精品解析：辽宁东北育才学校东关校区2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

东北育才学校东关校区2026~2027学年 上学期月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知命题，命题，则（ ） A. p的否定是q B. p的否定是 C. q的否定是p D. q的否定是 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的否定的概念求解. 【详解】p的否定是．q的否定是． 故选:D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解分式不等式得到集合，再求出集合在实数集上的补集，最后逐一判断选项中集合的关系与运算是否正确 【详解】集合： 对不等式移项通分，得，等价于，解得或，因此， 集合： 对不等式移项通分，得，等价于且，解得，因此， 所以， 选项A：不含元素，含元素，故，A错误； 选项B：中所有元素均属于，故，B正确； 选项C：集合均有元素，故，C错误； 选项D：，D错误. 3. 已知、是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义结合不等式的性质即可求解. 【详解】若，即，则，显然，所以，即，即是的充分条件； 若，即，显然，则，即，所以是的必要条件. 故选：C. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值的几何意义可得. 【详解】或， 由绝对值几何意义知，无解， 由，解得， 综上可得不等式的解集是. 故选：C. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ） A. 4 B. -10 C. 2 D. -10或2 【答案】C 【解析】 【分析】 用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得． 【详解】方程有实根，则，解得 或， 设方程的两根为，则， ， ∴，解得 （舍去）． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用 去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解． 6. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式组中每个不等式的解集，结合不等式组的解集中所含整数解只有，分类讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 由于不等式，可得， 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 当时，不等式组的解集为，此时，不符合题意，舍去； 当时，不等式组的解集为，不符合题意，舍去； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 8. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有6个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ） A. 57 B. 58 C. 114 D. 116 【答案】C 【解析】 【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可． 【详解】设集合中元素的最大值与最小值分别为和， 则， 因为集合，，满足：①每个集合都恰有6个元素；②， 所以集合两两交集为空集， 故两两不同且两两不同， 先求的最小值： 要使取到最小值，和同时取得最小值， 由于，且两两不同，所以当时，， 因为18是集合M中元素中的最大元素，一定是三个集合之一的元素，不妨设集合含有18， 然后将紧随其后的这4个数放入集合中，不会增加，但却可以使得变小， 所以为使最小，必然集合中的元素是含有这5个元素， 这时M中剩余元素的最大值13必是或的最大元素，不妨设集合含有13， 同上，为使最小，集合中的元素含有这5个元素， 于是集合含有这5个元素，， 则的最小值为； 再求的最大值： 要使取到最大值，应当和同时取得最大值， 由于且两两不相等，所以当时， M中的剩余元素最小的是1，不妨设，即．将放入不会改变的值，却可以使其它两个集合中的最小元素变大， 因此为使最大，集合中必含有， 这时6是集合M中剩余元素的最小元素，设，同理可知中含有， 中含有， 所以， 则的最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，，则下列选项正确的为（   ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 10. 若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，可得判定A错误，B正确；利用基本不等式，可得判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【详解】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集是______． 【答案】或. 【解析】 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，根据不等式性质求解即可. 【详解】令，则， 则， 又， 所以， 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 定义区间，，，的长度均为，其中，已知实数，则满足的构成的区间长度之和为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x构成的区间的长度和. 【详解】不等式，即，等价于， 设，则有， 设的两个根分别为，，由二次函数的性质可知， 由韦达定理得，原不等式的解集为， 故满足条件的x构成的区间的长度和为． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，再代入得到集合，最后计算交集、补集与并集； （2）由得，需要分和两种情况讨论，列出不等式组求解的范围. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围为. 16. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 【小问2详解】 解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 17. （1）已知，且，求的最大值； （2）若正数满足，求的最小值； （3）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决该问题：若，求的最大值，并求取得最大值时的的值. 【答案】（1）；（2）5；（3）当时，的最大值为 【解析】 【分析】和定积最大，对用基本不等式，代入，直接求最大值； 条件变形为倒数和为定值，用“1的代换” 展开目标式，再用基本不等式求最小值； 拆为个，配系数凑个正数，使其和为定值，用四元均值不等式求最大值. 【详解】（1），且， 故的最大值为，当且仅当时等号成立. （2）正数满足，即， ， 即的最小值为5.当且仅当时等号成立. （3）当时，由四阶基本不等式可得：.， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为. 18. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）命题：“比接近”是真命题， 理由：，， 而，故，即， 故“比接近”是真命题； （2）因为比接近，故，则，即， 即，即得， 则由可得，故，即，充分性成立； 当时，，结合，得， 即，必要性成立， 故“”的充要条件是“”； （3） 【解析】 【分析】（1）比较与的大小关系即可； （2）由比接近可得，继而证明充分性以及必要性即可； （3）先确定，继而将对于任意的，，命题“比接近”恒成立，转化为对恒成立，即可求解. 【小问1详解】 真命题，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，且．则， 由于对于任意的，，命题“比接近”恒成立， 故对恒成立， 即得，即， 得，即， 由于，故 故对恒成立，即对恒成立， 由于，此时在上单调递增， 故， 故，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才学校东关校区2026~2027学年 上学期月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知命题，命题，则（ ） A. p的否定是q B. p的否定是 C. q的否定是p D. q的否定是 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知、是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ） A. 4 B. -10 C. 2 D. -10或2 6. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有6个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ） A. 57 B. 58 C. 114 D. 116 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，，则下列选项正确的为（   ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 10. 若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集是______． 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围是______. 14. 定义区间，，，的长度均为，其中，已知实数，则满足的构成的区间长度之和为____________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 16. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17. （1）已知，且，求的最大值； （2）若正数满足，求的最小值； （3）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决该问题：若，求的最大值，并求取得最大值时的的值. 18. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $