每涨价一元就少卖20本．设该书每天的销售量为y（单位：本），销售单价为x（单位：元/本） （1）请写出y关于x的函数关系式，不用写x的取值范围； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 18. 如图，菱形的对角线交于点O，且，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 19. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长是的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，各留一个宽的门． （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为； （2）所围矩形猪舍的面积能是吗？请说明理由． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 21. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； （3）【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 22. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法： 项目背景 901班在社团活动时，研究了教材第40页的“一元二次方程的几何解法”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．这种构图法有我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家花剌子米两种不同方法．该社团以方程为例，分别展示． 材料一 赵爽构图法可以看成是一个长为，宽为x，面积为39的矩形．用4个长都是，宽都是 x的相同矩形构造成图(1)的大正方形． 材料二 花剌子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决： （1）任务一：材料一中，大正方形的面积可以表示为(用含 x的代数式表示)；另一方面它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ．故可得到方程 （2）任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为 （3）任务三：请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程：．你选择的是 构图法(填写①或②，①为赵爽构图法，②为花剌子米构图法)．请你构造出相应图形，并在图中标注出相关线段的长；并根据所画图形，求方程 的解．最后列出方程为 ． 23. 我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______. 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $