精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高一上学期第一次统练数学试题

东北育才学校高中部高一第一次统一作业数学科试卷 考试时间：120分钟 命题人、校对人：高一数学备课组 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “函数存在反函数”是“函数在R上为单调函数”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 若幂函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，，满足，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分） 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 有最大值 C. 不等式的解集是 D. 在上单调递减 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为非奇非偶函数 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D. 令，若，则实数的取值范围是 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________． 14. 已知函数，则不等式的解集是___________． 15. 已知函数的零点为，函数的零点为，则______． 16. 已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 18. 已知幂函数是奇函数，且. （1）求的值，并确定的解析式； （2）求，的值域. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 20. 水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择. （参考数据： ） （Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 21. 设函数是定义域为R的偶函数. （1）求p的值； （2）若在上最小值为，求k的值； （3）若不等式对任意实数x都成立，求实数m的范围. 22. 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）若函数为偶函数，且不为常值函数． （ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）判断并利用单调性的定义证明的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才学校高中部高一第一次统一作业数学科试卷 考试时间：120分钟 命题人、校对人：高一数学备课组 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “函数存在反函数”是“函数在R上为单调函数”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立 【详解】“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣ x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数． 故选B． 【点睛】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解对数不等式与指数不等式，求出集合，然后由并集的运算求解即可. 【详解】，， 所以， 故选：D 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 4. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果. 【详解】由图象可知：，. 故选：C. 5. 若幂函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以且， 由，得或， 当时，，满足题意； 当时，足，不符合题意. 综上. 故选：A. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知x，，满足，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解． 【详解】解：令，，则， ∴为奇函数． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵在R上单调递增， ∴，即． 故选：B． 8. 已知函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数运算性质，借助中间量得，进而在结合函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：由得，解得， 所以，函数的定义域为， 因为， 由于函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增， 所以，根据复合函数的单调性得在上单调递减， 因为，，， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，由函数单调递减的性质得. 故选：A 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分） 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由同增异减原则逐项判断复合函数的单调性即可. 【详解】在上单调递增，故A错误； 在上单调递减，故B正确； 在上单调递减，故C正确； ，由复合函数的单调性判断可知： 在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 有最大值 C. 不等式的解集是 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的解析式求解定义域，利用复合函数的单调性求解单调区间及最值，利用单调性解对数不等式即可. 【详解】因为， 由，解得，所以的定义域是，故A正确； 的对称轴为：， 所以在上单调递增，在上单调递减； 在单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值为，故B，D正确； ，即，所以， 所以，解得，故C错误. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为非奇非偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出，，，的解析式，然后由奇偶性的定义逐项分析判断即可 【详解】函数，， 令，，， 所以为非奇非偶函数，故A错误； ，令，， 所以为偶函数，故B正确； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故D正确. 故选：BD 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D. 令，若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确. 【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以错误； 将的图象向下平移两个单位得到， 再向左平移一个单位得到， 此时，所以图象关于点对称， 所以的图象关于对称，所以B正确； 将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数， 所以函数关于点对称， 所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值， 则，所以C正确； 由，可得， 由， 设，， 可得，所以为减函数， 可得函数为减函数， 所以函数为单调递减函数， 又由为减函数，所以为减函数， 因为关于点对称， 所以，即， 即，解得，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式； ②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可. 【详解】取，则定义域为R，且， ，，满足. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由得，作出和的图像，结合图像求得不等式的解集． 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图像如图： 两函数图像的交点坐标为， 由图可知：当或时，成立， 所以不等式的解集为：． 故答案为：． 15. 已知函数的零点为，函数的零点为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案. 【详解】由，得， 函数与互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象， 如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称， 则，. 故答案为：. 16. 已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】函数 的 定义域为 , 因为 , 所以 , 故函数 为偶函数， 当 时, , 且 在 上单调递减, 当 时, , 且 在 上单调递减, 而 , 故 在 上单调递减, 且 . 则使得成立， 需， 所以且， 所以且， 所以且 解得或， 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 18. 已知幂函数是奇函数，且. （1）求的值，并确定的解析式； （2）求，的值域. 【答案】（1）， ；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到幂函数单调递增，推出，解得，根据，得到或；分别将和代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果； （2）先由（1）化简为，令，将函数化为，根据二次函数单调性，即可求出结果. 【详解】（1）因为幂函数 ， 所以单调递增，所以，即， 解得，又，所以或， 当时，，满足，因此是奇函数； 当时， ，显然是偶函数； 所以，； （2）因为，所以， 令，因为，所以， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此；又当时，；当时，； 因此，所求函数值域为：. 【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 20. 水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择. （参考数据： ） （Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 【解析】 【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可． （Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有 ，求解即可． 【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢. 则有， 解得 ， （Ⅱ）当时， 该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有 答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识. 21. 设函数是定义域为R的偶函数. （1）求p的值； （2）若在上最小值为，求k的值； （3）若不等式对任意实数x都成立，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案. （2）由（1）可得解析式，代入所求，即可得解析式，令，可得，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论和两种情况，结合题意，即可求得答案. （3）根据，原不等式可化为，令，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得的最小值，即可得答案. 【小问1详解】 是偶函数，恒成立， 即恒成立，即， . 【小问2详解】 由（1）知， ，. 令，为增函数，，则， ，， 为对称轴为直线，开口向上的抛物线， ①当时，在递增，所以， ，（不合题意）， ②当时，， ，解得或（舍去）， 的最小值为-4时，的值为. 【小问3详解】 不等式，即， ，当且仅当x=1时等号成立. ， 令，，则，， 又对勾函数在上递增，，. 故实数m的取值范围为. 22. 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）若函数为偶函数，且不为常值函数． （ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）判断并利用单调性的定义证明的单调性． 【答案】（1） 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）（ⅰ）， （ⅱ）减函数，证明如下： 由（ⅰ）得， 在为减函数，在为增函数， 下面证明在为增函数， 设是的任意两个数，且， ， 因为， 因为，所以，. 所以， 所以，. 所以在为增函数， 因为为偶函数，所以在为减函数. 【解析】 【分析】（1）分、、三种情况讨论，分别判断函数的奇偶性； （2）（ⅰ）利用特殊值得到方程组，求出参数的值，再代人检验即可；（ⅱ）由（ⅰ）得到函数解析式，再利用定义法证明函数在上的单调性，即可得解. 【小问1详解】 ①当时，令，则. 所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性； ②当时，，为奇函数； ③当时，，所以不是奇函数， 又，所以不是偶函数. 综上，当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 由（1） 知，若为偶函数，则， 所以的定义域为. （ⅰ）因为为偶函数，所以. 即， 所以，所以， 化简得・所以或. 当时，，不合题意； 当时，， 所以，为偶函数， 综上. （ⅱ）减函数，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $