培优11 中心对称综合（3大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优11 中心对称综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与另一个图形重合，则称这两个图形关于该点对称（或成中心对称），这个点叫做对称中心。 2.中心对称的性质：（1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分；对称中心是对应点连线的中点；（2）成中心对称的两个图形全等：对应边相等、对应角相等，周长与面积都相等；（3）对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.找对称中心的方法：连接任意一对对应点并取其中点，或连接两对对应点取其交点（尺规作图常用）。 4.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，该点叫做它的对称中心。 5.过对称中心核心结论：过中心对称图形对称中心的任意一条直线，都把该图形分成面积相等的两部分。 6.关于原点对称坐标：点关于原点对称的坐标点为，即横纵坐标互为相反数。 二 解题模型 1. 由中心对称性质求面积、角度、长度问题 第一步：确定对称中心，标出对应点、对应边、对应角。 第二步：利用“对应点连线被对称中心平分”建立线段相等、点为中点等关系。 第三步：利用“成中心对称的两个图形全等”得到边等、角等、周长与面积相等。 第四步：把所求转化为全等三角形、特殊三角形、勾股定理、等面积法等已学模型求解。 第五步：回代检验结果与对称性是否吻合。 2. 中心对称图形规律问题 第一步：写出开始1-3个图形关键点（顶点、对称中心）的坐标。 第二步：观察横、纵坐标随序号的变化规律，常需按序号的奇偶分类。 第三步：归纳出分段表示的通项公式。 第四步：代入所求的值计算并检验。 3. 关于原点对称的坐标问题 第一步：两点关于原点对称，等价于横、纵坐标都互为相反数。 第二步：求对称点坐标：横、纵坐标同时取相反数。 第三步：求参数：由坐标关系列出方程组，解出参数后再求值。 判断对称：横、纵坐标两组条件同时满足才成立 交点问题：正比例函数与反比例函数图象的交点成对关于原点对称，已知一个交点坐标即可得另一个。 题型分析 题型1：由中心对称性质求面积、角度、长度问题 【例1】 （24-25九年级上·湖北·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项，根据中心对称的定义，与关于点成中心对称，点的对应点就是，因此点与点是对称点，该结论成立； 选项，点与点是一组对应的对称点，根据中心对称的性质，对应点连线被对称中心平分，因此，该结论成立； 选项，根据中心对称的两个三角形全等，得到对应角相等，即，而的对应角是，因此，和不一定相等，该结论不成立； 选项，根据中心对称的性质，对应点连线被对称中心平分，所以，，又因为对顶角，因此和全等，可得，根据内错角相等两直线平行，可推出，该结论成立． 变式1-1 （2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 变式1-2 （25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 题型2：中心对称图形规律问题 【例2】 （2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 变式2-1 （23-24八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 【答案】； 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 变式2-2 （24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 题型3：关于原点对称的坐标问题 【例3】 （25-26八年级下·广西来宾·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点的对称点是， ∴,， ∴． 变式3-1 （2026·江苏南京·三模）下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：函数的自变量取值范围为，关于原点对称； 对①：设是函数图象上任意一点，则满足， 关于原点的对称点为， 当时，， 表明关于原点的对称点也在函数的图象上，则此函数图象关于原点对称，①正确； 对②：若取，，满足， 此时，，，不满足，因此②错误； 对③：当时，则， 因此，即，③正确； 对④：联立两个函数解析式得， 整理得，该方程有解，说明两个函数图象有交点，因此④错误； 综上，正确结论为①③． 变式3-2 （2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：对于一次函数，令，得， ∴点的坐标为，将函数图象向下平移2个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为，令，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，解得． 解题技巧 1.过对称中心的直线平分图形面积。 2.阴影部分与关于对称中心对称的空白部分面积相等，用“整体减空白”或“对称搬移”求阴影面积。 3.两条中心对称曲线（如正比例与反比例图象、两圆）围成的阴影可合并成一个规则图形。 4.对应角相等，把未知角转化为已知角。 5.对应线段平行且相等，结合平行线性质与平行四边形判定。 6.对称中心是对应点连线的中点，可结合直角三角形斜边中线、三角形中位线。 7.最值问题先由对称性确定对应关系，再转化为“垂线段最短。 8.连接任意一对对应点，作该线段的中点或连接两对对应点，其交点即为对称中心。 归纳总结 一、重点 1.中心对称的定义与性质：对应点连线被对称中心平分，成中心对称的两个图形全等。 2.中心对称与中心对称图形的区别与联系（两个图形与一个图形）。 3.关于原点对称的点的坐标特征：点→ 。 4.利用中心对称性质求线段长、角度、周长与面积。 5.过对称中心的直线平分图形面积的应用。 6.正比例函数、反比例函数图象的对称性及交点成对关于原点对称。 二、难点 1.中心对称与全等、勾股定理、相似、中位线等知识的综合运用。 2.不规则阴影面积问题：对称搬移、整体减空白。 3.坐标规律探索：奇偶分类、通项归纳。 4.与二次函数综合的压轴题及新定义题。 5.尺规作图：找对称中心、作中心对称图。 三、易错点 1.混淆“中心对称”与“中心对称图形”：前者是两个图形之间的位置关系，后者是一个图形的自身特征。 2.误用对应角：两图形全等只保证对应角相等，必须找准对应关系。 3.记错坐标变化：关于原点对称横、纵坐标都变号；关于轴对称只纵坐标变号；关于轴对称只横坐标变号。 4.误认为平分面积的直线只有一条：过对称中心的所有直线都平分面积，有无数条。 5.求关于原点对称的函数解析式时漏掉二次项系数变号、顶点取对称点。 6.规律题漏掉奇偶分类，把不同序号的通项混用。 7.判断两点是否关于原点对称时只检查一项坐标，横、纵坐标必须同时互为相反数。 8.对称中心在变化时仍套用定点规律。 四、数学思想 1.数形结合思想：把图形的对称位置关系转化为线段、角度、坐标的数量关系。 2.转化思想：把面积、长度、角度问题转化为全等三角形、特殊三角形、勾股定理等模型。 3.对称变换思想：利用对称性“搬移”图形，化不规则为规则。 4.方程思想：由关于原点对称的坐标关系列方程（组）求参数。 5.分类讨论思想：规律题的奇偶分类、含参数问题的分情况讨论。 6.从特殊到一般的归纳思想：先列特殊值（前几个图形坐标）再归纳通项。 7.模型思想：把“过对称中心直线平分面积”“交点成对关于原点对称”等结论作为现成模型直接套用。 同步测评 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【详解】解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分，所以，这样的直线有无数条． 2．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 3．（2026·河南周口·二模）2025年10月，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．科研人员在监测飞船运行轨迹时，需要确定飞船在太空中的位置．在平面直角坐标系中，若飞船A的位置表示为，飞船B的位置表示为，则飞船A与飞船B关于（     ）对称 A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线 【答案】A 【详解】解：由于点A与点B的横纵坐标都互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征，则飞船A与飞船B关于原点对称． 4．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 5．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知抛物线与抛物线关于原点成中心对称，当时，函数值有最大值，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对配方得：， ∵与关于原点中心对称，若在上，则对称点在上，代入得：， 整理得， ∴的对称轴为，顶点纵坐标为， ∵当时，有最大值，且（顶点纵坐标）， ∴抛物线开口向上，，即， 对于开口向上的抛物线，其最大值在离对称轴最远的端点处取得， ∵， ∴当时，取得最大值， 将，代入得：，解得． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 【答案】 【详解】解：将代入得， ， ∴， ∵反比例函数图象关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 9．（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且与x轴相切， ∴的半径为1， ∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴点B的坐标为， 同理得到的半径为1， ∴与关于原点中心对称， ∴的阴影部分与的空白部分完全重合， ∴的阴影部分与的空白部分面积相等， ∴图中两个阴影部分面积的和． 11．（2026·福建莆田·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 【答案】 【详解】解：∵y轴平分矩形的面积，矩形是中心对称图形， ∴轴经过矩形对角线的中点， 设点横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C到y轴的距离是． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 13．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解；(2)42 【详解】（1）证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，．点的坐标为． (1)画出将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)写出与点关于原点中心对称的点的坐标． 【答案】(1)见详解；(2)图见详解，；(3) 【详解】（1）解：已知，，， 先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解：已知，，， 绕点逆时针旋转得到， 则点的坐标为，点的坐标为． （3）解：已知点的坐标为， 则与点关于原点中心对称的点的坐标为． 15．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，，是反比例函数的图象上两个点． (1)求反比例函数解析式； (2)判断A，B两点是否关于原点成中心对称，并说明理由． 【答案】(1)；(2)关于原点对称的点坐标是，与点不是关于原点成中心对称 【详解】（1）解：∵，是反比例函数的图象上两个， ∴，解得：． ∴． ∴反比例函数为． （2）解：A，B两点不关于原点成中心对称，理由如下： 由（1）知， ∴、． ∴A，B两点不关于原点成中心对称． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，是由经过某种变换得到的图形． (1)分别写出点A与对应点D，点B与对应点E，点C与对应点F的坐标； (2)从对应点的坐标中你发现了两三角形之间的什么特征？请用文字语言表达出来； (3)根据你发现的特征，解答下列问题：经过变换后，若内一点在内的对应点为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1)点，点，点；(2)与关于坐标原点对称；(3) 【详解】（1）解：由图可知，，，； （2）解：观察可知，对应点的横纵坐标均互为相反数，故对应点关于原点对称， ∴与关于坐标原点对称； （3）解：由（2）可知，点和关于原点对称， ∴， ∴， ∴方程组化为，解得． 17．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点和点都在抛物线上，点的横坐标为，点关于点的对称点在轴上，过点作轴于点，连接． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，求点的坐标； (3)当抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的取值范围； (4)连接，．若，直接写出的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或；(4) 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴该抛物线对应的函数关系式为． （2）解：∵点Q，点A关于点P对称， ∴点P为的中点， ∵点A在y轴上， ∴点A的横坐标为0， ∵点P的横坐标为m， ∴点Q的横坐标为， 当时，， 把代入函数，得， ∴点Q的坐标为． （3）解：∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，且点P，Q都在抛物线上， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵点P为的中点， ∴， ∴点A的坐标为． ∵抛物线， ∴顶点坐标为， 把代入抛物线，得， ∴点C的坐标为． ①若，则抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为点C，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得或（不满足，舍去）． ②若，当轴时，，解得，． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为点Q，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解， ∴当时，不存在抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，轴时，不存在抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点与抛物线的交点，最低点为点P，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得，解得或（都不满足，舍去）． 点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为， 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点C，最低点为抛物线顶点，如图， ∵点C的纵坐标为，抛物线顶点的纵坐标为，它们的差为， ∴时，都满足抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为抛物线顶点，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得，解得或（不满足，舍去）． 综上所述，m的取值范围为或． （4）解：∵，，，轴， ∴， ， ∵， ∴，解得，，（不合题意，舍去）． 18．（2026九年级下·江西新余·专题练习）已知抛物线：的顶点为，与y轴交于点B． (1)求m，n的值； (2)如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标； (3)记抛物线，组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ， ． （2）解：由（1）知，， ， 设抛物线的顶点为，则点与点关于点对称， ， ∴点的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，解得：（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； （3）解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 即， ，解得：， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ，解得， 如图，根据图象可得， ∴若与直线有三个交点，则的取值范围为． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优11 中心对称综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与另一个图形重合，则称这两个图形关于该点对称（或成中心对称），这个点叫做对称中心。 2.中心对称的性质：（1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分；对称中心是对应点连线的中点；（2）成中心对称的两个图形全等：对应边相等、对应角相等，周长与面积都相等；（3）对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.找对称中心的方法：连接任意一对对应点并取其中点，或连接两对对应点取其交点（尺规作图常用）。 4.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，该点叫做它的对称中心。 5.过对称中心核心结论：过中心对称图形对称中心的任意一条直线，都把该图形分成面积相等的两部分。 6.关于原点对称坐标：点关于原点对称的坐标点为，即横纵坐标互为相反数。 二 解题模型 1. 由中心对称性质求面积、角度、长度问题 第一步：确定对称中心，标出对应点、对应边、对应角。 第二步：利用“对应点连线被对称中心平分”建立线段相等、点为中点等关系。 第三步：利用“成中心对称的两个图形全等”得到边等、角等、周长与面积相等。 第四步：把所求转化为全等三角形、特殊三角形、勾股定理、等面积法等已学模型求解。 第五步：回代检验结果与对称性是否吻合。 2. 中心对称图形规律问题 第一步：写出开始1-3个图形关键点（顶点、对称中心）的坐标。 第二步：观察横、纵坐标随序号的变化规律，常需按序号的奇偶分类。 第三步：归纳出分段表示的通项公式。 第四步：代入所求的值计算并检验。 3. 关于原点对称的坐标问题 第一步：两点关于原点对称，等价于横、纵坐标都互为相反数。 第二步：求对称点坐标：横、纵坐标同时取相反数。 第三步：求参数：由坐标关系列出方程组，解出参数后再求值。 判断对称：横、纵坐标两组条件同时满足才成立 交点问题：正比例函数与反比例函数图象的交点成对关于原点对称，已知一个交点坐标即可得另一个。 题型分析 题型1：由中心对称性质求面积、角度、长度问题 【例1】 （24-25九年级上·湖北·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对称点 B． C． D． 变式1-1 （2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（ ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 题型2：中心对称图形规律问题 【例2】 （2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 变式2-1 （23-24八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 变式2-2 （24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 题型3：关于原点对称的坐标问题 【例3】 （25-26八年级下·广西来宾·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 变式3-1 （2026·江苏南京·三模）下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 变式3-2 （2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 解题技巧 1.过对称中心的直线平分图形面积。 2.阴影部分与关于对称中心对称的空白部分面积相等，用“整体减空白”或“对称搬移”求阴影面积。 3.两条中心对称曲线（如正比例与反比例图象、两圆）围成的阴影可合并成一个规则图形。 4.对应角相等，把未知角转化为已知角。 5.对应线段平行且相等，结合平行线性质与平行四边形判定。 6.对称中心是对应点连线的中点，可结合直角三角形斜边中线、三角形中位线。 7.最值问题先由对称性确定对应关系，再转化为“垂线段最短。 8.连接任意一对对应点，作该线段的中点或连接两对对应点，其交点即为对称中心。 归纳总结 一、重点 1.中心对称的定义与性质：对应点连线被对称中心平分，成中心对称的两个图形全等。 2.中心对称与中心对称图形的区别与联系（两个图形与一个图形）。 3.关于原点对称的点的坐标特征：点→ 。 4.利用中心对称性质求线段长、角度、周长与面积。 5.过对称中心的直线平分图形面积的应用。 6.正比例函数、反比例函数图象的对称性及交点成对关于原点对称。 二、难点 1.中心对称与全等、勾股定理、相似、中位线等知识的综合运用。 2.不规则阴影面积问题：对称搬移、整体减空白。 3.坐标规律探索：奇偶分类、通项归纳。 4.与二次函数综合的压轴题及新定义题。 5.尺规作图：找对称中心、作中心对称图。 三、易错点 1.混淆“中心对称”与“中心对称图形”：前者是两个图形之间的位置关系，后者是一个图形的自身特征。 2.误用对应角：两图形全等只保证对应角相等，必须找准对应关系。 3.记错坐标变化：关于原点对称横、纵坐标都变号；关于轴对称只纵坐标变号；关于轴对称只横坐标变号。 4.误认为平分面积的直线只有一条：过对称中心的所有直线都平分面积，有无数条。 5.求关于原点对称的函数解析式时漏掉二次项系数变号、顶点取对称点。 6.规律题漏掉奇偶分类，把不同序号的通项混用。 7.判断两点是否关于原点对称时只检查一项坐标，横、纵坐标必须同时互为相反数。 8.对称中心在变化时仍套用定点规律。 四、数学思想 1.数形结合思想：把图形的对称位置关系转化为线段、角度、坐标的数量关系。 2.转化思想：把面积、长度、角度问题转化为全等三角形、特殊三角形、勾股定理等模型。 3.对称变换思想：利用对称性“搬移”图形，化不规则为规则。 4.方程思想：由关于原点对称的坐标关系列方程（组）求参数。 5.分类讨论思想：规律题的奇偶分类、含参数问题的分情况讨论。 6.从特殊到一般的归纳思想：先列特殊值（前几个图形坐标）再归纳通项。 7.模型思想：把“过对称中心直线平分面积”“交点成对关于原点对称”等结论作为现成模型直接套用。 同步测评 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 2．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·二模）2025年10月，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．科研人员在监测飞船运行轨迹时，需要确定飞船在太空中的位置．在平面直角坐标系中，若飞船A的位置表示为，飞船B的位置表示为，则飞船A与飞船B关于（     ）对称 A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线 4．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 5．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知抛物线与抛物线关于原点成中心对称，当时，函数值有最大值，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 9．（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 11．（2026·福建莆田·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 13．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，．点的坐标为． (1)画出将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)写出与点关于原点中心对称的点的坐标． 15．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，，是反比例函数的图象上两个点． (1)求反比例函数解析式； (2)判断A，B两点是否关于原点成中心对称，并说明理由． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，是由经过某种变换得到的图形． (1)分别写出点A与对应点D，点B与对应点E，点C与对应点F的坐标； (2)从对应点的坐标中你发现了两三角形之间的什么特征？请用文字语言表达出来； (3)根据你发现的特征，解答下列问题：经过变换后，若内一点在内的对应点为，求关于x，y的方程组的解． 17．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点和点都在抛物线上，点的横坐标为，点关于点的对称点在轴上，过点作轴于点，连接． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，求点的坐标； (3)当抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的取值范围； (4)连接，．若，直接写出的值． 18．（2026九年级下·江西新余·专题练习）已知抛物线：的顶点为，与y轴交于点B． (1)求m，n的值； (2)如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标； (3)记抛物线，组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，直接写出b的取值范围． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $