精品解析：上海市民办新复兴初级中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测

学科网命组卷网 2026学年第一学期第一次初三数学学科阶段练习 (考试时间：100分钟，满分150分) 考生注意： 1、本试卷含三个大题，共25题； 2、除第一、二大题外，其余各题无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤 一、选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是() A.s=22-2t+1 B.y=ax+bx+c C.y=3x-1 D.y=x+1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可. 【详解】根据二次函数的定义，可得答案 解：A.5=2Y-21+1是二次函数，故本选项符合题高， B.y=m+br+C(a≠0)是二次函数，故本选项不符合愿意； c.y=3x-1 是一次函数，故本选项不符合题意； D.y=x2+1 x右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意： 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如 y=m+br+c(a.b.c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数. 第1页/共35页 6学科网命组卷网 y=-x2+6x+7 2.关于抛物线 下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数y=x+伽+C的相关性质，逐一分析选项即即 可求解 【详解】解：：抛物线解析式为'=-心+6x+7 :a=-1b=6c=7 a=-1<0 ∴，抛物线开口向下，故A选项错误 b 6 X三 =3 ·对称轴为直线2a2×(-1) ∴对称轴是直线X=3,故B选项错误 :当x=0时y=7 时， :抛物线与y轴的交点坐标是(0，），故c选项正确 :当x=3时，y=-32+6×3+7=-9+18+7=16 六顶点坐标是(3,16) 故D选项错误 故选：C 3.若己知2：3=(5-)：x,郑么x等于（) A.2 B.3 C.4 D.6 第2页/共35页 命学科网 命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质和解一元一次方程，根据“在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘 积”，可将比例转化为关于x的一元一次方程， 【详解】将2：3=(5-)：*变形，可得 2x=3(5-x) 解得 x=3 故选；B 4.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结 论不正确的是() D B DF EF AD AE AD AE DF EF A.FC BF B.ABAC C.BD EC D.BF FC 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据DE∥BC,可得平行线分线段对应成比例， △DEF ACBF 再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案. 【详解】解：DE∥BC, AD AE AD AE ABAC,BDEC,故B、C选项正确： 第3页/共35页 命学科网命组卷网 .DE∥BC, .△DEF∽aCBF, DF EF .FCBF,故A选项正确，D选项不正确. 5.已知点、b均为常数，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=c+b与二次函数y=+b的大致图 像可能是() 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键 根据一次函数图象y=+b,二次函数y=+b中飞，b 的正负与图象的关系是解题的关键. 【详解解：当k>0,b>0时，一次函数y=+ 经过第一、二、三象限，二次函数y=+b 的图象 开口向上，与v轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点(0，b) 根据选项的图象可得A,C,D均不 符合题意，B选项符合题意； 当k>0,b< 0时，一次函数y=c+b经过第一、三、四象限，二次函数y=+ 的图象开口向上，与 少轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点(Q,6) 根据选项的图象可得A,B,C,D均不符合题意； 当k(0,b)0时，一次函数y=c+b经过第一、三、四象限，二次函数y=+b的图象开口向下，与y 轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点(0，b) 根据选项的图象可得A,B,C,D均不符合题意； 第4页/共35页 6学科网命组卷网 当k<0,6<0时，一次西数y=:+b经过第二、三、四象限，二次函数=+力的图象开口向下，与 y销交于负半轴，一次两数，二次函数同时过点(0，），根据选项的图象可得A,B,CD均不符合思意。 故选：B 6,已知点P是4B的黄金分割点，HAP>BP.记AP为边长的正方形的面积为S,以BP,AB为邻边 S2 的平行四边形面积为2，则下列正确的是() A.≥S2 B.S=S2 cS≤S D.无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，利用平行四边形的性质求解，根据正方形的性质求面积等知识点，解题关 键是掌握上述知识点并能运用其来求解. 先利用黄金分割的性质得到AP2与AB·BP的关系，再结合平行四边形高的取值范围比较面积大小. 【详解】解：，点P是AB的黄金分割点，且AP>BP, :AP=4B,BP(黄金分制性质：较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积)， :S是以AP为边长的正方形的面积， .S=AP=4B.BP :S,是以BP、AB为邻边的平行四边形的面积， 取AB为底，对应的高为h, 根据平行四边形面积公式， S2 =AB.h 由垂线段最短可知，平行四边形的高h≤BP, 第5页/共35页 命学科网 命组卷网 .ABh≤ABBP, 即S,≤S,也就是S≥8， 故选：A. 二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=12cm、b=3cm、c=4cm,那么线段d的长度为， 【答案】lcm 【解析】 a c 【分析】若线段a,b,c,d满足bd,称线段a,b,c,d为成比例的线段，根据定义计算判断即可. 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键。 【详解】解：，a、b、c、d是成比例线段，其中a=12cm,b=3cm,c=4cm, a c 一三 ..b d; 124 .3d: 解得 d=1(cm) 故答案为：lcm. 8.抛物线y=4x 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的表达式是 【答案】y=4r2+16x+19 【解析】 【分析】抛物线平移只改变顶点位置、二次项系数不变，依据“左加右减，上加下减”的平移规律，向左 第6页/共35页 6学科网 命组卷网 平移2个单位在x上+2，向上平移3个单位在式子末尾+3即可. 【详解】解：抛物线y=4r向左平移2个单位长度为)=4(x+2 再向上平移3个单位长度为y=4(x+2}+3=-4x2+16x+19 9二次函数少=x-1 的图象在其对称轴右侧的部分是_的（填“上升”或“下降”）. 【答案】上升 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键 【详解】解：，a=1>0, ∴函数图象开口向上，对称轴为y轴， ∴，在对称轴右侧y随x的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升. 10若抛物线y=r-2x+k与x轴有两个交点，则的取值范围为一 【答案】k<I#1>k 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题.抛物线与x轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相 等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可 【详解】解：抛物线y=-2x+k与轴有两个交点， ·二次方程x-2x+k=0 有两个不相等的实数根， ·△=b2-4ac=(-2)}2-4×1×k=4-4k>0 解得：k<1」 故答案为：k<1. 第7页/共35页 6学科网 组卷网 1L.已知二次函数y=X+x+C的图像经过点A(,3)、B(-1,,那么这个二次函数的解析式为 【答案】y=x2+x+1 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和 C的方程组，然后求解方程组即可. 【详解】解：：二次函数y=x+bx+C的图像经过点A,3)、B(-,), 代入点4,3)得：3=1P+bx1+c,即b+c=2, 代入点B(-,)得：1=(-I+bx-)+c,即-b+c=0, b+c=2 解方程组： -b+c=0, 两式相加得：2c=2,解得c=1, 把c=1代入-b+c=0得：-b+1=0,解得b=1, 二次函数的解析式为)=x+x+1 故答案为y=x+x+1 12已知二次函数y-+2x+9的部分图象如图所不，若关于*的元二次方程+2x+q=0 个解为- ，则另一个解名 第8页/共35页 6学科网组卷网 -10 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了对称的性质，求出抛物线的对称轴是解本题的关键 先求出对称轴，再根据对称的性质求解即可 【详解】解：·y=-x+2x+g b 2 =1 ∴.对称轴为直线2a2×(-1), 为+2=1 .2 :1 53 故答案为：3. AC 3 13.如图，直线AB∥CD∥EF,如果CE4,BD=6那么BF的长是 A B C 【答案】14 第9页/共35页 6学科网 列组卷网 【解析】 AC 3 AC 3 BD 3 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由CE4,得AE7,由AB∥CD∥EF,得BF7即 可解答 AC3 【详解】解：，CE4, AC 33 .AE3+47, .AB∥CD∥EF, BD 3 :BF=7, BD=6」 ,BF=7BD=7x6=14 3 3 故答案为14. 14.如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线 上的三个点A、B、C都在竖格线上.若线段BC=12Cm,则线段AB的长为 A B 【答案】6cm拼6厘米 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果， 【详解】解：如图： 第10页/共35页 命学科网命组卷网 6 allblle 由题意可得 ,相邻两条竖格线间的距离都相等， AB 2 1 .BC42, BC=12cm. .AB=6cm. 15.某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x 轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M,已知AB=6m, 现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD,通风管CD的长度为3m,则拱架最高点M 距底部AB的高度为m. y M D O B衣 图1 图2 【答案】 4 【解析】 【分析】根据题意确定点B和点D的坐标，设抛物线顶点式解析式y=m+k ,代入坐标求出参数“和 第11页/共35页 命学科网命组卷网 ,进而得到顶点纵坐标即为所求高度 【详解】解：由题意可知，抛物线关于y轴对称， AB=6 O.AB 为中点； ∴.OB=3 B 3,0) ,即点的坐标为 CD 3m CD=3 通风管距离底部，且 点D的微半标%3，质色标为.即P侵 设抛物线的解析式为)=x+k 将B3,0) 9a+k=0 代入得 9a+k=3 解得 9 k=4 4 y=-。x2+4 ∴.抛物线解析式为 9 “顶点M的坐标为 0,4) ∴.拱架最高点M距底部AB的高度为4m 16.“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰.新中国成立75年 来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展，某网店为满足航空航天爱好 者的需求，特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件. 经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能 使每日利润最大。 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用. 设当涨价a元时，单日利润为m元，则P=(a+24-20)(40-2a)=-2(a-8°+288，即可求解. 第12页/共35页 命学科网命组卷网 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则W=(a+24-20)(40-2a)=-2(a-8)2+288 因为-2<0，抛物线开口向下， 所以当a=8时， W最大=288 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大. 故答案为：8. 17.已知抛物线y=+hx+c与x轴交于（，0)，(-1,0），若0<1<2，则b+c的取值范围为 5 ≤b+c<1 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值：根据根与系数的关系，由抛物线与x 轴的交点坐标可得b和c关于t的表达式，进而得到b+C关于t的二次函数，再根据t的取值范围确定 b+c 的范围. 【详解】解：：抛物线y=r+hr+c与x轴交于（，0)和（-l,0） 1和-1是方程+bx+c=0。 的两个根， :t+t-)=21-1=-b.-)=c :b=1-2t.c=(t-1) :b+c=(1-21）+1u-)=2-31+1 .0<t<2, 第13页/供35页 6学科网列组卷网 3 f= 设w=P-3t+1,是二次函数，开口向上，关于直线2对称， 当13 ，ws 3)2 3 -3×。+1 =9_9+1=-3 2 42 4 当t=0时，w=1, 当1=2时，w=2-3×2+1=-1」 ∴.b+c的取值范围是4 ≤b+c<1 故答案为：4 ≤b+c<1 18定义：[aB,d为二次函数y=am2+hx+c(a≠0，a,b,c为实数)的“序列数”，如： y=-2x+3的“序列数”为，-2，+3].有以下结论： ①=次函数y=-3x+2x-1的“序列数”为3,2，刂 ②“序列数”为，m+2,2m的二次函数的图像与x轴恒有两个交点； ③“序列数”为[m,-2m,-3m的二次函数的图像与x轴的两个交点为定点： 1 ④“序列数”为m1-m,2-川的二次函数，如果m<0,当x<2时，y随x的增大而增大， 以上结论正确的有」 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据“序列数”新定义写出对应二次函数，结合判别式、因式分解求交点、对称轴与增减性逐个 判断. 第14页/供35页 命学科网命组卷网 【详解1①根据序列数定义，y=-3状+2x-小的序列数为-3,2，-，①正确。 ②序列数L,m+2,2m对应函数y=t+(m+2r+2m △=(m+2)2-4×1×2m=(m-2)2≥0 当m=2时△=0，图像与x轴仅有一个交点，并非恒有两个交点，②错误. ®序列数m,-2m,-3m对应函数y=mr-2mx-3m=mx-3x+), 0,解得x=-或x=3,交点为定点-l0)、B0.©正确 ④序列数m,1-m,2-m对应函数y=mr+0-mx+2-m,m<0, 1-m11 X=- 对称轴2m22m, .m<0 1 1 ->0 .X> 2m,对称轴2. 抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大， 1 当<2时，y随x的增大而增大，@正确。 综上正确的是①③④. 三、解答题（共8小题，满分78分） a b 19.已知a,b满足32， a-b (1)求a+b的值： 第15页/供35页 6学科网命组卷网 (2)若a+b=10且线段x是长为a,b的线段的比例中项，求线段x的长. 1 【答案】(1)5； (2)2V6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键 (1)设32=《，则a=3k,b=2k,然后代入即可求解： (2)由(1)得a=3k,b=2k,则3k+2k=10,所以k=2,a=6,b=4,又线段x是线段a, 的比例中项，所以t=ab=24 b 然后求出”的值即可 【小问1详解】 a b =k 解：设32，则a=3k,b=2k, a-b 3k-2k 1 .a+b3k+2k5; 【小问2详解】 解：由(1)得a=3k,b=2k, .a+b=10. .3k+2k=10. .k=2,a=6,b=4, 线段x是线段a,b的比例中项， 第16页/供35页 命学科网命组卷网 2=ab=24 x=2V6 (负值己舍去)· 20.如图，已知DE∥BC,FE∥CD」 D (1)若AF=3,AD=5,AE=4.求CE的长： AF AD (2)求证：FDDB 【答案】(45-号 (2) 证明：，DE∥BC, AD AE .DB EC, .FE∥CD. AF AE FD EC' AF AD FD DB' 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 第17页/供35页 6学科网6组卷网 AF AE (1)先求出DF=AD-AF=5-3=2,根据FE∥CD,得出DFEC,代入数据求出结果即可； AD AE AF AE (2)根据DE∥BC,得出DBEC,根据FE∥CD,得出FDEC,求出结果即可. 【小问1详解】 解：，AF=3,AD=5, .DF=AD-AF=5-3=2, .FE∥CD, AF AE .DF EC, 34 即2EC, .CE=8 3； 【小问2详解】 略 21.如图，已知抛物线y=-x+bx+c经过A-,0）,B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若Ss=10 求出此时点P的坐标 第18页/供35页 学科网命组卷网 【答案】(1)y=-x2+2x+3(1,4) 2)（-2,-5)或4，-5) 【解析】 【分析】(1)已知抛物线经过两个x轴上的点A(-L,0）,B(3,0), 把两点坐标代入抛物线解析式得到二 元一次方程组，解方程组求出b、C的值，得到抛物线解析式；再将解析式配方化为顶点式，直接读出顶 点坐标； (2)由A,B坐标得到底边AB长，三角形面积公式用点P纵坐标的绝对值作为高，列出含绝对值方程： 分两种情况讨论，结合一元二次方程判别式判断解是否存在，舍去无实根的情况，求出符合条件的点P坐 标. 【小问1详解】 解：抛物线y=-++c经过4(-，0)，B(3,0)两点， 0=-1-b+c 0=-9+3b+c, [b=2 解得c=3, 六该抛物线的解析式为y=-r+2x+3 :y=-x2+2x+3=-（x-1)2+4 六该抛物线的顶点坐标为（山，4）， 【小问2详解】 解：A(-1,0),B(3,0) .AB=4, ·点P为抛物线上一点， 第19页/供35页 6学科网列组卷网 设P(p,-p+2p+3). S.PAB =10 ×ABx-p2+2p+3=10 p2+2p+3=5 当1<p<3时，-p2+2p+3=5, 化简得D-2p+2=0 .b2-4ac=-4<0 无解， 当p<-1或D>3时.p-2p-3=5 化简得D-2p-8=0 因式分解得(p-4p+2)=0, 解得D=-2或=4 综上所述，点P的坐标为-2，-)威(4，-5) 2.抛物线y=r+br+c(a≠0)经过点A(-2,0）,B(2,8),C(4,0),直线y=mr+n(m≠0)经过 点B,C,则： (1)该抛物线的对称轴为直线 (2)关于x的方程+br+c=8。 的解为一 (3)关于x的不等式r-mx+C>r+”的解集为一 第20页/供35页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)x=1 (2)=0x2=2 (3)2<x<4 【解析】 【分析】(1)根据对称点即可求解对称轴； (2)先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； (3)先求出直线的表达式，然后得到不等式-t-(4)x+8>-2x+16 再转化求解即可； 【小问1详解】 解：抛物线'=+x+c(a≠0)经过点4(-2,0，C(4,0) X= -2+4=1 .对称轴为直线 2 ,即x=1: 【小问2详解】 解：抛物线=ar+bx+c(a≠0)经过点4(-2,0).B(2,8),C(4,0), 4a-2b+c=0 4a+2b+c=8 16a+4b+c=0 a=-1 解得 b=2 c=8 y=-x2+2x+8 关于x的方程ar2+bx+c=8即为-x2+2x+8=8, 解得=0,6=2 【小问3详解】 第21页/供35页 学科网命组卷网 解：直线y=mr+nm≠0)经过点B(2,8),C(4,0）, 2m+n=8 .4m+n=0 m=-4 解得n=16 .直线为y=-4x+16 不等式2-mx+c>bx+n为r-(4)x+8>-2x+16 x2-6x+8<0 整理得， 即（x-2(x-4)<0 x-2<0「x-2>0 .x-4>0或x-4<0 x-2<0 解不等式组x-4>0,无解： x-2>0 解不等式组x-4<0,得2<x<4: :(c-2x-4)<0的解集为2<x<4 ∴不等式a-mr+c>-bx+n 的解集为2<x<4 23.如图，在正方形ABCD中，边长AD=12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合）， AE FP,、AD、AE、BC 的垂直平分线分别交 于点RHG,交MB的延长线于点P, 第22页/供35页 6学科网命组卷网 D H G B FH (1)当点E在CD边的中点时，求HG的值： FH (2)设DE=x(0<x<12),y=HG,求y关于x的函数表达式： 1 【答案】(1)3 2y40<x<12) 【解析】 【分析】(I)延长AE、BC交于点K,证△ADE≌△KCE,得到CK=AD=12,AE-EK,进而得 到M=E=R-E 2 ,再证△AFH∽△KGH,根据相似三角形的对应线段成比例，求出 FH AH 1 HG HK 3: (2)过点H作HM上AD于点M过点G GQ⊥AD 于点Q,证△AHM∽△AED 得到 HM AH 1 FG 24 FH+HG 24 EDAE2,再证△FHM∽aFG0,得FHx,将其变形为FH x,即 第23页/供35页 6学科网命组卷网 1+H1G24 FH HG 1 +1-24 FHx,由y= 1+ ,x(0<x<12) G,得FHy,进而得到+yx,整理得y=24-x 【小问1详解】 解：延长AE、BC交于点K, K D E C G B P :四边形ABCD是正方形， .CD=AD=12,AD//BC. ∴.∠DAE=∠K,∠ADE=∠ECK, :点E是CD边的中点， :DE=CE, ∴.△ADE≌AKCE, .CK=AD=12,AE=EK, ,点H是AE的中点， .AH-HE-1AE HK-3HE 2 ADl/BC. 第24页/供35页 6学科网 6组卷网 .△AFHAKGH, FH AH 1 .HG HK 3; 【小问2详解】 解：过点H作M14D于点M过点G作 GQ⊥AD 于点Q, D E FH☑ M 9 G A B P DE⊥AD. IMDE .△AHM∽AAED. HM AH .ED AE, 点H是AE的中点， HM AH1 .ED AE 2, 3+ :GO1LAD.AB⊥AD ADIBC GO=AB=12 .HIMIIGO 第25页/供35页 命学科网命组卷网 △FHM∽△FGQ 1 .FH_MH_2 FG QG 1224 FG 24 .FH x, FH+HG 24 1+ HG 24 .FH x,即FHx, FH y-HG, HG_1 .FH y, .1+1-24 ..y x, x(0<x<12) 整理得'=24- 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线 的性质等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键. 24.【实践与探究】九(9)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用 探究的过程： 珠 6.25 6.25 M 10x 图1 图2 第26页/共35页 6学科网 命组卷网 (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m, 隧道项部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解 析式为 (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了 确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑 两车之间的空隙)？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问 题，请予解答： 如图2，过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P为直线OM上一 动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问：在线段OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三 角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标：若不存在，请说明理由， 5 1x2+x 【答案】4)y=4+2 (2)该隧道能让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为(4,4)或5-V5,5-V⑤) 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求解析式： (2)将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题： PNO (3)因为三角形 为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即 可求出点P的坐标， 【小问1详解】 第27页/供35页 6学科网6组卷网 解：由图设抛物线的解析式为y=a(x-5+6.25 则0=a(0-5)}2+6.25 1 a=- 解得 4, 的为=-矿+625=+ 【小问2详解】 ,车宽3m、高3.5m, 当x=8时，=-48-5引+625=4 :4-3.5=0.5(m),满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为0.5m, ∴.该隧道能让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶. 【小问3详解】 存在， 5 .=一x2+ 一42与y=x的交点， Ix+5x-x 则有4 2 ,解得=0,2=6， :M(6,6) PNO ,三角形 为等腰直角三角形，需分类讨论， PN=9N∠PNQ=90° ①当 时， 第28页/供35页 6学科网命组卷网 6.25 K 5 10x .N为直线y=x与对称轴x=5的交点， :V(55) 取点K(10,0）,W(5,0),则Om=K=5=Nm, .∠KNW=∠WN0=45°，即∠KN0=90°， ∴点O为KN与抛物线的交点， KN y=kx+b 设直线 的解析式为 10k+b=0 则5k+b=5, [k=-1 解得b=10, KN =-x+10 ∴直线的解析式为 5 0点0为少=-x2+9 4 2与y=-x+10的交点， 1 2=-x+10 5 ,解得=10（舍），戈=4， :(4,6) P(4,4) 第29页/供35页 命学科网命组卷网 PW=P9∠NPQ=90° PQ⊥x ②当 时，因为 轴，所以该情况不存在； P2=QN∠PQN=90 ③当 时， :N№1Po NOlx 轴， N(5,5) ∴.Q点的纵坐标为5，则4 2+x=5 .5 ,解得=5+V5(舍)，五=5-V5 .P5-V5,5-5) 综上，P点的坐标为(4,4)或5-V5,5-V5) 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件 转化为数学知识解决问题是解题的关键， 25.材料一：课本47页告诉我们一个基本结论一一平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线 截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图 将线段三等分”的方法。 已知：线段AB,如图1 求作：点C、点D,使点C、D在线段AB上，且AC=CD=BD 作法：①作射线AO.(如图2)； ②在射线AO上依次截取线段AM、MN、NL，使AM=MN=NL,连接LB; ③分别过点M、N作平行于LB的直线交AB于点C、D.则点C、D为所求的点. 第30页/供35页 命学科网组卷网 E B D G 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)如图3，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FG∥BC.若AD=2, GC DE AE=1,DF=6,EG=,FB=,FG= (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线AC对 折一次，得到图5，对角线AC分别与折痕EH、F队、GJ的交点K、L、M即为对角线AC的四等分点. 请在图5中画出AB的三等分点N(不写作法，保留作图痕迹) A E FGB E FG B D HI 图4 图5 (3)如图6，AO是△ABC的一条中线.用与上面不同的方法，用尺规作图作出AO的一个三等分点N, 使得AO=3ON.(不写作法，保留作图痕迹) B B 图6 图7 第31页/供35页 命学科网 命组卷网 (④)如图7，在T面直角华标系中，线段AB的两个端点分别为1(2,3)和B(8-.设点P是线段B 的一点，且AP:PB=k:1,请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）. 11 【答案】(1)3,2,4 A ENFN2G B (2) (3)如图3.1，点N即为所求： M D H 图3.1 8k+23-k P (4) k+1'k+1 【解析】 【分析】(1)通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决： (2)连接BM,分别过点KL作BM的平行线，交AB于点N,N, (3)先作线段垂直平分线得到中点M,再连接MC交AO于N点，即为所求；根据OM为△ABC的中位 线，得出△OWM∽△ANC,再利用相似比即可得证； (4)过点A作AC⊥x轴，过点B作BC⊥AC于点C,过点P作PD⊥AC于点D,得出 ADDPAP △ADP∽△ACB,根据相似三角形性质求出AC CB AB,设P(x,y),从而求解点的坐标. 【小问1详解】 DEFG 解： 第32页/供35页 命学科网组卷网 AD AE 21 .DFEG,即6EG, 得EG=3: FG//BC. CG FB ..AG AF, CG AG AE+EG 1+3 1 .FB AF AD+DF 2+6 2; DENFG .△ADEAAFG. DE AD 2 1 .FGAF2+64: 【小问2详解】 证明：由折叠得AK=KL=LM, .KN:LN2 IlMB AN==14N=4L=2 ∴.NN2KL,NBLM :.AN =NN,=N2B 【小问3详解】 证明：如图3.2，连接OM, 第33页/供35页 6学科网命组卷网 M B 图3.2 O,M分别是BC,AB的中点， .OM为△ABC的中位线， 1 0M∥4c, OM=二AC 2 .△OWM∽aANC, ON OM 1 .AN AC 2, .A0=30N; 【小问4详解】 解：如图， D-P h--------B 过点A作AC⊥x轴，过点B作BC⊥AC于点C,过点P作PD⊥AC于点D, PDIBC .△ADPAACB, 第34页/供35页 6学科网命组卷网 AD DP AP .AC CB AB, 设P(y) A(2,3)和B(8,-) :4C=3-(-)=4,CB=8-2=6,AD=3-y,DP=x-2, AP:PB=k:1. .AP=kPB.AB=AP+PB=(k+1)PB 3-y_x-2_k .46k+1, 3-k8k+2 解得y=飞+i, X= k+1, 【点睛】本题考查了尺规作图一一作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性 质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键， 第35页/共35页 2026学年第一学期第一次初三数学学科阶段练习 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1、本试卷含三个大题，共25题； 2、除第一、二大题外，其余各题无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 3. 若已知，那么等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知k、b均为常数，在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P是的黄金分割点，．记为边长的正方形的面积为，以，为邻边的平行四边形面积为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 8. 抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的表达式是______． 9. 二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）． 10. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 11. 已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 13. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 14. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 15. 某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 16. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____________元，才能使每日利润最大． 17. 已知抛物线与x轴交于，，若，则的取值范围为______． 18. 定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图像与x轴恒有两个交点； ③“序列数”为的二次函数的图像与x轴的两个交点为定点； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，y随x的增大而增大； 以上结论正确的有______． 三、解答题（共8小题，满分78分） 19. 已知，满足， （1）求的值； （2）若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 20. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 21. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 22. 抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线______； （2）关于x的方程的解为______； （3）关于x的不等式的解集为______． 23. 如图，在正方形中，边长，点E是边上的动点（点E不与端点C、D重合），的垂直平分线分别交于点F、H、G，交的延长线于点P． （1）当点E在边的中点时，求的值； （2）设，，求y关于x的函数表达式； 24. 【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． （2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． （2）数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $