精品解析：浙江金华市湖海塘中学2026-2027学年第一学期第一次独立作业八年级数学试题A卷

2026学年第一学期第一次独立作业八年级数学试题A卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：．∵， ∴，故本选项不符合题意； ．∵， ∴， ∴，故本选项符合题意； ．∵， ∴，故本选项不符合题意； ．∵， ∴，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 观察各图形，选项A中不是高，选项B中是边上的高，选项D中不是高，均不符合题意， 而选项C中是边上的高，符合题意． 3. 对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．当时，满足条件，但不能得出的结论，即可判断答案． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 故能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是． 故选：A． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三角形的中线、角平分线，高线都是线段 B. 有两个内角互余的三角形是直角三角形 C. 任意三角形的内角和都是 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A． 三角形的中线、角平分线、高都是线段，是真命题，故本选项不符合题意； B．有两个内角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故本选项不符合题意； C． 任意三角形的内角和都是，是真命题，故本选项不符合题意； D． 三角形的外角大于该三角形任意一个和它不相邻的内角，原命题是假命题，故本选项符合题意． 5. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线的性质，掌握三角形中线平分面积的性质即可求解． 根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意； 故选：C ． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后得到的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点坐标的平移规律求出平移后的点的坐标，再根据四个象限内点的坐标特点进行求解即可． 【详解】解：将点向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标为，即， ∵在第四象限， ∴平移后的点所在的象限是第四象限， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化—平移，点所在的象限，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】 先明确的边长特征，再逐个判断每个结论，通过计算或举例验证结论是否成立． 【详解】解：∵，，， ∴是直角三角形，，三边长为，，， ① 对任意，取点，该点在轴上，此时，，为公共边， ∴，且不与重合， 因此轴上一定存在友好点，①正确； ② 假设轴上存在友好点，不与重合，也不能与重合（否则无法构成三角形）， ∵全等三角形斜边相等，斜边为， ∴， 解得或，均不符合要求， 因此轴上不存在友好点，②错误； ③ 当时，所有符合条件的友好点为（在轴），第一象限内没有友好点， 因此不是对所有点都成立，③错误； ④ 举例：取，如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该点在第四象限， 因此存在这样的点，使得在第四象限内有B的“友好点”，故④正确， 综上，正确结论为①④． 8. 如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短． 设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为1，的最小值为． 故选：C． 9. 如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（ ） A. B. C. D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明，，．延长交于，根据证明，得到，的面积的面积，得到，因此和H重合，由推出，得到，的面积的面积，又，得到，由推出，得到的面积的面积，于是得到阴影面积的和的面积的2倍． 【详解】解：延长交于， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∴和H重合， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影面积的和的面积的2倍， ∴要求图中阴影部分的面积之和，只需知道的面积． 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) . A. 8 B. 10 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案. 【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE， 根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠ABE=45°， 又∵∠ABC=45°， ∴∠EBC=90°， ∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°， ∴∠BDF=∠ECB 在△EBC和△BFD中 ∴△EBC≌△BFD（AAS） ∴DF=BC=4 ∴△DBC的面积= 故选A. 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形. 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 不等式的正整数解是______． 【答案】1、2． 【解析】 【分析】首先移项，合并同类项，把x的系数化为1，解出不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可． 【详解】， 移项得：， 合并同类项得：， 把x的系数化为1得：， 是正整数， 、2． 故答案为1、2． 【点睛】此题主要考查了求不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变． 12. 我们知道，用直尺和圆规可以画出一个角的角平分线：以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边相交于两点，再分别以D、E为圆心，大于一半长作为半径作圆弧，两圆弧交于点O，如图射线即为的角平分线，它的画法依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知：，根据全等三角形的判定定理，以及角平分线定义分析判断即可． 【详解】解：如图连接， 由作法可知，， 又， ， ， 射线为的角平分线． 13. 已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第一象限，得出，，判断出函数的增减性，再把和代入函数解析式得出函数值，再根据当时，的最大值与最小值的差为5，得出，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：一次函数的图象不经过第一象限， ，， 随着的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为5， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，点B在射线上，在射线上截取，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D．连接，，则的大小为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据作图过程可知是等边三角形，从而得到，，由点在射线上，在射线上截取可知、、三点共线，结合可得，利用等腰三角形性质及邻补角定义即可求解． 【详解】解：如图： 由作图可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点在射线上，在射线上截取， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，为的角平分线，在边上取点E，使，且，若，，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取，连接，利用角平分线定义、三角形内角和推出，再证明，利用全等三角形性质，以及等腰三角形性质分析求解，即可求出． 【详解】解：如图在上取，连接， 为的角平分线，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 16. 如图，中，，点D、E分别是上的点，，连接交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 三．解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，AB与CD相交于点E，，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据全等三角形的判定得出≌，根据三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】证明：连接AC， ， ， 在和中 ， ≌， ， ，，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理，能求出≌是解此题的关键． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． （1）在图1中画一个等腰三角形． （2）在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 【答案】（1） 解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2） 解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． ． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的判定画出图形（答案不唯一）； （2）以为对角线，构造平行四边形，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为2，的值为3 （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出，； （2）先写出一次函数解析式，整理不等式，分、、三类讨论，结合的取值范围列不等式求解，合并得到的范围． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点和， ， 解得， 的值为2，的值为3； 【小问2详解】 由（1）可得，函数的解析式为：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当时，，即， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，恒成立， ∴符合题意， 综上所述：． 21. 如图，在中，AE是的角平分线，AD是BC边上的高，且，，求、的度数． 【答案】∠CAD=30°，∠EAD=10° 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠CAD=90°-∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAE，然后根据∠EAD=∠CAE-∠CAD计算即可得 【详解】解：∵AD是BC边上的高，∠C=60°， ∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°； 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠CAE=∠BAC=×80°=40°， ∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=40°-30°=10°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 22. 如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：； （2）如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：由三角形内角和定理可得，， ∵， ∴； （2）①，；②； ③，证明如下： ∵，， ∴，， 以为交点的“8字型”有， 以为交点的“8字型”有， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理并结合对顶角相等证明即可； （2）①由“8字型”的定义并结合图形解答即可；②以为交点的“8字型”有，以为交点的“8字型”有，两式相加得，由角平分线的定义可得，，从而得出，由此计算即可得出结果；③由题意可得，，以为交点的“8字型”有，以为交点的“8字型”有，表示出，，从而即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①由图可得以线段为边的“8字型”有，，，共个， 以点O为交点的“8字型”有，，，，共个； ②以为交点的“8字型”有， 以为交点的“8字型”有， 两式相加得， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴， ∵，， ∴； ③略． 23. 定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线” 判断下列两个命题是真命题还是假命题填“真”或“假” 等边三角形必存在“和谐分割线” 如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”． 命题是______命题，命题是______命题； 如图2，，，，，试探索是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由． 如图3，中，，若线段CD是的“和谐分割线”，且是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数． 【答案】（1）假，真；（2）（3）的值为或． 【解析】 【分析】根据“和谐分割线”的定义即可判断； 如图作的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可，并根据三角函数或相似求AD的长； 分2种情形讨论即可 【详解】等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题； 如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”，正确，是真命题， 故答案为假，真； 存在“和谐分割线”，理由是： 如图作的平分线， ，， ， ， 是等腰三角形，且∽， 线段AD是的“和谐分割线”， ． 如图3中，分2种情形： 当，∽时， 设，则 ， 可得． 当，∽时， 设，则 ， 可得． 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、“和谐分割线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 24. 如图，在中，为中点，为射线上一动点，在右侧作等边直线与直线交于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不包括端点），是否仍然成立，请说明理由； （3）点在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】 （1）证明：如图1中， ∵∠ACB=90°， AD=DB， ∴CD=AD=BD， ∵∠A=60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC=60°， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE=60°， ∴∠EDB=180°-60°-60°=60°， ∴∠CDF=∠BDF， ∵DC=DB， ∴DF⊥BC，CF=FB， ∴DF是BC的垂直平分线， ∴EC=EB． （2）结论仍然成立． 理由：连接CM，EM． ∵AM=BM，∠ACB=90°， ∴CM=AM=BM， ∵∠A=60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴∠AMC=∠ACM=60°，CA=CM， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠ACM=∠DCE=60°，CD=CE， ∴∠ACD=∠MCE， 在△ACD和△MCE中， ， ∴△ACD≌△MCE（SAS）， ∴∠A=∠CME=60°， ∴∠CME=∠BME=60°， ∵MC=MB， ∴ME垂直平分线段BC， ∴EC=EB． （3）10°或50°或70°或110° 【解析】 【分析】（1）想办法证明DF⊥BC，CF=BF，可得结论． （2）结论不变，证明ME垂直平分线段BC即可． （3）分四种情况种情形：如图3-0，当EF=BF时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB =x，；如图3-1中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=x，如图3-2中，当FE=FB时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，如图3-3中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=n，分别构建方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图3-0，当EF=BF时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB =x， 如图3-0 则∠BFE=∠FEC+ x=120°+x=180°+2x， ∴x=20°， ∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=30°-20°=10°． 如图3-1中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=x， 则∠BFE=60°+x=（180°-x）， ∴x=20°， ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+20°=50°． 如图3-2中，当FE=FB时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB=m， 则∠EFB=60°+m=180°-2m， ∴m=40°， ∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+40°=70°． 如图3-3中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=n， 则有∠BEF=n=60°-（180°-2n）， ∴n=80°， ∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+80°=110°， 综上所述，∠ABE的值为10°或50°或70°或110°． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次独立作业八年级数学试题A卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三角形的中线、角平分线，高线都是线段 B. 有两个内角互余的三角形是直角三角形 C. 任意三角形的内角和都是 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 5. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后得到的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（ ） A. B. C. D. 正方形 10. 如图，在△ABC中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) . A. 8 B. 10 C. 4 D. 8 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 不等式的正整数解是______． 12. 我们知道，用直尺和圆规可以画出一个角的角平分线：以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边相交于两点，再分别以D、E为圆心，大于一半长作为半径作圆弧，两圆弧交于点O，如图射线即为的角平分线，它的画法依据是______． 13. 已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为______． 14. 如图，点B在射线上，在射线上截取，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D．连接，，则的大小为______． 15. 如图，在中，，为的角平分线，在边上取点E，使，且，若，，则为___________． 16. 如图，中，，点D、E分别是上的点，，连接交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为______． 三．解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组． 18. 如图，AB与CD相交于点E，，求证：． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． （1）在图1中画一个等腰三角形． （2）在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，AE是的角平分线，AD是BC边上的高，且，，求、的度数． 22. 如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：； （2）如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系，并证明． 23. 定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线” 判断下列两个命题是真命题还是假命题填“真”或“假” 等边三角形必存在“和谐分割线” 如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”． 命题是______命题，命题是______命题； 如图2，，，，，试探索是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由． 如图3，中，，若线段CD是的“和谐分割线”，且是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数． 24. 如图，在中，为中点，为射线上一动点，在右侧作等边直线与直线交于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不包括端点），是否仍然成立，请说明理由； （3）点在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $